兼顧功角穩定的水電機組調節系統模糊滑模控制器的設計

孔繁鎳，藍天順，駱銘，夏家輝，陸文玲

（1.廣西大學電氣工程學院，廣西南寧 530004；2.南寧職業技術學院智能制造學院，廣西南寧 530008）

0 引言

水輪發電機組能快速起動及并網，具有良好的調節性能，擔任著電力系統調峰調頻等任務，對于維護系統穩定和提高電能質量起著非常重要的作用。同時，水電機組又會給電力系統帶來低頻振蕩或超低頻振蕩的風險，威脅電網的穩定運行［1，2］。為了確保水電機組運行的可靠性，使水資源得到充分的利用，需要對水電機組的控制策略進行深入的研究。

近年來，我國多座大型水電站建成并投產，水電站作為電力系統的能源供給側，其單機容量的增大對電網動態特性的影響日益突出［3，4］。同時，水電機組調節系統的響應速度也在不斷提升，這將使水力系統與電氣系統之間的相互影響越來越明顯。此外，由于大型水電站往往離負荷中心較遠，互聯電網之間的聯系程度相對較弱，使系統不得不面臨一些重大運行問題，其中功角穩定問題尤為突出［5］。通過附加控制裝置，如PSS，可以有效提供系統必要的阻尼［6，7］。但這類裝置在整定時通常忽略了有功功率輸入端水力系統的阻尼系數對其穩定性的影響［8］，不良的有功調節也會給PSS的整定帶來困難。因此，研究建立適當的水電機組調節器控制規則，有助于縮短系統受擾后有功波動的動態過程時間，保證系統振蕩的快速平息及水電機組的穩定運行。因此，從調速器控制律的角度出發，研究水電機組調節系統對系統阻尼性能改善的問題是有意義的。

目前，因結構簡單且易于工程實踐，水電機組調節系統廣泛采用PID 控制［9］。但PID 控制器的結構及參數都較為固定，對復雜非線性系統的跟蹤能力較差。水電機組具有強非線性，傳統PID 對機組參數攝動和外部擾動的魯棒性較差，難以很好地滿足不同工況下的控制需求。為了提升PID 控制器的魯棒性，有學者將PID控制器與智能算法相結合［10-12］，以確定最優的控制器參數。也有學者將先進控制理論引入水電機組調速器的設計中，研究適用于水電機組復雜動態過程的控制策略，如自適應控制［13］，模糊控制［14］，預測控制［15］，級聯控制［16］。但上述方法大多僅考慮單一運行點，難以保證系統在不同工況下的魯棒性［17］。

滑模控制作為重要的魯棒控制策略，其在水電機組優化運行中的運用逐漸得到了廣泛的關注［17-19］。滑模控制是一種變結構控制，其對參數變化及擾動不靈敏［20］，在電力系統中得到了較多的應用。但傳統滑模控制使用不連續的符號函數，易產生抖振問題，且收斂速度較慢，限制了其在水電機組控制中的應用。為解決抖振問題，有學者使用飽和函數替代符號函數［21］，或與模糊系統結合［22-24］，都取得了良好的抖振抑制效果。但上述方法大多采用理想水輪機等簡化模型，且僅關注系統的頻率響應，忽視了系統波動過程中的功角穩定問題。針對收斂速度較慢的問題，鮮有文獻對水電機組滑模控制的趨近律進行專門的探究。在其他領域的研究中，文獻［25，26］提出了基于指數項選擇的趨近律方案，但這類方法增益值一經給定，即為固定值，趨近速率的調節范圍有限。

因此，為進一步挖掘水電機組調速系統的調節潛力，本文通過將發電機功角及端電壓引入滑模面的設計，定義了新的滑模函數，以提高調速器輸出的阻尼性能。其次，基于水電機組不同工況下的振蕩特性，提出了一種以機械功率為參考指標的改進趨近律，以提高趨近律的收斂速度，提升控制器的動態品質。最后，不同負荷工況下的仿真結果表明，所設計的控制器比PID 控制器、常規模糊滑模控制器具有更快的收斂速度和更好的振蕩抑制效果。

