運(yùn)用表格分析法優(yōu)化初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的研究

賀麗紅

（甘肅省天水市武山縣渭北初級(jí)中學(xué)，甘肅 天水）

應(yīng)用題是通過(guò)語(yǔ)言文字來(lái)陳述一定事實(shí)、反映數(shù)學(xué)關(guān)系并且求解未知量，一直以來(lái)都是數(shù)學(xué)課程中的重點(diǎn)教學(xué)部分，也是教學(xué)難點(diǎn)。在解答應(yīng)用題的時(shí)候，學(xué)生能夠加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，同時(shí)學(xué)生的分析能力、邏輯思維能力都能夠得到充分鍛煉。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)通過(guò)表格分析的方式能夠呈現(xiàn)更為清晰的思路，也能夠讓學(xué)生的解題過(guò)程更加順利，大大提高教學(xué)效果。

一、表格分析法概述

數(shù)學(xué)表征一般可以分成視覺(jué)化表征和語(yǔ)言化表征兩類。顧名思義，語(yǔ)言化表征就是通過(guò)語(yǔ)言文字的表述來(lái)說(shuō)明已知條件和數(shù)量關(guān)系等，而視覺(jué)化表征則是通過(guò)具體的圖像符號(hào)元素來(lái)表述相應(yīng)對(duì)象，有突出的形象性與直觀性的特點(diǎn)。表格分析通過(guò)建立表格，將已知量、未知量顯示出來(lái)，是視覺(jué)化表征的一種形式。通過(guò)表格分析法，更容易對(duì)題目信息進(jìn)行分析和提煉，從而尋找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)。

在應(yīng)用表格分析法的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)注意把握以下幾點(diǎn)：（1）做好列表準(zhǔn)備。在列表解題之前，教師應(yīng)該做好教育引導(dǎo)，讓學(xué)生通讀題目?jī)?nèi)容，提取有用信息，用心思考其中涉及哪些數(shù)量關(guān)系。（2）明確列表原則。使用列表法是為了梳理題目的關(guān)系，讓解題更加方便，應(yīng)該依照具體題目決定是否需要通過(guò)列表來(lái)解答，不要為了列表而列，要盡量精簡(jiǎn)化。另外，就是在設(shè)計(jì)表格的時(shí)候要注重橫向和縱向安排，一般橫向表示的是數(shù)量關(guān)系，而縱向表示的是比較關(guān)系。（3）填表順序。在填制表格的時(shí)候應(yīng)當(dāng)一邊讀題一邊填寫，先填寫數(shù)字，再填寫未知數(shù)以及代數(shù)式，填好表格之后依據(jù)數(shù)量間的關(guān)系列出方程式。

