H-表示方法解Stein方程循環(huán)解

樊學(xué)玲，李 瑩，劉志紅，趙建立

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

本文將使用的符號(hào)如下，Rm×n表示所有m×n階實(shí)矩陣集合，C表示復(fù)數(shù)集合，Cn表示n維復(fù)列向量集合，Cm×n表示所有m×n階復(fù)矩陣集合，SCn表示n×n階復(fù)對(duì)稱循環(huán)矩陣集合，SC-n表示n×n階復(fù)反對(duì)稱反循環(huán)矩陣集合，?表示Kronecker積，In表示n階單位陣，BT表示矩陣B的轉(zhuǎn)置，M?表示M的M-P廣義逆。

X-AXB=C

(1)

的循環(huán)解。Stein方程不僅在控制論[4]，線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析[5]中有重要的應(yīng)用，其在應(yīng)用數(shù)學(xué)[6，7]以及計(jì)算數(shù)學(xué)[8]方面也有重要應(yīng)用，例如Stein方程在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與圖像恢復(fù)[9]，微分方程數(shù)值求解[10]的過(guò)程中都發(fā)揮著重要的作用。

形如

的矩陣被稱為循環(huán)矩陣。循環(huán)矩陣屬于Toeplitz矩陣類，它們的某一行都可以由矩陣的任意行做一定的變換而得到。循環(huán)矩陣的這種獨(dú)特的矩陣結(jié)構(gòu)，決定了其具有良好的性質(zhì)，從而激發(fā)了學(xué)者們對(duì)循環(huán)矩陣的研究。許多學(xué)者發(fā)現(xiàn)循環(huán)矩陣不僅在現(xiàn)代科技以及工程領(lǐng)域上有著重要的應(yīng)用，例如在毛[11]、王[12]、新[13]等人分別研究了循環(huán)矩陣在物理分子振動(dòng)、數(shù)字圖像處理、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)計(jì)算等領(lǐng)域的廣泛運(yùn)用。循環(huán)矩陣在應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)的矩陣分解、控制理論以及多目標(biāo)決策[14]方面也有著廣泛的應(yīng)用。本文解決的問(wèn)題如下。

本文主要借助一種新的工具——矩陣的H-表示——來(lái)研究Stein方程(1)的對(duì)稱循環(huán)解以及反對(duì)稱反循環(huán)解。H-表示方法是將具有特殊結(jié)構(gòu)的n維矩陣，通過(guò)H-表示方法將n2×1維向量映射為p×1維向量(p≤n2)，從而消除冗余，降低問(wèn)題的復(fù)雜度[15]。H-表示在隨機(jī)系統(tǒng)中有廣泛應(yīng)用，Zhang將H-表示分析方法推廣至SMJSs中[16]，通過(guò)H-表示分析法給出了時(shí)變連續(xù)和離散SMJSs的能觀性判據(jù)。……