1 水電機組調節系統數學模型

水電機組調節系統由液壓伺服機構、壓力引水管道、水輪機、發電機和控制器組成，其結構框圖如圖1所示。

圖1 水電機組調節系統結構圖Fig.1 The structure diagram of the Francis hydro-turbine regulating system

1.1 水輪機與液壓伺服系統數學模型

在水輪機工況變化緩慢的情況下，可近似用穩態特性來描繪動態特性，故水輪機在某一穩態工況下可用如圖2 所示的線性化的水輪機內特性模型表示［28］：

圖2 線性化水輪機內特性模型Fig.2 Linearized internal characteristic model of hydraulic turbine

式中：Δmt為水輪機力矩變化量；Δq為水輪機流量變化量；Δh為水輪機水頭變化量；Δω為水輪機轉速變化量；Δy為水輪機導葉開度變化量；ey為水輪機力矩對導葉開度傳遞系數；ex為水輪機力矩對轉速傳遞系數；eh為水輪機力矩對水頭傳遞系數；eqy為水輪機流量對導葉開度傳遞系數；eqx為水輪機流量對轉速傳遞系數；eqh為水輪機流量對水頭傳遞系數。

根據流體動力學，壓力管道的管壁和水體均具有彈性，當管道較長時，通常使用彈性水擊傳遞函數［4］：

式中：Tw為水流慣性時間常數；Tr為水擊相長。

忽略調速器執行機構的飽和與死區等非線性環節，液壓伺服系統的傳遞函數可表示為：

式中：Ty為伺服時間常數；Δu為控制器的輸出。

聯立式（1）～（3），并結合現代控制理論相關內容，可以建立水力系統的狀態方程：

式中：x1，x2和x3為中間變量，用于表征水輪機、壓力引水管和伺服機構三者之間的聯系。

1.2 發電機數學模型

根據單機無窮大系統Phillips-Heffron 線性化模型，可得到發電機系統狀態方程［29］：

其中，在同步轉速條件下，有Δmt≈ΔPm。此外，ΔPe和ΔVt可進一步表示為

式中：Δδ為發電機功角增量；Δω為發電機角速度增量；為發電機交軸暫態電動勢增量；為勵磁系統的輸出電壓增量；ΔPm為發電機輸入的機械功率增量；ΔPe為發電機輸出的電磁功率增量；ΔVt為發電機機端電壓增量；ω0為系統的基準角頻率；M為發電機慣性時間常數；D為發電機阻尼系數；KA為勵磁系統的增益；TA為勵磁系統的時間常數；為勵磁繞組自身時間常數。K1～K6的具體表達式參見文獻［29］。值得注意的是，除了K3外，K1、K2、K4～K6均會隨著運行點的改變而改變。

1.3 水電機組調節系統綜合模型

聯立方程（4）～（7），整理可得到水電機組調節系統狀態空間模型：

狀態矩陣A中的各項系數如下：

根據狀態方程，可求解出系統的特征根，其中的共軛復根即為系統振蕩模式的特征根，即：

根據系統特征值，還可求出對應的振蕩頻率和阻尼比：

2 兼顧功角穩定的水電機組模糊滑模控制策略

對于水電機組調節系統，其主要控制任務是強制發電機轉速增量Δω跟蹤轉速偏差的理想值Δωd。此外，在本設計中，還將兼顧系統的功角穩定，提升發電機功角輸出在突發干擾下的穩定性，改善水電機組功角振蕩行為。

滑模控制器的滑動模態可以按需設計，且與系統的參數變化和外部干擾無關［19］，可保證系統的漸進穩定性，因此處于滑動模態下的系統具有較好的魯棒性。本節將對水電機組設計滑模控制器。為使控制器有效且正確，需對滑模面和趨近律進行針對性設計。

2.1 滑模面的設計

取轉速偏差Δω為反饋量，令系統的跟蹤誤差為：

在以往的電力系統滑模控制器設計中，為降低計算的復雜性，滑模面通常采用跟蹤誤差函數設計［19］：

式中：c為常數且c＞0。同時，常用的趨近律形式為：

式中：ε為常數，且ε＞0，其大小表征了系統運動點向滑模面趨近的速度，ε越大，趨近速度越快，反之亦然；sgn（s）為符號函數，其定義為：s＞0，sgn（s）=1；s＜0，sgn（s）=-1；s=0，sgn（s）=0。

