橢圓軌道類天體運動問題的突破方法

劉曉花

(山東省平度市第九中學)

橢圓軌道類天體運動問題,因其運動軌跡的特殊性,分析的方法與圓周類天體運動問題有所不同,近幾年的全國高考卷和地方高考卷對該類問題都有所涉及,如2021年高考全國乙卷第18題和福建卷的第8題均對此進行了考查,其中福建卷還涉及了橢圓的偏心率.試題難度不大,但考后統計表明,學生對該類問題的作答卻不盡人意.究其原因主要有三點:一是學生對橢圓知識不熟悉,應用數學工具分析物理問題的意識淡薄;二是對萬有引力定律和向心力公式中的“r”認識模糊,將二者中的“r”混為一談;三是受思維定式的影響,在橢圓運動中盲目套用天體圓周運動的規律.那么如何有效突破這一問題難點呢? 筆者認為要著重把握好以下兩個方面.

1 熟悉橢圓知識,樹立數理意識

1.1 長軸、短軸和焦距

在如圖1所示的橢圓中,左、右兩端點A、B之間為長軸,記為2a,上、下兩端點C、D間的距離為短軸,記為2b,兩焦點F1、F2之間的距離為焦距,記為2c,三者之間的關系為(2a)2＝(2b)2＋(2c)2,即有a2＝b2＋c2.

圖1

1.2 離心率和曲率半徑

1)離心率:是橢圓扁平程度的一種量度,離心率定義為橢圓焦距和長軸的比值,用e表示,即e＝.

2)曲率半徑:曲率半徑主要是用來描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度,在橢圓中,A、B兩端點處的曲率半徑定義為橢圓半短軸的二次方和半長軸的比值,用ρ表示,即ρ＝

2 厘清兩個關系,把握問題本質

1)橢圓軌道中,近點和遠點的速度關系

如圖2所示,一天體m繞另一天體M運動,其運動軌跡為橢圓,天體M處在橢圓其中一個焦點上,可認為靜止不動.設OA間的距離為rA,OB間的距離為rB,天體m運動到A點和B點的速度大小分別為vA和vB.

圖2

2)不同中心天體的質量關系

由開普勒第三定律可知,所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等,即有,這個規律對其他天體系的橢圓運動和圓周運動同樣適用.但公式中的k與中心天體的質量存在著怎樣的關系,及不同中心天體的質量如何建立聯系,大部分學生并不清楚,這也是導致2021年高考全國乙卷第18題和福建卷的第8題得分率較低的一個主要原因.下面,我們以天體圓周運動為例進行推導.

如圖3所示,天體m繞中心天體M做勻速圓周運動,則由萬有引力提供向心力有,故有

圖3

由此,再反觀開普勒第三定律便不難得出,無論繞“中心”天體做橢圓運動還是圓周運動,均有k＝.可見,k與中心天體的質量成正比,不同中心天體的質量則可通過對應的橢圓半長軸(或圓周半徑)和公轉周期建立聯系.

例(2021年福建卷)兩位科學家因為在銀河系中心發現了一個超大質量的致密天體而獲得了2020年諾貝爾物理學獎.他們對一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進行了持續觀測,記錄到的S2的橢圓軌道如圖4所示.圖4 中O為橢圓的一個焦點,橢圓偏心率(離心率)約為0.87.P、Q分別為軌道的遠心點和近心點,Q與O的距離約為120AU(太陽到地球的距離為1AU),S2的運行周期約為16年.假設S2的運動軌跡主要受銀河系中心致密天體的萬有引力影響,根據上述數據及日常的天文知識,可以推出().

圖4

A.S2與銀河系中心致密天體的質量之比

B.銀河系中心致密天體與太陽的質量之比

C.S2在P點與Q點的速度大小之比

D.S2在P點與Q點的加速度大小之比

總之,分析橢圓軌道類天體運動問題時,要以“橢圓”為切入點,強化數學方法分析物理問題思維,以開普勒第三定律為紐帶,建立天體橢圓運動與圓周運動的關聯,明確近點和遠點所遵循的運動規律,辨析中“r”在不同情境中表示的不同含義,只有這樣,才能以不變應萬變,靈活分析問題和解決問題.

鏈接練習

航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后,在A點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ,B為軌道Ⅱ上的一點,如圖5所示,關于航天飛機的運動,下列說法正確的有().

圖5

A.在軌道Ⅱ上經過A的速度等于經過B的速度

B.在軌道Ⅱ上運動的周期大于在軌道Ⅰ上運動的周期

C.在軌道Ⅱ上經過A的速度小于在軌道Ⅰ上經過A的速度

D.在軌道Ⅱ上經過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經過A的加速度

鏈接練習參考答案

C.

(完)