二、利用表格分析法解決應(yīng)用題的意義

教師在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中不應(yīng)急于讓學(xué)生去求答案，而要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考和學(xué)習(xí)，成為學(xué)習(xí)的主導(dǎo)者。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)當(dāng)中，教師總是把重心放在“怎樣讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題”方面，然而卻忽視了如何“說(shuō)思路，找方法，多檢驗(yàn)”的過(guò)程。從實(shí)質(zhì)上來(lái)說(shuō)，這樣的方式并不利于學(xué)生解題能力的提升。如果學(xué)生長(zhǎng)期缺乏思維習(xí)慣與思維能力的培養(yǎng)，便容易陷入思維僵化的狀態(tài)中?！疤铠喪健钡慕虒W(xué)方法和“死讀書，讀死書”的教學(xué)效果都是與當(dāng)代素質(zhì)教育目標(biāo)相背離的。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)當(dāng)中，尤其要倡導(dǎo)“授之以漁”。另外，從學(xué)生應(yīng)用題解題的具體學(xué)情來(lái)看，造成學(xué)生解題失誤的原因主要在于學(xué)生自身缺乏周密的邏輯思考和分析，而且比較容易馬虎大意。從宏觀角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思想的融合是學(xué)好數(shù)學(xué)的高層次要求。而表格分析法恰恰體現(xiàn)了哲學(xué)與數(shù)學(xué)思維之間的融合，如建立表格反映了關(guān)聯(lián)量之間逆向和順向、直覺(jué)與邏輯、發(fā)散與定向等邏輯關(guān)系，也映射著實(shí)物和實(shí)物之間的普遍聯(lián)系性，反映了或是依從、或是轉(zhuǎn)化、或是對(duì)立的哲學(xué)內(nèi)涵；從微觀來(lái)說(shuō)，表格分析法是一種合理靈活的解題方式，有助于對(duì)命題空間形成清晰認(rèn)識(shí)并且準(zhǔn)確把握命題關(guān)鍵。假設(shè)學(xué)生能夠充分而巧妙地應(yīng)用表格法，就很容易把看似雜糅的數(shù)學(xué)條理分析透徹。數(shù)學(xué)應(yīng)用題當(dāng)中涉及復(fù)雜的量與量之間的關(guān)系，常常讓學(xué)生難以理清頭緒，從而對(duì)解題抱有抵觸心理，對(duì)自身能力有質(zhì)疑，久而久之，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣也受到不良影響。而表格能夠通過(guò)其固有的直觀形象性和條理性的優(yōu)勢(shì)屬性，幫助學(xué)生清楚應(yīng)用題中所蘊(yùn)含的量。這種方式能夠很好地彌補(bǔ)他們分析能力不足的情況，利用表格分析法解題，為學(xué)生理清解題思路提供了較好的技巧，能夠減輕學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的畏難情緒和抵觸心理，樹立學(xué)習(xí)信心。將表格分析法引入初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)當(dāng)中，讓教學(xué)效果也得到很大提升。

三、利用表格分析法優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的策略

（一）利用表格分析法解答決策類應(yīng)用題

關(guān)于決策類的應(yīng)用題是近幾年考試中的熱點(diǎn)，也比較貼近學(xué)生的日常生活。在做決策類應(yīng)用題的時(shí)候，學(xué)生能夠調(diào)動(dòng)已有的生活經(jīng)驗(yàn)，知道哪種決策方式是比較經(jīng)濟(jì)的選擇。然而在決策類應(yīng)用題中往往包含著大量的信息，容易讓學(xué)生眼花繚亂，無(wú)法抓準(zhǔn)重點(diǎn)和理清思路，所以就比較適合利用表格分析法來(lái)解題，使用表格法解決決策題目可以讓學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)把相關(guān)元素對(duì)應(yīng)匹配好，然后對(duì)題意形成清晰理解，形成完整的思路框架。

例題，出于經(jīng)營(yíng)管理需要，某家大型公司計(jì)劃購(gòu)置一批筆記本電腦和投影儀。通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到購(gòu)置一臺(tái)筆記本電腦和兩臺(tái)投影儀的費(fèi)用是3.5萬(wàn)元，購(gòu)買兩臺(tái)筆記本和一臺(tái)投影儀的價(jià)格為2.5萬(wàn)元。第一問(wèn)：求一臺(tái)投影儀、一臺(tái)筆記本電腦的單價(jià)分別是多少元。第二問(wèn)：據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司需要購(gòu)入的筆記本和投影儀的總數(shù)為30臺(tái)?？傎M(fèi)用預(yù)計(jì)不得超過(guò)30萬(wàn)元，但是也不可低于28萬(wàn)元。共有幾種購(gòu)置方案可供選擇？哪種購(gòu)置方案最經(jīng)濟(jì)？

本題解題步驟如下：①根據(jù)相關(guān)題干信息，將筆記本電腦的單價(jià)設(shè)為x萬(wàn)元，將投影儀單價(jià)設(shè)為y萬(wàn)元。建立表格（如表1）：