由式（14）可知，常規滑模面的設計僅以轉速為反饋量，控制器所獲得的系統動態信息較少，導致控制器的調節速度和阻尼性能無法得到很好的兼顧。同時，水力因素與電氣因素對系統穩定性的影響并不是相互獨立的，有功的調節也會使無功發生改變。因此，為研究具有多變量耦合效應的調節系統控制策略，考慮將Δδ及引入滑模面的設計。但在電力系統的實際情況中，難以直接獲取。考慮控制器的實際工程應用的意義，在此使用Δδ及ΔVt進行設計。此時定義新的滑模面函數為：

式中：b、d為比例系數。對式（16）兩邊同時對時間求導，得：

式中：ueq等效控制律，用于將已到達滑模面的系統運行點維持在滑模面上；usw為切換控制率，用于將系統運行點引導至所設計的滑模面。二者的表達式如下：

2.2 模糊控制律的設計

在本節，提出使用模糊系統替代符號函數。上述分析曾指出，ε的取值會影響趨近律收斂速度，若ε取值較小，則收斂速度較慢；若ε取值較大，則易因控制器輸出在正、負之間不停的切換而造成抖振問題。為了消除符號函數sgn（s）因不連續等因素而造成的抖振問題，有學者提出了使用飽和函數sat（s）替代符號函數［21］，飽和函數sat（s）雖能避免抖振問題的出現，但是卻會增加控制器的穩態誤差，喪失一定的控制精度［27］。由于模糊系統具有較強的逼近能力，使用模糊系統替代符號函數sgn（s），能夠在保證跟蹤精度的前提下有效的消除控制器的抖振問題。

選取s和為模糊系統的輸入，定義模糊輸出為Fs。將輸入及輸出信號均劃分為5 個模糊子集，其具體關系如圖3 所示。圖3 中各符號分別為負大（NB）、負中（NM）、零（ZO）、正中（PM）、正大（PB）。其對應的模糊規則如表1 所示，具體規則形式如下：

表1 模糊邏輯規則表Tab.1 Fuzzy rule base

圖3 模糊輸入及輸出隸屬函數曲線Fig.3 The fuzzy membership functions of input and output variables

Rij：若s是Ai且是Bj，則Fs是Cij，i，j=1，2，…，5。其中Ai、Bj和Cij分別為模糊輸入、輸出信號與對應的隸屬值。

模糊輸出Fs會隨著輸入的變化而自動調整，利用Fs替代符號函數sgn（s），則能夠有效的保證系統的跟蹤精度，降低抖振現象產生的概率。此時，結合模糊系統的模糊滑模控制器的控制律為：

值得一提的是，若令ueq中的系數b、d為零，則可得到常規模糊滑模控制器的控制律。

2.3 基于指數規律調整的趨近律設計

進一步觀察模糊控制器，可以看到其輸入及輸出隸屬函數被人為的劃分為多個子集。在子集較少的情況下，會不可避免的造成部分信息的丟失，使控制器的靈活度相對較弱；過多的子集又會降低控制器的響應速度，影響控制器的跟蹤性能。

同時，考慮到水輪機在不同工況下的動態特性差異較大，而目前常用的趨近律在確定增益下即為固定值，無法滿足不同工況下的控制需求；此外，特征值分析表明系統存在非最小相位特性，為了使系統能較快的通過延遲環節，趨近速度有待提高。基于上述分析，本文提出以機械功率為參考指標，設計新的基于指數規律調整的趨近律形式如下：

式中：μ＞0，σ＞0，0＜α＜1，P為水輪機輸出機械功率。

在新的趨近律中，φ（P，s）由Sigmoid 函數和指數函數兩部分組成。Sigmoid 函數的作用是在控制過程中對趨近速率進行調整，α為速率變化點，當|s|＞α時，Sigmoid 函數的分母將隨|s|的增大呈指數速率減小，則φ（P，s）將增大，意味著趨近速度加快；當|s|＜α時，Sigmoid 函數的分母將隨|s|的減小呈指數速率增大，則φ（P，s）將減小，意味著當系統運動點越來越接近滑模面時，趨近速率應減小，以抑制抖振現象的產生。

