新型零泊松比類蜂窩結構等效彎曲剛度研究

廖學知，王洪波，李寶玉，趙曉寧

(1.中國運載火箭技術研究院, 北京 100076; 2.中國航天科技集團有限公司, 北京 100048)

1 引言

蜂窩結構依賴于自身的拓撲形式可呈現出不同的力學特性和泊松比效應，由于其具備出色的比強度、比剛度，且具有可設計性強的特點，在航空、航天等領域得到廣泛運用，并吸引了國內外眾多工程技術人員研究。

零泊松比蜂窩結構的零泊松比特性主要表現為單方向的變形時，正交方向不產生形變。Olympio等首先提出了零泊松比六邊形蜂窩結構，通過理論分析推導出等效楊氏模量和剪切模量的理論表達式，并分析蜂窩參數對其力學性能的影響。劉衛東、孫秦等人對零泊松比手風琴蜂窩結構的面內外等效模量進行了理論建模與參數分析。Chen基于剪紙工藝研制了彎曲型零泊松比SILICOMB蜂窩樣件，并對其剛度性能進行了研究。Gong提出了一種可實現2個正交方向變形的四角星形零泊松比蜂窩結構，且在變形時能保證曲率光滑。Huang提出了一種將傳統六邊形蜂窩結構與薄板連接組裝在一起的新型零泊松比構型，并建立了結構的面內拉伸模量及等效彎曲模量的理論表達式。Broccolo等將內凹六邊形和正六邊形的蜂窩結構交替布置，得到混合零泊松比蜂窩陣列結構。艾森等以鋁合金和鋼材為基體材料，針對零泊松比蜂窩結構的非線性變形行為進行了研究。

波紋結構同樣作為一種典型的具備極端各向異性的結構，表現為橫向柔性和縱向剛性。Gong將正弦型剖面波紋板視為薄殼結構，考慮波紋板的軸向拉伸變形和彎曲變形，采用卡式定理對橫向拉伸、彎曲剛度進行了理論建模。Winkler等采用廣義平面應變有限元法，研究了不同幾何形狀對波紋結構的等效剛度的影響。Bartolozzi采用卡式定理，提出了表征波紋結構性能的一般解析公式，可適用于不同的波紋形狀。

綜上所述，目前對于各種零泊松比蜂窩結構以及波紋結構的力學性能已進行廣泛研究，但對具有曲面壁板的蜂窩結構彎曲性能研究較少。本文針對具有正弦波紋壁板的零泊松比類蜂窩結構，基于能量法對其等效彎曲剛度進行了理論推導與有限元仿真，分析了結構參數對其性能的影響。本研究獲得的相關結果可以為該結構的優化設計、材料選型等提供重要支撐，亦可服務于柔性變形結構設計。

2 新型結構力學建模與仿真

2.1 結構介紹

新型零泊松比類蜂窩結構的幾何結構如圖 1所示。該結構典型特征為以正弦波紋結構作為蜂窩結構的傾斜壁板，其基本方程為：

(1)

式(1)中：表示幅值；表示波長(即壁長)。此外采用直壁連接各個獨立胞元，以使得該結構在縱向伸縮時，可呈現出典型的零泊松比特性。值得注意的是當波紋幅值為0時，該結構退化為手風琴式蜂窩結構，可用于變形蒙皮；而當波紋幅值不為0時，由于波紋壁板較出色的拉伸變形能力，將使得該新結構比手風琴式蜂窩結構易形成更大的變形，這有利于如伸縮翼變形飛行器等需要大變形的場景。

取其單胞元結構進行分析，采用與蜂窩結構類似的參數定義方法，胞元傾斜壁直線長度為，直壁長度為，蜂窩角為，直壁壁厚為，正弦波紋壁厚，定義壁高度為。

圖1 新型零泊松比幾何結構示意圖Fig.1 Geometry of the novel zero Poisson’s ratio structure

2.2 理論模型

本文基于能量等效法建立新型零泊松比類蜂窩結構的等效彎曲剛度理論模型。結構等效示意圖如圖2。

圖2 結構等效示意圖Fig.2 Schematic diagram of the structural equivalent

將圖2所示的胞元結構等效成為正交各向異性薄板，根據薄板的變形能公式，可以得到其變形能為：

(2)

式(2)中：、、為彎曲剛度；為扭轉剛度。

本研究主要是對彎曲剛度進行分析，而在彎矩作用下，薄板內任意一點的撓度可以表示為：

=++

(3)

其中：

(4)

取板中心為約束點，即=0，聯立可得：

(5)

(6)

針對各個胞壁建立如圖3所示的局部坐標系，根據坐標轉換關系可求解獲得在局部坐標系下的受力情況為：

(7)

式(7)中：下標表示為傾斜壁板；為直壁板。

圖3 正弦曲線波紋壁板示意圖Fig.3 Skech of Local coordinate system of sinusoidal corrugated wall