表1

則筆記本電腦單價(jià)為0.5萬(wàn)元/臺(tái)，投影儀單價(jià)為1.5萬(wàn)元/臺(tái)。

在學(xué)生通過(guò)計(jì)算完成第一個(gè)問(wèn)題之后，學(xué)生的積極性較高，參與意愿強(qiáng)，教師可以巡視學(xué)生情況，接著推進(jìn)學(xué)生解答第二問(wèn)。師：假設(shè)需購(gòu)進(jìn)筆記本電腦數(shù)量為a臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)投影儀的數(shù)量為（30-a）。嘗試以此列出表格與不等式解答第二問(wèn)。

①學(xué)生結(jié)合第一問(wèn)所得結(jié)果以及題干信息，列表格如下（表2）：

表2

在構(gòu)建表格和方程組的過(guò)程中，學(xué)生思維能力得到了鍛煉，行動(dòng)力也得到加強(qiáng)。運(yùn)用表格分析的方式，避免了由于無(wú)效解題而浪費(fèi)時(shí)間。學(xué)生通過(guò)構(gòu)建表格，注意力更加集中在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題上，效率也得到了提高。

（二）利用表格分析法解答銷售類應(yīng)用題

商品銷售也是學(xué)生日常生活中常常接觸到的情境。正常商品買賣應(yīng)用題計(jì)算對(duì)初中生來(lái)說(shuō)都很簡(jiǎn)單。但是在出現(xiàn)打折優(yōu)惠這類復(fù)雜的情況時(shí)，一些學(xué)生常常容易混淆，難以形成條理，利用表格分析帶入不同的價(jià)格配置方案，常常能夠讓問(wèn)題迎刃而解。

例題：商場(chǎng)銷售牙膏與牙刷，牙膏單價(jià)為24元/支，牙刷售價(jià)為5元/支。為了提高產(chǎn)品銷量，現(xiàn)在商場(chǎng)推出了兩種促銷方案。第一種方案是買一支牙膏贈(zèng)送一個(gè)牙刷，第二種方案是在原價(jià)的基礎(chǔ)上打九折。有一名顧客買了5支牙膏，牙刷若干（不少于5支）。將客戶購(gòu)買牙刷的數(shù)量設(shè)為x支。按照商場(chǎng)兩種優(yōu)惠方案來(lái)計(jì)算付款金額，將方案1付款金額設(shè)為A，方案2付款金額設(shè)為B。第一問(wèn)：兩種付費(fèi)方式有何不同，請(qǐng)列式說(shuō)明。第二問(wèn)：這名顧客購(gòu)買多少牙刷的時(shí)候，兩種方案收費(fèi)相等？

①根據(jù)題干信息，引導(dǎo)學(xué)生建立表格進(jìn)行解題，可得下表（如表3）：

表3

②通過(guò)分析易得A=5x+95（x≥5），B=4.5x+108（x≥5）。想要求得顧客購(gòu)買多少牙刷的時(shí)候能夠讓兩種方案價(jià)格相等，也就是求解x為多少的時(shí)候A=B（即5x+95=4.5x+108）。求得x為26的時(shí)候，兩種方案付款金額相等。

通過(guò)建立表格，兩種方案價(jià)格的計(jì)算方式更加清晰明了，對(duì)比也更加鮮明。教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算在兩種方案總價(jià)相同的時(shí)候，應(yīng)付款金額為多少元，以此來(lái)鞏固練習(xí)。

（三）利用表格分析法解決比例增長(zhǎng)應(yīng)用題

比例增長(zhǎng)問(wèn)題也是時(shí)常讓學(xué)生感到“頭痛”的一類數(shù)學(xué)應(yīng)用題。主要原因在于數(shù)量過(guò)多容易造成學(xué)生對(duì)于基數(shù)量辨別不清，導(dǎo)致解題方向和最終結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用表格分析的方式找出基數(shù)量等相應(yīng)元素，提高解題效率。

例題：某大型超市2021年2月份的銷售額為100萬(wàn)元，3月份的銷售額下降了20%。針對(duì)這種情況，管理部門積極推進(jìn)整改工作，后期的銷售額也得到了相應(yīng)提升。到了2021年5月份，銷售額達(dá)到135.2萬(wàn)元。問(wèn)：4月、5月兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是多少？