指數函數的作用是根據水輪機的輸出功率調整控制器趨近速率的上界。當水輪機處于輕載工況時，系統的穩定性較弱，故趨近速率的增益不宜過大；當水輪機處于額定工況時，系統的穩定性相對較高，故可以適當的提高增益上界。

2.4 水電機組調節系統控制律

綜合式（24）～（26），可得到兼顧功角穩定的改進模糊滑模控制器的表達式為：

式中：unFSMCR即為本文所提出的改進模糊滑模控制律。

推論：對于水力發電系統（8），若系統所受的干擾有界，則其在控制輸出（27）的作用下滿足Lyapunov穩定性。

江卸(“卸”，《全宋詩》作“銜”)洞庭急，君山屹半川。別知江有國，大率水多仙。環繞八百里，洪蒙千萬年。晚春桃正碧，南客曉浮船。(卷八桃花門)

證明：定義Lyapunov函數為V=s2/2，則：

因φ（P，s）ε＞0，故恒成立。根據Lyapunov 穩定性判據，s在有限時間內漸進收斂，即當t→∞時，s→0，收斂速度由ε決定。此時，系統外部的跟蹤行為由以下方程式控制：

此時Δω收斂于Δωd，證明了在適當的參數選擇下，所設計的控制器可以控制系統在有界干擾下運行于期望的運行點。

3 仿真與驗證

3.1 特征值分析

在額定水頭下，令額定負荷時P=1 p.u.（標幺值），水輪機傳遞系數及發電機系數在不同負荷下的取值如表2所示。系統其他參數取值為：Tw=1.26，Tr=1，KA=50，ω0=314.159 3 rad/s，TA=0.05 s，=5.004 s，M=7 s，D=0.5，K3=2.487 4。通過計算可得到不同工況下系統的振蕩特性如表3 所示。同時，給出不同工況下系統零極點分布圖如圖4 所示。由表3 可知，在各個工況下，λ1，2對應的主導變量為Δδ、Δω。同時，如圖4所示，λ1，2的運動趨勢為向左半平面移動，故系統受擾后經過衰減振蕩過程仍終將會趨于穩定。但λ1，2離虛軸很近，其仍會對系統的穩定造成較大的威脅；λ3，4對應的主導變量為x1、x2、x3，即λ3，4主要受水力參數變化的影響，且其運動趨勢為向右半平面移動。在30%額定負荷下，因λ3，4離虛軸較近，故在受到擾動后其可能會越來越向虛軸靠近甚至運動到右半平面，使系統失穩；λ5，6的主導變量為，因其離虛軸較遠，故其是穩定的。值得注意的是，在不同工況下，系統均存在位于右半平面的零點，這會造成系統輸出響應的相位延遲，使控制器的設計變得復雜。

圖4 不同負荷工況下系統零極點分布圖Fig.4 Zero-pole distributive charts of the system under different load conditions

表2 額定水頭下不同負荷工況的系統參數Tab.2 System parameters under different load conditions

表3 不同負荷工況下系統特征值分布Tab.3 Distribution of system eigenvalues under different load conditions

由上述分析可知，在考慮傳遞系數隨工況變化的因素后，水力參數主導的特征根有明顯的變化，其對系統穩定性的影響不容忽視。當水輪機處于輕載工況時，λ3，4有向右半平面躍遷的風險，此時控制器輸出信號不宜有較大的波動，故趨近速率的增益不宜過大。當水輪機負載較重時，λ3，4的穩定裕度相對較大，故可以適當提升趨近速率增益。明確了不同工況下水力系統的穩定特性，可為水電機組調速器的設計提供有利的指導。

3.2 參數尋優

本節將通過仿真實驗驗證兼顧功角穩定的改進模糊滑模控制器（nFSMCR）在不同工況下的控制性能，并與常規PID、常規模糊滑模控制器（FSMC）的效果進行對比。PID 控制律表達式為：

式中：Kp、Ki、Kd分別為比例增益、積分增益、微分增益。

考慮水電機組調節系統應在各工況下均具有良好的調節能力，在工況2 下對各控制器各關鍵參數進行整定。為了使控制器的控制效果盡可能達到最優，應設置合適的目標函數，其主要目標是減少穩態誤差和調節時間，并降低系統發生抖振的可能性。ITAE準則能夠兼顧調節的快速性與穩定性，是常用的優化指標之一，其表達式如下：

