傅里葉非圓齒輪驅(qū)動導(dǎo)條機(jī)構(gòu)設(shè)計及其分析

陶德華，李 凝，胡禮廣，王 笑

(浙江師范大學(xué)行知學(xué)院，浙江 金華 321100)

粗紡梳毛機(jī)成形裝置是將搓板輸出的粗紗繞成具有一定厚度的粗紗餅，其成形形狀直接影響后續(xù)細(xì)紗機(jī)的喂入[1-2]。該成形裝置運(yùn)動由導(dǎo)條的直線往復(fù)運(yùn)動和滾筒的回轉(zhuǎn)運(yùn)動組成[2-3]。為得到較高質(zhì)量的粗紗餅形狀，梳毛機(jī)成形裝置的導(dǎo)條構(gòu)件需滿足在一定動程范圍內(nèi)作勻速往復(fù)直線運(yùn)動的性能要求[4]。目前常采用階數(shù)比1∶1的橢圓齒輪、傳動比為2∶1的圓柱齒輪和正弦機(jī)構(gòu)的組合機(jī)構(gòu)[5]驅(qū)動導(dǎo)條作往復(fù)直線運(yùn)動，實現(xiàn)了較為平穩(wěn)的導(dǎo)條運(yùn)動，在一定程度上改善了粗紗餅的成形形狀，但僅采用橢圓齒輪驅(qū)動導(dǎo)條，其導(dǎo)條運(yùn)動規(guī)律并不能滿足理想的導(dǎo)條運(yùn)動規(guī)律，且橢圓齒輪后一級為傳動比為2∶1的圓柱齒輪，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，嚴(yán)重影響整體傳動性能。

針對以上問題，本文運(yùn)用一階變性傅里葉及其二階共軛非圓齒輪[6]與正弦機(jī)構(gòu)的組合機(jī)構(gòu)，使得導(dǎo)條構(gòu)件在較長動程范圍內(nèi)實現(xiàn)等速的往復(fù)直線運(yùn)動，建立機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)數(shù)學(xué)模型，并利用MatLab編寫機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)特性輔助分析軟件，利用改進(jìn)的遺傳算法[7]對機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)算，優(yōu)選出一組較優(yōu)參數(shù)，通過虛擬樣機(jī)仿真試驗驗證所建立的運(yùn)動學(xué)分析模型的正確性。

1 導(dǎo)條機(jī)構(gòu)工作原理

新型導(dǎo)條機(jī)構(gòu)工作原理如圖1所示，該機(jī)構(gòu)由1對一階及其二階變性傅里葉級數(shù)型非圓齒輪副[6]和正弦機(jī)構(gòu)串聯(lián)組合而成。動力源由軸O1傳入，驅(qū)動主動變性傅里葉齒輪“1”作勻速轉(zhuǎn)動。通過齒輪嚙合傳動，將動力傳輸給從動非圓齒輪“2”上。由非圓齒輪傳動特性[6]知，從動非圓齒輪“2”作非勻速轉(zhuǎn)動，同時帶動固聯(lián)于其上的曲柄“3”作非勻速轉(zhuǎn)動，動力經(jīng)由滑塊“4”，驅(qū)動導(dǎo)條“5”作往復(fù)直線運(yùn)動。

1—一階主動變性傅里葉齒輪；2—二階從動非圓齒輪；3—曲柄；4—滑塊；5—導(dǎo)條。圖1 非圓齒輪—正弦機(jī)構(gòu)式驅(qū)動機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of non-circular gear sine-mechanism of driver mechanism

2 導(dǎo)條機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程的建立

為便于分析，以鉸鏈O1、O2為原點分別建立坐標(biāo)系xO1y和x′O2y′，并將涉及到的機(jī)構(gòu)參數(shù)及相關(guān)含義列于表1中。

表1 相關(guān)參數(shù)Tab.1 Related parameters

2.1 一階及二階共軛變性傅里葉級數(shù)型非圓齒輪副

傅里葉型非圓齒輪副如圖2所示。

1—一階主動變性傅里葉齒輪；2—二階共軛從動非圓齒輪。圖2 非圓齒輪機(jī)構(gòu)Fig.2 Non-circular gears mechanism

依據(jù)高階非圓齒輪節(jié)曲線及變形非圓齒輪節(jié)曲線生成原理[6]，得到一階主動變性傅里葉級數(shù)型節(jié)曲線數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為：

