尾翼式低旋高超聲速制導炮彈彈道特性分析

朱 胤，王旭剛

(1.中國船舶集團有限公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443000;2.南京理工大學能源與動力工程學院， 南京 210094)

1 引言

20世紀末誕生的一些高超聲速武器，如電磁炮、電熱化學炮等，利用特殊的發射技術，能夠將炮彈發射到5馬赫以上，實現高超聲速和遠程飛行，具有飛行高度高、飛行速度快、飛行空域廣的特點，是當前軍工領域的研究熱點。但高超聲速炮彈在飛行時，氣動特性非線性變化、耦合性強、所受的干擾不確定，給其穩定性和彈道特性分析帶來了困難，故研究其運動模型和彈道特性具有重要意義。

常規彈箭的穩定方式主要包括兩類：尾翼穩定和旋轉穩定。尾翼穩定即通過在彈體上加裝尾翼，實現風標式穩定，對于高超聲速彈箭而言，這種穩定方式多用于高超聲速導彈、探空火箭以及一些非軸對稱彈型等復雜的高超聲速飛行器上；旋轉穩定即使彈體高速旋轉以形成陀螺穩定，多用于軸對稱彈型，而對于有控彈箭，過高的轉速可能導致制導控制系統(如鴨舵)失效，因此，這種穩定方式在一些高超聲速制導炮彈上并不適用。

高超聲速炮彈所受的空氣動力大，由質量分布不均或外形關于縱軸不對稱帶來的干擾可能會被無限放大。為使其飛行穩定，消除外形不對稱的干擾，可使彈體低速滾轉，如此既能保持飛行穩定，又不會因轉速過大而導致控制系統失效。目前，部分國內外學者已做出了一些可借鑒的成果，文獻[9]中提出了一種尾翼式高超聲速彈型并討論了其氣動特性，通過尾翼前緣的斜切面迫使來流在尾翼處產生推力，從而形成尾翼導轉力矩，促使彈體滾轉，達到飛行穩定；文獻[10]中利用對自由飛行實驗的測量獲得了低速滾轉下高超聲速炮彈的氣動參數，通過理論分析驗證了低速旋轉穩定在高超聲速炮彈中實施的可行性；文獻[11]中通過在鈍錐模型表面布置人工絆線強迫邊界層轉捩，采用自由度不受約束的風洞模型試驗技術研究邊界層轉捩對高超聲速旋轉鈍錐自由飛行運動特性和氣動特性的影響規律，為低速滾轉高超聲速炮彈的穩定性分析提供了參考。文獻[12]中以電磁軌道炮為例，對不同初速和射角下電磁炮彈的射程進行了仿真，并分析了不同初速和射角對其彈道特性的影響；文獻[13-14]中在高超聲速炮彈的六自由度運動模型中加入了科氏力的影響并進行了仿真，獲得了考慮科氏力后的彈道仿真曲線，為本文的研究提供了參考。

然而，高超聲速武器誕生較晚，動力學問題復雜，在現有的文獻中，針對具體彈型的全彈道特性的研究極少，導致高超聲速武器工程化缺乏理論參考。因此，本文針對如圖1所示的8片尾翼式低旋高超聲速炮彈，彈型參數見表1所示，建立適配的6-D運動方程，根據小擾動假設將6-D運動方程線化并建立自由擾動運動方程，研究其低速滾轉穩定性；然后基于6-D運動方程仿真計算并分析不同射角、轉速以及考慮地球自轉等因素后的彈道特性變化規律，為高超聲速炮彈總體設計提供參考。

圖1 某高超聲速炮彈彈型示意圖Fig.1 The figuration of a hypersonic projectile

表1 彈型參數Table 1 Figuration parameters

2 動力學模型

假設地球為標準兩軸旋轉橢球體，其長半軸=6 378.14 km，短半軸=6 356.76 km，扁率=129826，自轉角速度=7.29×10rad·s；

為研究彈體的滾轉特性，除常規坐標系外，還須引入準彈體坐標系和準速度坐標系，攻角、側滑角也須轉換成準攻角和準側滑角。

2.1 氣動力系數

低速自旋的高超聲速炮彈所受空氣動力沿準速度坐標系可分解為阻力、升力和側力，氣動阻力系數、升力系數和側力系數、、分別表示為

(1)

式中：=4為尾翼對數；(=,,)分別為炮彈頭部、彈身、尾翼的阻力系數；分別為炮彈頭部、彈身、尾翼的升力系數；分別為炮彈頭部、彈身、尾翼的側力系數。其中，高超聲速炮彈頭部阻力、升力系數分別表示為