①根據(jù)題干信息，將4月、5月兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率設(shè)置為x，列出表格（如表4）：

表4

②將題目中已有的數(shù)字信息帶入其中，形成方程，即5月份的銷售額100×（1-20%）（1+x）（1+x）=100×（1-20%）（1+x）2=135.2。學(xué)生易求得此方程的解為x1=0.3，x2=-2.3。又因x2=-2.3不合題意，舍去，故而求得x=0.3=30%為本題的解，所以4、5月份兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率為30%。

本題涉及多個(gè)時(shí)間點(diǎn)、基期量以及增長(zhǎng)率信息。學(xué)生如果在看題之后直接列式解題的話，常常弄不清楚邏輯，解題不但缺乏效率，而且容易出現(xiàn)計(jì)算失誤。利用表格分析法來(lái)解決比例增長(zhǎng)這類問(wèn)題，能夠?qū)Σ煌瑫r(shí)間點(diǎn)的基期量、增長(zhǎng)率形成一一對(duì)應(yīng)的劃分，這樣就比較清晰，也不容易出錯(cuò)。

（四）利用表格分析法解決工程類應(yīng)用題

工程問(wèn)題學(xué)生從小學(xué)就有所接觸，到了初中時(shí)期，依舊是應(yīng)用題中常見(jiàn)的重點(diǎn)題型。工程類應(yīng)用題是滲透了函數(shù)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想的題型，也是分?jǐn)?shù)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)的引申與補(bǔ)充。然而在教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于工程應(yīng)用題常感覺(jué)無(wú)從下手，特別是對(duì)于工程總量為“1”的這種設(shè)定表示難以理解。針對(duì)工程問(wèn)題這種較為抽象的應(yīng)用題題型，數(shù)學(xué)教師不妨引導(dǎo)學(xué)生使用表格分析法來(lái)解決。

例題：某項(xiàng)手工制造活動(dòng)，甲師傅單獨(dú)做的話需要4個(gè)小時(shí)能夠完成，乙?guī)煾祮为?dú)做的話，需要8個(gè)小時(shí)才能夠完成。如果甲師傅先單獨(dú)操作半小時(shí)，然后甲、乙兩位師傅共同合作的話，還需要多少小時(shí)能夠完成這項(xiàng)工作？

本題的難點(diǎn)主要在于兩者并非同時(shí)開展工作，而是先后進(jìn)行，又有共同合作。而且對(duì)于具體工程量沒(méi)有明確數(shù)值。所以學(xué)生就覺(jué)得過(guò)于困難。教師可以引導(dǎo)學(xué)生建立表格，把工程量問(wèn)題劃分清楚，具體如下：

①設(shè)甲、乙兩位師傅合作的話還需要x小時(shí)能完成。將工程總量視為整體1，那么甲師傅工作效率為，乙?guī)煾倒ぷ餍蕿椤＜讕煾档墓ぷ鲿r(shí)間為x）小時(shí)，乙為x小時(shí)。學(xué)生將整理好的信息代入表格當(dāng)中（如表5）

表5

②通過(guò)構(gòu)建出來(lái)的表格，題目中的數(shù)量關(guān)系清晰呈現(xiàn)在眼前。下一步就是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建方程，即構(gòu)建方程之后學(xué)生就能夠容易求得答案。由此可見(jiàn)表格分析法對(duì)于梳理應(yīng)用題的益處。

總而言之，應(yīng)用題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)解答應(yīng)用題也是測(cè)試和培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)運(yùn)用能力和思維靈活性的重要方式。將表格分析法引入初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)課堂是一種成效顯著的方式，表格分析法對(duì)學(xué)生梳理題目邏輯、分析題干內(nèi)容提供了良好的引導(dǎo)，值得在教學(xué)中進(jìn)行使用和推廣。廣大教育者還應(yīng)注重鉆研，尋求靈活新穎、科學(xué)好用的教學(xué)方法，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力。