輪式移動機器人軌跡跟蹤控制研究*

張小俊,劉昊學

(河北工業大學機械工程學院，天津 300401)

1 引言

近幾年，在控制領域中，移動機器人的理論和應用得到研究人員的廣泛關注[1-4]。起初的研究基于運動學模型，控制方法采用線性化反饋控制律，負載變化、參數測量不精確和摩擦等不確定性因素導致機器人不能實現完美的速度跟蹤[5]。于是研究人員通過反步法[6]引入動力學模型，將運動學控制器和動力學控制器相結合，解決了上述不確定性問題，但未考慮外界擾動的因素對機器人軌跡跟蹤的影響。

文獻[7]針對四輪驅動機器人軌跡跟蹤，設計反步自適應模糊滑模控制方法，以解決機器人參數不確定性問題。文獻[8-10]為減小非完整輪式移動機器人的運動和動態不確定性對軌跡跟蹤控制的影響，設計自適應軌跡跟蹤控制方法，減小了軌跡跟蹤的誤差。文獻[11]針對非線性不確定系統的外界干擾問題，提出高增益擴張觀測器，使得跟蹤誤差在有外界干擾的情況下也能夠迅速收斂。文獻[12-14]針對具有擾動的輪式移動機器人跟蹤控制問題，設計了擾動觀測器和虛擬速度控制律。通過擾動觀測器對動態模型的外部擾動進行估計，通過前饋補償的方式實現精準控制。上述研究的移動機器人軌跡跟蹤控制問題，多是根據移動機器人的運動學模型設計跟蹤控制器，未考慮動力學模型在受到外界干擾、參數攝動等不確定性因素時對系統穩定性的影響，難以達到預期效果。

因此，本文建立輪式移動機器人的運動學模型和動力學模型，將自適應算法與滑模擴張狀態觀測器相結合，提出了一種面向輪式移動機器人的基于自適應滑模擴張觀測器的軌跡跟蹤控制算法，并利用Lyapunov 穩定性理論對系統的穩定性進行分析。其中，自適應虛擬速度控制器用于估計系統的不確定參數;滑模擴張觀測器觀測外界干擾，消除抖振現象，完成對期望軌跡的精確跟蹤任務，且跟蹤誤差能在有限時間內收斂。最后，利用仿真軟件與自適應反演滑模控制算法進行對比，以驗證所提算法的有效性和優越性。

2 移動機器人數學模型

2.1 運動學模型的建立

質心和驅動輪軸線中心不重合的六輪移動機器人的基本結構如圖1所示。其中，O是機器人對稱軸與驅動輪軸線的交點，P是機器人質心，d是O與P的距離，b是驅動輪到對稱軸的距離，r是車輪的半徑，θ是機器人前進方向與世界坐標系中x軸的夾角。

在作業過程中，具有2個驅動輪的移動機器人無外界干擾的非完整約束方程如式(1)所示:

(1)

A(q)S(q)=0，

對移動機器人進行運動學分析，可得機器人的線速度v、角速度w與左右車輪速度的關系如式(2)所示：

(2)

進一步可獲得機器人位姿與各參數間關系如式(3)所示：

(3)

移動機器人純滾動的運動學方程如式(4)所示：

(4)

移動機器人在運動過程中經常會出現滑轉、滑移等現象,因此不能夠滿足式(1)的約束條件[15,16]。為解決這類問題，本文將具有滑轉、滑移等擾動現象的非完整移動機器人的約束條件表示為式(5)所示:

(5)

結合機器人純滾動的運動學方程，可得發生側滑、滑移等擾動現象的機器人運動學方程如式(6)所示：

(6)

2.2 動力學模型的建立

由移動機器人的力學分析可知，機器人在x,y方向上的受力是平衡的，在電機軸和垂直x-o-y平面方向上的力矩也是平衡的。因此，建立機器人的動力學方程如式(7)所示：

(7)

其中，m表示機器人總質量；FY表示總阻力；Iwh和I分別表示車輪和系統總的轉動慣量；FXl和FXr分別表示左、右輪的驅動力。簡化式(7)并將其轉化成拉格朗日動力學標準狀態方程,如式(8)所示[17]：

B(q)τ+(C(q))Tλ

(8)

將拉格朗日動力學標準狀態方程兩邊同時乘以(S(q))T，結合受擾動的運動學方程，可得受擾動的動力學方程,如式(9)所示：

(9)

3 機器人軌跡跟蹤控制器的設計

基于自適應滑模擴張狀態觀測器的移動機器人軌跡跟蹤控制方案如圖2所示。機器人實際位姿與期望位姿之間的誤差作為運動學控制器的輸入，采用自適應虛擬速度控制器，在線估計不確定性參數并進行調整，保證了位姿誤差穩定收斂性。將自適應虛擬速度控制器的虛擬速度與機器人實際速度之間的速度誤差作為動力學控制器的輸入，利用擴張觀測器觀測值設計滑模控制器，保證了速度的漸進收斂。針對系統存在的內外部擾動，可通過擴張觀測器對其進行在線觀測估計并以前饋的方式進行補償，降低控制器的負擔。下面分別介紹設計的自適應速度控制器、擴張狀態觀測器和滑模控制器。