(2)

式中：為炮彈頭部內接圓錐半頂角。

彈身中段阻力、升力系數為

(3)

式中：為邊界層外緣雷諾數；為阻力修正系數；為彈身中段表面積；為彈身中段長細比。

尾翼阻力、升力系數為

(4)

(5)

2.2 科氏慣性力Fc、牽連慣性力Fe

=-m為科氏慣性力，=-m為牽連慣性力。科氏加速度和牽連加速度的表達式分別為

(6)

式中：為炮彈速度矢量。

為研究地球自轉的影響，本文將牽連慣性力從重力中分離出來同科式慣性力單獨討論，將地球引力視為重力。含地球轉速的示意圖如圖2所示，假設在北半球地心緯度為處發射一枚高超聲速炮彈，射擊方向為從正北方開始順時針旋轉角的方向，記為發射方位角。取射擊點處為坐標原點，建立地面坐標系，軸水平指向射擊方向，軸垂直于地球表面指向上，軸與其他兩軸垂直且構成右手坐標系。

圖2 地球轉速示意圖Fig.2 Earth’s rotating speed

地球自轉角速度在其極軸方向，將其平移至射擊點，則得地球自轉角速度在地面坐標系上的分量為

(7)

2.3 6-D運動方程

綜上，可得無推力時高超聲速炮彈的6-運動模型為

(8)

3 自由擾動方程

實際飛行過程中的炮彈不可能完全按照基準彈道(未擾動彈道)飛行，因為總會有一系列隨機因素作用于炮彈，對其運動產生擾動。為研究尾翼式自旋高超聲速炮彈的飛行穩定性，可在小擾動假設下將其6-D運動方程線化，建立自由擾動運動方程，再分析其穩定性。實際運動，即擾動運動中，所有運動參數可寫成

(9)

式中：下標“0”表示未擾動運動中運動參數的值；Δ()、Δ()、…、Δ?()為對應運動參數的偏量。低旋高超聲速炮彈飛行受到擾動時，運動參數即產生偏量，各運動參數的偏量都對彈道特性產生影響。

由于炮彈質量關于縱軸對稱，因此彈體的慣性主軸與其幾何中心軸重合，即=；且擾動運動中，高超聲速炮彈的滾轉角速度和未擾動運動中的一樣?；谏鲜黾僭O，利用運動參數的偏量將6-D運動方程線化，略去速度偏量方程和其他方程中速度偏量的影響以及重力法向分量變化sinΔ對彈道轉動速度偏量dΔd的影響，再引入動力系數，可得簡化后的自由擾動運動方程為

(10)

其中，各動力系數的含義如表2所示。

表2 動力系數的含義Table 2 Definition of the dynamic coefficients

從表2可以看出，自由擾動運動方程(10)中包含了陀螺穩定性、馬格努斯力矩、轉速及氣動力對尾翼式自旋高超聲速炮彈動態穩定性的影響。由式(10)可知，尾翼式自旋高超聲速炮彈的自由擾動運動方程中有6個未知變量，分別為擾動偏量Δ?、Δ、Δ、Δ、Δ、Δ，要研究各個偏量的變化規律及其對炮彈穩定性的影響，需對式(10)的特征方程進行求解，若其所有特征根的實部均小于零，則式(10)穩定；否則，式(10)不穩定。然而方程組(10)的變量個數較多，求解起來較為繁瑣，此時可借助復角及復合指令系數的方法將其簡化，即令

(11)

(12)

用虛數單位分別乘以式(10)中的第1、3、5諸式，然后與2、4、6諸式相加，同時將式(12)代入其中，可得

(13)

式(13)即為簡化后的描述尾翼式自旋高超聲速炮彈自由擾動運動的方程組，其包含了所有擾動偏量對炮彈運動的影響，在采用了復角和復合指令系數的方法后，其未知變量由初始時的6個縮減為3個，降低了求解難度。若求解其特征方程后所得的實根或復數根中的實部小于零，則說明尾翼式自旋高超聲速炮彈各項運動參數的偏量將隨時間的增長而減小，即其在飛行過程中能夠保持飛行穩定；反之，則不穩定。

另外，可分別采用調整射角和導轉力矩在6-D運動方程中的初值，以及在不同地球模型下進行彈道仿真的方法，分別分析射角、平衡轉速、地球轉速及扁率對尾翼式自旋高超聲速炮彈彈道特性的影響。

