兩類極小二元線性碼的構造

杜小妮 胡金霞 金文剛 孫彥中

(西北師范大學數學與統計學院 蘭州 730070)

1 引言

線性碼因其具有良好的代數結構、易于描述和加解密等特性，在通信、數據存儲、信息安全和密碼學等領域具有廣泛的應用。特別地，極小線性碼是一類特殊的線性碼，在構造具有良好訪問結構的秘密共享方案[1,2]和兩方安全計算[3,4]中起著重要的作用。線性碼的重量分布既能說明碼的糾錯能力，又可用來計算信息在傳輸過程中發生錯誤的概率，因而確定線性碼的重量分布問題是編碼理論中的一個重要課題，但確定一般線性碼的重量分布是非常困難的。

布爾函數作為一類重要的密碼學函數在編碼密碼領域有著廣泛的應用，如利用布爾函數的Walsh譜值分布來構造極小線性碼、雷德-穆勒(Reed-Muller,RM) 碼[5]和Kerdock碼[6]等。1972 年，Baumert等人[7]首次提出了基于定義集構造具有較低重量線性碼的方法，隨后，學者們基于該方法設計了多類低重線性碼[8,9]。2016年，Ding[10]通過選取合適的定義集，提出了利用布爾函數的Walsh譜值分布研究2元線性碼的方法。2018年，Chang等人[11]提出了一類不滿足Ashikhmin-Barg條件的極小2元線性碼。隨后，Heng等人[12]構造了一類不滿足Ashikhmin-Barg條件的無限族極小3元線性碼，并給出了判斷極小線性碼的充分必要條件。同年， Ding等人[13]得到了3類不滿足Ashikhmin-Barg條件的無限族極小2元碼，并給出了碼的重量分布，且提出了新的判斷極小線性碼的充要條件。2020年，Mesnager等人[14]利用特征函數的性質，進一步推廣了文獻[13]的結果。

受上述文獻的啟發，本文利用所設計的布爾函數的Walsh譜值分布構造了兩類極小2元線性碼。具體地，首先得到了給定的Maiorana-McFarland類布爾函數中某些特殊函數的Walsh譜值分布，利用文獻[13]中的方法，以布爾函數的Walsh變換為工具，構造了第1類極小2元線性碼，并確定了其參數和重量分布。其次，利用文獻[14]中的方法，結合特征函數的性質，構造了第2類極小2元線性碼，確定了碼的參數和重量分布。結果表明，本文所構造的這兩類碼均是不滿足Ashikhmin-Barg條件的極小2元線性碼，可用于設計具有良好訪問結構的秘密共享方案。

本文的組織結構如下，第2節主要介紹有限域中的一些定義和基本事實；第3節給出了兩類線性碼的構造；最后，總結全文。

2 預備知識

本節介紹一些基本的概念和已有的結論。

3 主要結論及證明

本節將利用一般的Maiorana-McFarland類布爾函數和特征函數的性質，得到了兩類不滿足Ashikhmin-Barg條件的極小2元線性碼。

3.1 第1類極小2元線性碼

設m是任意正整數，s和t是滿足s+t=m的兩個正整數。一般Maiorana-McFarland類函數形式為

(2) 和(3)的證明與(1)類似，此處不再贅述。

表1 碼C f 的重量分布

3.2 第2類極小2元線性碼

CfˉD[2m-1,m+1]

結合引理3和式(34)，可得碼的長度和維數參數為。

又由式(34)可得

結合引理3，整理可得表2。

表2 碼Cf Dˉ的 重量分布

再結合表2可知

4 結論

本文在文獻[13, 14]的基礎上，利用一類特殊的Maiorana-McFarland函數得到了兩類不滿足Ashikhmin-Barg條件的極小2元線性碼，并給出了碼的參數和重量分布。結果表明，構造的這兩類極小2元線性碼均可用作設計具有良好訪問結構的秘密共享方案。