式中：a0、a1、b1、a2、b2為傅里葉函數(shù)的參數(shù)，m11為第1段變性系數(shù)，m12為第2段變性系數(shù)，其數(shù)值大小滿足等式m12=m11/(2m11-1)。

根據(jù)非圓齒輪傳動特性[8]，得到一階變性傅里葉及其二階共軛非圓齒輪節(jié)曲線應(yīng)當(dāng)滿足的封閉條件：

(2)

式中：σ1=m11φ1，σ2=m12(2π-φ1)，a為非圓齒輪副中心距，其值采用辛普森公式[9]進(jìn)行求解可得到。

二階共軛從動非圓齒輪節(jié)曲線數(shù)學(xué)方程為：

(3)

2.2 正弦機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型的建立

正弦機(jī)構(gòu)[10]見圖3,其曲柄與從動齒輪固聯(lián)，即二者旋轉(zhuǎn)中心同為O2，曲柄與從動齒輪的角速度相等。

圖3 正弦機(jī)構(gòu)示意圖Fig.3 Piagram of sine mechanism

若設(shè)定機(jī)構(gòu)初始位置為導(dǎo)條處于最大位移處(圖3虛線所處位置)，由正弦機(jī)構(gòu)幾何數(shù)學(xué)關(guān)系可知，正弦機(jī)構(gòu)各構(gòu)件在坐標(biāo)系x′O2y′中的坐標(biāo)值推導(dǎo)過程如下：

滑塊4上A點的位置坐標(biāo)可表示為：

(4)

由于導(dǎo)條“5”作往復(fù)直線運(yùn)動，即yB=yC，導(dǎo)條“5”上B點的位置坐標(biāo)可表示為

xB=xA

(5)

導(dǎo)條“5”上C點的位置坐標(biāo)可表示為：

xC=xA-lBC

(6)

則導(dǎo)條位移s方程可表示為：

s=l1cosφ1

(7)

(8)

(9)

3 導(dǎo)條機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)仿真分析軟件

基于所建立的導(dǎo)條機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，利用MatLab編寫了傅里葉非圓齒輪驅(qū)動導(dǎo)條機(jī)構(gòu)設(shè)計分析軟件，如圖4所示。通過人機(jī)交互，輸入機(jī)構(gòu)的設(shè)計參數(shù)包括傅里葉級數(shù)型非圓齒輪參數(shù)：a0，a1，a2，b1，b2，m11，n1(主動輪階數(shù))，n2(從動輪階數(shù))；正弦機(jī)構(gòu)參數(shù)l1,yc,lBC,點擊按鈕，軟件自行計算導(dǎo)條運(yùn)動特性曲線，并進(jìn)行模擬仿真檢查干涉情況。

圖4 傅里葉非圓齒輪驅(qū)動導(dǎo)條機(jī)構(gòu)設(shè)計分析軟件Fig.4 Analysis and design software of sliver guide mechanism driven by fourier noncircular gear

4 參數(shù)優(yōu)化

4.1 參數(shù)優(yōu)化

依據(jù)粗紗成形為粗紗餅的紡織工藝[1]，導(dǎo)條構(gòu)件需滿足在一定動程范圍內(nèi)實現(xiàn)等速導(dǎo)條性能要求，本文采用一階及其二階共軛傅里葉級數(shù)型非圓齒輪副[6]與正弦機(jī)構(gòu)的組合傳動，來實現(xiàn)導(dǎo)條的近似等速運(yùn)動。利用改進(jìn)的遺傳算法[7]對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)算，以導(dǎo)條等速運(yùn)動特性為目標(biāo)函數(shù)，以非圓齒輪傳動特性為約束條件，搜尋滿足粗紗梳毛機(jī)成形機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性的機(jī)構(gòu)參數(shù)。

根據(jù)粗紗梳毛機(jī)成形裝置的工藝特性[1-3]，設(shè)定導(dǎo)條的最大位移量smax=40 mm，正弦機(jī)構(gòu)中曲柄長度l1=20 mm，yC=40，lBC=50 mm。

利用改進(jìn)的遺傳算法[7]優(yōu)化時，基本參數(shù)選擇如表2所示。

表2 相關(guān)參數(shù)Tab.2 Related parameters

具體優(yōu)化過程如下：

(10)

式(10)即為建立的目標(biāo)函數(shù)。

②優(yōu)化參數(shù)的建立。分析導(dǎo)條機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，可知導(dǎo)條的運(yùn)動特性取決于非圓齒輪副參數(shù)，因此優(yōu)化參數(shù)方程為：

xp=[a0,a1,a2,b1,b2,m11]