4 彈道仿真及分析

4.1 穩定性分析

對方程組(13)求解，設有如下指數函數形式的特解

Δ=，Δ=，Δ=Re

(14)

式中：、、、都是常數，根據式(14)滿足式(13)的條件來確定。

將式(14)及其相應的變量對時間的導數代入式(13)中，消去共同因子，得

(15)

式(15)是關于、、的線性齊次代數方程，只有當是其特征方程的根時，式(13)的解才有如式(14)的形式。令式(15)的系數行列式等于零，展開后得特征方程

++=0

(16)

方程(16)有一個明顯的根，即=0，除此之外，另外兩特征根根、為

(17)

(18)

式(18)即為保證尾翼式自旋高超聲速炮彈彈體動態穩定性的條件式，由式(18)可知：

1) 氣動阻尼系數||(<0)越大，實際運動中對彈體的快、慢圓運動越有利，對動態穩定性越有利；

2) 靜穩定系數||(<0)和法向力系數越大，攻角平面內的升力使速度矢量向彈軸靠攏的能力越大，起到阻尼攻角增大的作用，因此對穩定性有利；

由于動力系數隨馬赫數的變化而變化，、并非定值，而是隨時間變化的，需對具體彈箭進行彈道仿真后，代入相應的彈道參數進行求解。

針對文獻[15]中的高超聲速彈形，基于前文所建立的6-D運動方程對其進行彈道仿真。假設發射地點在北半球的北緯=32°處，發射時的發射角為=40°，初速=2 500 m/s，發射方向為正東方，即發射方位角=90°，在無風的標準大氣模型下仿真計算后得該自旋高超聲速炮彈的縱向外彈道曲線如圖3。從仿真結果可知，在該初始條件下，該彈的射程為413.1 km，彈道高度88.8 km，落點速度1 375 m/s。

方案1(純天然氣發電方案)：計劃于“十四五”期間投產1臺9.5 MW的J920機組和2臺42 MW的6B型機組，至2025年總供電容量為149 MW；于“十五五”期間投產1臺42 MW的6B型機組，至2030年總供電容量為191 MW。

圖3 縱向外彈道曲線Fig.3 Longitudinal exterior ballistic curve

圖4 共軛復根的實部隨時間的變化曲線Fig.4 The real part of the conjugate complex roots with time

從仿真結果得知，在整個飛行過程中，兩根、實部的最大值為179×10，即兩共軛復根的實部總是小于零，說明對應運動參數的擾動變量Δ、Δ、Δ均隨時間的增長而減小，即自由擾動運動方程中的變量Δ?、Δ、Δ、Δ、Δ、Δ都隨時間的增長而減小，該彈的自由擾動運動是穩定的。該結果表明，高超聲速炮彈受到外界擾動作用并離開原有的飛行狀態時，通過低速滾轉能夠使其在干擾消失后且不借助于控制力的情況下恢復到原有的狀態，亦即低速自旋高超聲速炮彈具有良好的彈體穩定性，能夠保持飛行穩定。

4.2 射角對射程、彈道高的影響

射角主要影響炮彈的射程和彈道高。要研究射角對自旋高超聲速炮彈彈道特性的影響，可調整6-D運動方程中射角的初值，通過仿真計算，分析計算結果即可獲得低速自旋高超聲速炮彈的射角對彈道特性的影響。

圖5、圖6分別為橢圓大地假設下該高超聲速炮彈在不同射角下所對應的射程和彈道高的曲線。

圖5 射程隨射角變化的曲線Fig.5 Range curve with angle of fire

圖6 彈道高隨射角的變化Fig.6 Trajectory height with angle of fire

從仿真結果可以看出，當射角在0～60 °的范圍內變化時：本文研究的高超聲速炮彈的射程先增大后減小，在射角=50°時，射程達到最大值457.2 km，因此，該高超聲速炮彈的最大射程角為50°；彈道高度隨射角的增大而非線性地增加，在最大射程角=50°時，彈道高=137.9 km。

由此可見，低速自旋的高超聲速炮彈的射程隨射角的增大而先增大后減小，彈道高隨射角的增大而增大；變化趨勢均呈非線性。

4.3 平衡轉速對散布的影響

尾翼式自旋高超聲速炮彈通過尾翼導轉力矩來提供轉速，低速旋轉可使其不對稱因素的作用不斷改變方向，且前后影響相互抵消，從而減小射彈散布，因此，平衡轉速的大小可能影響自旋高超聲速炮彈的散布大小。平衡轉速與尾翼導轉力矩正相關，炮彈在飛行過程中平衡時有尾翼導轉力矩與極阻尼力矩的值相等，即