根據參考文獻[19]，可獲得彎矩引起的轉角和扭矩引起的扭轉角表達式為：

(8)

式(8)中：為胞元材料彈性模量；為胞元壁厚度；為胞元壁長度；為胞元壁的高度；為薄板扭轉引入的修正系數。

波紋壁板受力圖如圖4。值得注意的是由于正弦曲線薄板在端面受到力矩作用時，一方面在各個截面會產生彎矩和扭矩分量，因此在各微元段會出現彎扭復合的現象，另一方面各微元段的彎矩與扭矩分量也會隨著截面法向量的變化而變化。為修正正弦波紋壁板的扭轉變形，本研究采用商業有限元軟件ABAQUS對正弦波紋壁板施加扭矩時的變形能進行提取，對扭轉修正系數進行反解。

圖4 波紋壁板受力圖Fig.4 Moments acting on corrugated wall

在此基礎上，對于胞元單個壁板的變形能，可表示為：

(9)

因此，整個單胞元的變形能為：

(10)

接下來分別對波紋壁板及直壁板的變形能進行分析。將波紋壁板離散為多個微元板，如圖4所示可得各處的彎矩和扭矩分別為：

(11)

其中根據波紋幾何方程(1)可得：

(12)

結合式(1)、式(9)、式(11)、式(12)，可得波紋板壁板變形能為：

(13)

其中：

(14)

結合式(7)、式(9)、式(10)、式(13)，可得整個單胞元的變形能為：

(15)

對比式(5)和式(14)，根據能量等效，可得：

(16)

其中=0，結合薄板理論中關系式：=，可以推導出該結構泊松比、也為0。一方面說明了將結構等效成為正交各向異性薄板，采用能量等效原理求解等效剛度的方法不會影響結構的零泊松比特性；另一方面也說明本研究提出的新結構在受到純彎矩和作用時，兩正交方向的彎曲變形不存在耦合效應，這從彎曲變形的角度也驗證了該結構的零泊松比特點。此外，可以看出與并不相等，且與外載荷無關，主要取決于結構與材料參數；其中主要取決于直壁板部分，與直壁板厚度比()以及壁高、蜂窩角直接相關，而則主要取決于波紋壁板，與波紋度()、波紋壁厚、壁高、蜂窩角直接相關。

3 有限元模型

本文采用Python實現參數化建模，使用商業有限元軟件ABAQUS對結構的彎曲剛度進行模擬，有限元模型如圖5。在不同規模下進行彎曲剛度的仿真模擬，邊界條件如表1所示，經對比可發現，不同規模下的彎曲剛度具有較好的一致性。因此后續仿真均為針對不同結構參數下的單胞元結構，并將反解結果與理論模型進行對比。

圖5 有限元模型示意圖Fig.5 FEM model of honeycomb structure

表1 有限元模型邊界條件Table 1 FEM model boundary conditions

本研究中尚不考慮材料的非線性，且采用各向同性材料進行數值模擬，材料參數選用彈性模量=200 GPa和泊松比=0.3。此外，考慮到壁厚相對較小，應用S8R殼單元進行模擬，仿真模型如圖5所示。根據薄板理論，采用彎矩和撓度的比值表征等效彎曲剛度，具體計算式為：

(17)

式(17)中，與分別為、端面的撓度值。

圖6展示了使用殼單元仿真的結果。從變形圖6(a)中可以看出，結構沿方向拉伸時，方向不會產生變形；此外，對比彎曲變形圖6(b)與圖6(c)、圖6(d)，其中圖6(b)為典型正泊松比蜂窩結構，可以看出其在面外變形時呈現“馬鞍效應”，符合正泊松比結構特點，而本研究中新型結構在單方向彎曲時并不會引起正交方向的耦合變形，彎曲面較為平順。這些特點都進一步驗證了新結構的零泊松比特性，也說明了殼單元不會對結構的泊松比特性產生影響。

圖6 有限元仿真結果示意圖Fig.6 Schematic diagram of FEM results

4 結果討論與分析

4.1 與現有理論模型的對比

本文結構中當波紋度()為0時，結構可退化為手風琴式蜂窩結構，可采用文獻[8]中的理論模型進行求解。選取=10 mm，=0.1 mm，=0.2 mm，=10 mm，=20 mm時，本文理論解、有限元解與文獻結果如圖7所示。從圖7中可以看出，本文理論解、有限元解以及文獻解三者在2個正交方向的彎曲剛度上均吻合較好，驗證了本文模型的正確性以及對于手風琴式蜂窩結構的適用性。此外可看出和隨蜂窩角的增大呈現相反的變化規律，另一方面從理論推導過程可以看出主要取決于直壁，而取決于傾斜壁板，這導致在量級上大于，呈現出典型的正交異性特征。