(11)

③約束方程的建立：為保證非圓齒輪副傳動平穩(wěn)，非圓齒輪應(yīng)滿足保凸性要求[8-9]，即建立的約束方程為：

(12)

4.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

采用改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化得到結(jié)構(gòu)參數(shù)并圓整，其優(yōu)選結(jié)果為：

(13)

將優(yōu)選出的結(jié)構(gòu)參數(shù)輸入圖4的運(yùn)動學(xué)分析軟件中，輸出導(dǎo)條速度曲線如圖5所示，導(dǎo)條在動程內(nèi)實現(xiàn)近似等速的運(yùn)動規(guī)律。將優(yōu)化得到的非圓齒輪設(shè)計參數(shù)代入齒廓生成程序，得到非圓齒輪廓線，如圖6所示。由圖6可清楚看到非圓齒輪齒廓嚙合良好，無根切現(xiàn)象。

圖5 優(yōu)選參數(shù)下導(dǎo)條速度曲線Fig.5 Guide speed curve under optimized parameters

圖6 優(yōu)選參數(shù)下非圓齒輪副Fig.6 Non circular gear pair under optimal parameters

5 虛擬樣機(jī)試驗結(jié)果對比

優(yōu)化得到粗紗梳毛機(jī)成形機(jī)構(gòu)參數(shù)后，利用SolidWorks三維實體建模軟件[12]建立機(jī)構(gòu)的三維實體模型，并進(jìn)行虛擬裝配及干涉檢驗，結(jié)果表明所建模型并無干涉現(xiàn)象。將機(jī)構(gòu)總裝配體導(dǎo)入Adams多體動力學(xué)分析軟件[13]進(jìn)行虛擬樣機(jī)試驗，試驗后處理界面如圖7所示。圖7中右側(cè)為導(dǎo)條的速度曲線，可見優(yōu)化參數(shù)下的導(dǎo)條機(jī)構(gòu)滿足在一定動程范圍內(nèi)作勻速導(dǎo)條運(yùn)動的性能要求[4]。

圖7 虛擬樣機(jī)仿真試驗后處理界面Fig.7 Post processing interface of virtual prototype simulation test

將虛擬仿真試驗得到的導(dǎo)條速度曲線與理論分析結(jié)果比較分析，如圖8所示，結(jié)果顯示二者速度曲線基本吻合，驗證了所建立的數(shù)學(xué)模型的正確性。但虛擬仿真試驗結(jié)果曲線存在明顯抖動，其主要原因有：①非圓齒輪在建模過程中采用樣條曲線擬合，存在建模誤差；②虛擬樣機(jī)仿真試驗時，添加了零件的材料屬性，而理論分析結(jié)果為理想狀態(tài)下的導(dǎo)條速度曲線。

圖8 導(dǎo)條速度曲線對比圖Fig.8 A comparison of guide speed curve

6 結(jié) 論

本文在建立傅里葉非圓齒輪驅(qū)動的導(dǎo)條機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用MatLab編寫了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)特性輔助分析軟件，在研究粗紗梳毛機(jī)成形裝置的工藝特性的基礎(chǔ)上，利用遺傳算法對提出的傅里葉非圓齒輪驅(qū)動的導(dǎo)條機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化求解，得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)，建立三維實體模型之后，進(jìn)行虛擬樣機(jī)試驗，并將理論分析結(jié)果與虛擬樣機(jī)試驗結(jié)果進(jìn)行比較分析，得到以下結(jié)論：

①運(yùn)用一階變性傅里葉非圓齒輪及其二階共軛齒輪和正弦機(jī)構(gòu)的組合傳動來實現(xiàn)導(dǎo)條構(gòu)件在一定動程內(nèi)作等速運(yùn)動規(guī)律，結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)動平穩(wěn)。

②建立傅里葉非圓齒輪驅(qū)動的導(dǎo)條機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，利用MatLab編寫機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)特性輔助分析軟件，為后續(xù)導(dǎo)條機(jī)構(gòu)的設(shè)計分析提供方便、快捷的分析平臺。

③利用遺傳算法對機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)算，根據(jù)優(yōu)選出的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計，虛擬樣機(jī)仿真試驗得到的結(jié)果與理論分析結(jié)果基本吻合，驗證了機(jī)構(gòu)設(shè)計的合理性及所建立的數(shù)學(xué)模型的正確性。