-=0

(19)

因此，在6-D運動方程中，平衡轉速的變化體現在尾翼導轉力矩的變化中，通過調整不同平衡轉速時所對應的尾翼導轉力矩系數的值，同時，采用蒙特卡洛法，選取合理的彈道偏差因素及其分布，便可仿真計算出相應平衡轉速下的自旋高超聲速炮彈的散布大小變化規律。

在無風的標準大氣模型下采用蒙特卡洛方法計算該高超聲速炮彈的射彈散布時所采用的偏差因素及其均方差如表3所示，本文擬定各偏差因素的偏差量均服從均值為0的正態分布。

表3 6-D蒙特卡洛散布仿真偏差因素及其均方差Table 3 Deviation distributions of 6-DOF Monte Carlo dispersion simulation

圖7 射程、彈道高、側偏標準差隨平衡轉速變化的曲線Fig.7 The Std.curve of range/ballistic height/lateral displacement with balanced rotating speed

從圖7可以看出，當平衡轉速在6 r·s至20 r·s內變化時，射程、彈道高及側偏的標準差均隨其變化而波動，其中，射程的標準差最大，隨平衡轉速的變化也最明顯：① 當平衡轉速<7.6 r·s以及>14.5 r·s時，射程的標準差的波動相對平緩；② 當平衡轉速76<<14.5 r·s時，標準差波動的幅值較大，且在=8.7 r·s時達到極小值15.0 km，在=10.3 r·s時達到極大值29.3 km；③ 當>14.5 r·s時，在=18.8 r·s時達到極小值7 km。彈道高的標準差隨的變化與射程的類似，且當=9.4 r·s時最大，為7.3 km；當=18.9 r·s時最小，為4.9 km。側偏標準差在=10.3 r·s達到最大，為931 m，在=18.8 r·s時最小，為231 m。

圖8 散布隨平衡轉速的變化曲線Fig.8 Dispersion curve with balanced rotating speed

從圖8可以看出，落點處的縱向散布及側向散布隨平衡轉速的變化規律同射程及側偏的標準差的變化規律相同。從圖9可以看出，同樣地，縱向散布分別在=87 r·s和=18.8 r·s時達到極小值10.1 km和4.7 km，在=10.3 r·s時達到極大值19.8 km；側向散布在=18.8 r·s時最小，為156 m。

從仿真結果可知，尾翼式低旋高超聲速炮彈的射彈散布主要在縱向散布上，即使最小時也有7 km，要減小散布的影響，后續的研究中須在炮彈上加上制導控制系統(如鴨舵)對高超聲速炮彈加以控制，即尾翼式高超聲速制導炮彈。而控制系統的控制信號周期與炮彈繞縱軸的滾轉周期必須嚴格同步，轉速太大時操縱機構來不及換向，可能導致控制過程發生混亂，性能降低，同時轉速太大還會導致馬格努斯力矩太大；且仿真結果還表明，轉速較大時落點速度減小，使得擊中目標時的動能減小，毀傷能力降低。綜上所述，雖然本文研究的自旋高超聲速炮彈的散布在平衡轉速=8.7 r·s和=18.8 r·s分別取得極小值，且=18.8 r·s時最小，但應當把平衡轉速設計在8.7 r·s左右，以適配控制系統的控制能力，同時增加落點動能。

4.4 地球轉速及扁率對彈道特性的影響

地球轉速對自旋高超聲速炮彈彈道特性的影響主要體現在科氏慣性力和牽連慣性力上，如果忽略地球自轉，將地球視為平面大地，可能產生較大的仿真誤差。考慮地球扁率時，將地球視為標準兩軸旋轉橢球體，即橢圓大地假設；否則，將地球視為圓球，即球形大地假設。

扁率對彈道特性的影響主要體現在重力加速度的不同上，重力加速度的大小隨高度變化，在地球子午面內將其沿炮彈矢徑和垂直于矢徑的方向分解為

=+

(20)

其中

式中：、為單位矢量；為牛頓萬有引力系數，為地球質量；=32為考慮地球扁率后，對作為均質圓球時的地球引力加速度修正后的修正系數，=108×10。由式(1)可以看出，若不考慮地球扁率，把地球視為均質圓球，此時=0，則炮彈所受的重力加速度正好表示為

′=-

(21)