為達到控制目標，首先作出如下假設：

假設2期望的線速度、角速度和其導數均有界。

3.1 自適應虛擬速度控制器

由于機械磨損、質心與幾何中心測量誤差等原因，機器人質心與幾何中心的距離d往往是不精確的[18]。因此，本文采用自適應控制方法設計軌跡跟蹤控制器，在線估計未知參數d,使軌跡誤差漸進收斂到零。

(10)

機器人的位姿誤差微分方程如式(11)所示：

(11)

定義Lyapunov函數V0如式(13)所示：

V0=[(xe+d(1-cosθe))2+(ye-dsinθe)2+

(12)

(13)

由Lyapunov函數設計自適應虛擬速度控制器，如式(14)所示：

(14)

3.2 擴張狀態觀測器和滑模控制器

自適應虛擬速度控制器能夠使機器人的運動學系統按照任意期望速度運行并估計機器人本體的不確定性參數，而機器人的實際速度是靠電機獲得的，無法直接獲得期望的速度，同時不可避免地存在外部擾動。為解決這個問題，本文將擴張狀態觀測器與滑模控制器相結合，設計基于擴張狀態觀測器的滑模控制器。利用擴張觀測器觀測未知干擾與系統狀態變量并將觀測值反饋給滑模控制器，對機器人不確定性參數和擾動在線估計和反饋抑制，保證實際速度漸進收斂到虛擬速度[19]。

假設機器人非線性系統的狀態方程如式(15)所示：

(15)

其中，f(t)包含不確定性項和外部擾動項，A、B和C為非零矩陣，bm為非零常數。

聯合式(9)和式(15)，可獲得機器人非線性系統狀態方程為如式(16)所示：

(16)

速度擴張觀測器和角速度擴張觀測器如式(17)所示:

(17)

然后，利用系統的實際輸出和期望輸出定義系統的跟蹤誤差e，將滑模面函數表示為式(18):

(18)

其中，c1>0,c2>0,e1=x1-x1r,e2=x3-x3r,x1r和x3r分別為期望位姿中的第1個和第3個分量。

根據滑模函數與擴張觀測器設計的控制系統驅動力矩方程如式(19)所示:

(19)

4 穩定性分析

4.1 擴張狀態觀測器穩定性分析

(20)

4.2 滑模控制器穩定性分析

(21)

(22)

□

5 仿真分析

(1)圓-直線軌跡跟蹤曲線如圖3所示，由圖3a可知，機器人能夠快速平緩地跟蹤上圓軌跡，并從圓軌跡平滑地過渡到直線軌跡，不受外界的擾動。由圖3b可知，機器人不能在短時間到達預期的軌跡，在圓軌跡到直線軌跡切換時，機器人易受外界的影響，不能迅速恢復預期軌跡。

(2)軌跡跟蹤誤差曲線如圖4所示，2種算法最終都能實現軌跡跟蹤誤差的漸進收斂。本文所提算法相比傳統算法穩定性更好，收斂時間更短。尤其在15 s軌跡切換時，自適應滑模擴張觀測算法能夠更平穩迅速地收斂。

(3)線速度收斂曲線如圖5所示，初始時2種算法的速度變化都很大，但是自適應滑模擴張觀測器算法最終都能收斂到期望的速度。自適應反演滑模算法易受擾動的影響，在期望速度上來回波動，在軌跡切換時速度波動更大。

(4)驅動力矩收斂曲線如圖6所示，自適應反演滑模算法不能消除滑模控制中的抖振現象，本文所提算法能夠有效地消除抖振現象，減小外界擾動對控制的影響。

(5)擾動曲線如圖7所示，從圖7中可以看出，自適應反演滑模算法不能準確觀測擾動現象，自適應滑模擴張觀測器控制算法能夠在短時間內準確觀測擾動。

6 結束語

本文提出的基于自適應滑模擴張觀測器軌跡跟蹤控制算法能夠減小參數攝動和擾動等不確定性因素對移動機器人軌跡跟蹤控制精度的影響。將自適應控制律與擴張觀測器滑模控制器相結合用在移動機器人的軌跡跟蹤控制中，解決了機器人軌跡跟蹤控制精度低、穩定性差的難題。本文利用Lyapunov函數證明了控制系統的穩定收斂性；通過仿真軟件驗證自適應虛擬速度控制器能夠調節機器人本體不確定性參數，使得軌跡跟蹤誤差快速收斂；擴張觀測器可以準確觀測系統的擾動和參數攝動，與滑模控制器結合使用能抑制擾動。通過與自適應反演滑模控制算法對比分析可知，新型軌跡跟蹤控制算法的穩定性和收斂性優于傳統控制算法。