采用粒子群算法（PSO）優化控制器的控制參數，此時基于nFSMCR控制器的水電機組調節系統的結構框圖如圖5所示。

圖5 兼顧功角穩定的改進模糊滑模控制器結構圖Fig.5 The structure diagram of nFSMCR controller for hydro-turbine regulating system

圖6 目標函數變化曲線Fig.6 The convergence process of different regulator

3.3 控制器效果對比

在工況2下，系統功率受到mg0=0.1 p.u.的階躍擾動時，不同控制器作用下系統的功角和頻率響應曲線如圖7所示。

從圖7 可以看出，與PID 控制器和FSMC 控制器相比，nFSMCR 控制器不僅能保證較快的穩定時間，且功角超調量最小。

圖7 工況2下不同控制器的控制性能對比Fig.7 Comparison of the control performance of different controllers under working condition 2

再分別驗證各控制器在工況1、工況3 和工況4 下控制性能，其中經PSO 算法優化后的PID 參數分別為：Kp=5.33，Ki=0.1，Kd=1.97；Kp=20，Ki=1.22，Kd=0.63；Kp=32.85，Ki=3.58，Kd=1.19。FSMC和nFSMCR控制器參數設置保持不變。外部擾動均為mg0=0.1 p.u.的階躍擾動，各工況下系統功角響應曲線與頻率響應曲線分別如圖8～10所示。

從圖8 可以看出，PID 控制器的穩定時間最短，但功角超調量最大。FSMC、nFSMCR 控制器的控制效果相近，其中nFSMCR 控制器的功角超調量最小，但穩定時間較長，即nFSMCR 控制器在30%額定負荷條件下調節的快速性略有欠缺。由圖9 可知，nFSMCR 控制器比PID 控制器和FSMC 控制器擁有更好的振蕩抑制效果；如圖10 所示，nFSMCR 具有最短的穩定時間（2.39 s），并且能夠以較少的波動穩定系統的功角和頻率，表明在工況4下，使用nFSMCR 控制器的水電機組擁有具有更好的動態響應。

圖8 工況1下不同控制器的控制性能對比Fig.8 Comparison of the control performance of different controllers under working condition 1

圖9 工況3下不同控制器的控制性能對比Fig.9 Comparison of the control performance of different controllers under working condition 3

圖10 工況4下不同控制器的控制性能對比Fig.10 Comparison of the control performance of different controllers under working condition 4

同時，綜合對比各控制器不同負荷工況下的控制性能，可以看到雖然在30%額定負荷下nFSMCR 控制器的穩定時間最長，但其保證了系統功角不會出現過大的超調；在70%及90%額定負荷下，nFSMCR 控制器在轉速及功角振蕩抑制方面都體現出了一定的優勢。

基于上述仿真實驗及分析討論，可以總結出nFSMCR 控制器相比常規PID 和常規模糊滑模控制器所具有的優勢：當系統負荷工況改變時，即使不對控制參數進行調整，控制器也能保證良好的控制效果，具有較強的魯棒性。

4 結論

本文根據水力系統與發電機間的耦合關系，建立了水電機組調節系統狀態空間模型，并討論了不同工況下系統的阻尼特性。為了提高系統功角輸出的穩定性，設計了一種兼顧功角穩定的模糊滑模控制方法。通過理論分析和仿真實驗，得到以下結論。

（1）從調速器控制律的角度出發，通過將Δδ及ΔVt引入滑模面的設計，可以增加調速器抑制系統功角超調的能力，并有效改善了水電機組功角振蕩行為，保證了系統運行的穩定。

（2）在新的趨近律下，當負荷改變而導致系統參數改變時，即使不對控制參數進行調整，所提出的控制律仍具有良好的控制效果，體現出了較強的魯棒性。

與以往的工作相比，本文考慮了不同負荷下水力系統阻尼特性對水電機組穩定運行的影響，提出的控制策略為水電機組調節系統提供了一種新的控制設計思路。然而，應該注意的是，本文所設計的控制方法是基于高度線性化模型得出的，僅適用于小擾動穩定分析。同時，本文尚未考慮水電機組參數的不確定性和系統的時滯特性。這將是未來研究的重點。