因此，為研究地球轉速和地球扁率對自旋高超聲速炮彈彈道特性的影響，可通過刪減6-運動方程中的科氏慣性力項、、和牽連慣性力項、、，以及采用不同的重力加速度式(20)、式(21)的方法，仿真計算出模型改變前后的彈道特性變化規律。

運用上述方法，采用不同地球模型時，該自旋高超聲速炮彈射程的仿真結果在初速=2 500 m/s時隨射角變化的曲線如圖9。

圖9 不同地球模型下的射程仿真結果曲線Fig.9 Range simulation results under different earth models

從圖9中可以看出，當<42°時，球形大地假設下自旋高超聲速炮彈的射程仿真結果略大于橢圓大地假設；當42°<<53°時，球形大地假設下的射程與橢圓大地假設的差值逐漸增大，明顯高于橢圓大地假設，且最大射程角提前至49°，最大射程達4712 km，比橢圓大地假設下50°射角時的最大射程多出140 km；射角<53°時，平面大地假設下的炮彈射程最小，當>53°時，球形大地假設下的炮彈射程依然大于橢圓大地假設，而當>57°時，平面大地假設下的射程超過球形大地假設。從仿真結果可以看出，除了采用球形大地假設時最大射程角附近的射程明顯高于橢圓大地假設以外，其他射角下無論采用球形大地假設還是橢圓大地假設，對射程的影響均在10m的量級內，可忽略不計，而采用平面大地假設時的炮彈射程與另2種的差值在10m的量級。

圖10為采用不同地球模型時的彈道高度在初速=2 500 m/s時隨射角變化的曲線。

從圖10可以看出，采用不同地球模型時自旋高超聲速炮彈的彈道高均隨射角的增大而增大。采用平面大地假設時的彈道高小于另2種假設，差值在10m的量級，而采用球形大地假設和橢圓大地假設時的彈道高度相差僅在10m的量級。因此地球扁率對高超聲速炮彈彈道高的影響可忽略不計。

圖10 不同地球模型下的彈道高度仿真結果曲線Fig.10 Trajectory height simulation results under different earth models

仿真結果還表明，采用球形大地假設或橢圓大地假設時的側偏也相差不大，二者的誤差在允許的范圍內，而采用平面大地假設時側偏極小，因此地球轉速對自旋高超聲速炮彈側偏的影響不能忽略；3種大地模型下的落點速度也基本重合，誤差均在允許范圍內，因此地球轉速和扁率對落點速度的影響較小。

綜上所述，采用平面大地假設，即忽略地球轉速時會給低速自旋高超聲速炮彈的射程、彈道高以及側偏帶來10m以上的誤差，使命中精度大大降低，若考慮在高超聲速炮彈上加入制導控制系統時會增加其工作負擔，給炮彈完成相應的戰斗技術指標增加了困難，因此地球轉速不能忽略；而采用球形大地假設或橢圓大地假設均能在誤差范圍內模擬出高超聲速炮彈的彈道特性，產生的彈道誤差完全可以通過在彈上加入控制系統而消除掉，即地球扁率對低速自旋高超聲速炮彈彈道特性的影響可忽略不計。

5 結論

本文根據尾翼式自旋高超聲速炮彈的飛行特點，考慮地球轉速、飛行高度及氣動力的變化，建立了其適配的6-D運動方程和自由擾動運動方程，并基于已有的彈型進行了穩定性分析和彈道仿真分析，可為高超聲速制導炮彈的總體設計提供參考。所得結論如下：

1) 對自由擾動運動方程進行了仿真求解后，所得特征根的實部小于零，說明低速自旋高超聲速炮彈能夠在飛行過程中具有良好的動態穩定性。

2) 尾翼式自旋高超聲速炮彈的射程隨射角的增大而先增大后減小，彈道高隨射角的增大而增大。在橢圓大地假設下，該彈在發射速度=2 500 m/s時的最大射程角=50°，最大射程達457.2 km，彈道高度137.9 km。

3) 縱向散布在平衡轉速=18.8 r·s時最小，但為了適配安裝控制系統時舵機的操控能力，減小馬格努斯力矩，增大落點動能、提高毀傷效力，設計時選擇平衡轉速=8.7 r·s的極小值點。

4) 忽略地球轉速時會產生10m以上的彈道誤差，對落點位置影響較大，若加入控制系統會極大增加工作負擔；扁率對自旋高超聲速炮彈彈道特性影響的量級僅在10m，可通過加入彈上控制系統消除，可忽略不計。