4.2 結構參數對D11的影響

根據理論推導，主要與蜂窩角()、直壁厚度比()、以及壁高()相關。因此該部分選取=10 mm，主要針對這3個結構參數對的影響進行分析。圖8—圖10分別展示了它們對的影響，可以看出理論值與仿真值吻合度較高，最大誤差不超過0.7%，進一步驗證了理論解的正確性與適用性。

圖7 蜂窩角β對彎曲剛度的影響曲線(H=0)Fig.7 Variations of the bending stiffness with angle β(H=0)

圖8展示了在=2 mm、=0.1 mm、=2 mm時，分別為0.2 mm、0.4 mm、0.6 mm下，蜂窩角由20°變化至60°時的變化規律。從圖8可以看出，不同的下，均隨著蜂窩角的增大呈現下降趨勢，且隨著的增大而增大。圖9進一步描述了=60°時，不同壁高下對的影響規律，由圖9可以看出，與直壁厚呈現線性正相關的趨勢，與理論推導相符，且隨著的增大，增長速度也逐漸增大。

圖8 不同直壁厚th下蜂窩角β對D11的影響曲線Fig.8 The bending stiffness D11versus the cell angles β for various thickness th

圖9 不同壁高w下直壁厚th對D11的影響曲線Fig.9 The bending stiffness D11versus the thickness th for various height w

圖10對比了在=0.2 mm、=0.1 mm、=60°時，不同波紋壁幅值下壁高對的影響情況。對比發現對的變化較為靈敏，與其三次方呈正相關，即在增加2倍時，將增加8倍，這與理論推導結論一致。此外，可以看出與無關，這是由于主要取決于直壁的貢獻，而波紋斜壁的引入并不會降低，這有利于同時滿足變形與承載功能。

圖10 不同波紋幅值H下壁高w對D11的影響曲線Fig.10 The bending stiffness D11versus the height w for variousamplitude H

4.3 結構參數對D22的影響

根據理論推導，主要與波紋度()、蜂窩角()、波紋壁厚()、以及壁高()相關。該部分同樣在=10 mm條件下，主要針對這4個結構參數對的影響進行分析。

圖11描述了在=2 mm、=0.1 mm、=0.2 mm時，彎曲剛度在不同的下，隨變化呈現出的不同變化規律。對比有限元結果與理論解，可以發現均吻合較好，誤差均小于5。此外，在較小時，可以看出彎曲剛度對的變化不敏感；而當較大為60°時，隨著波紋幅值的增大呈現明顯下降趨勢。=2 mm時，對比不同蜂窩角對的影響如圖12所示。

圖11 不同蜂窩角β下波紋幅值H對D22的影響曲線Fig.11 The bending stiffness D22versus the amplitude H for various cell angles β

圖12 不同波紋壁厚tl下蜂窩角β對D22的影響曲線Fig.12 The bending stiffness D22versus the cell angles β for various thickness tl

從圖12中可以看出，整體呈現出隨的增大而增大的趨勢，這是由于的增大使得波紋壁變形逐漸以彎曲變形為主，扭轉變形則逐漸減小，而胞壁承彎能力較強，因此單胞的彎曲剛度增大；此外在較小時，的增長較緩慢。不同壁厚，不同壁高下的結果如圖13所示。

圖13 不同壁高w下波紋壁厚tl對D22的影響曲線Fig.13 The bending stiffness D22versus the thickness tl for various height w

從圖13中可以看出，隨的增大而增大，這是由于的增大使得傾斜壁板的截面慣性矩增大，進而使得單胞的彎曲剛度增大。此外可以發現在、均較大時，有限元與理論解，會出現一定誤差，這是由于在這種情況下，基于薄板理論的推導過程中未得到充分考慮的剪切變形所致。等效彎曲剛度針對的參數化分析如圖14所示，設置為為0.1 mm不變，從圖14中可以發現，在不同的波紋幅值情況下均隨的增大而增大，且相比于手風琴蜂窩結構(=0)，可以看出波紋壁的引入，使得有一定程度的下降，尤其是在較大時，對波紋度較為敏感。

圖14 不同波紋幅值H下壁高w對D22的影響曲線Fig.14 The bending stiffness D22versus the height w for various amplitude H

5 結論

針對具有正弦波紋壁板的新型零泊松比類蜂窩結構的彎曲性能，基于能量法建立了等效剛度模型，進行了仿真驗證與參數分析，理論分析結果與有限元結果吻合度較高，證明了理論解推導正確，為后續結構參數的優化設計奠定了基礎。得出以下結論：

1) 該結構遠大于，呈現典型的正交各向異性，且隨蜂窩角的增大而減小，變化趨勢與之相反。

2)與波紋度無關，且在波紋壁厚與蜂窩角較小時，對波紋度的變化不敏感；而在為60°時，隨波紋度的增大顯著下降。

3)與直壁厚呈線性正相關，隨波紋壁厚的增大逐漸增大，兩者均隨著壁高的增大而顯著提升。