拋體運動的難點探究

程彬 馬仕彪

(安徽省濉溪中學)

拋體運動的規律很多,是曲線運動的基礎,與很多運動都可以有機結合,在電場和復合場中都有廣泛的應用.本文從拋體運動的基礎入手,結合勻變速運動、牛頓第二定律等知識,對拋體運動的難點問題進行探究,并在廣度和深度上進行延伸,以提高同學們的物理能力和學習興趣.

1 平拋運動

1.1 兩個重要推論

1)任意時刻瞬時速度的反向延長線一定通過這段時間內水平位移的中點,如圖1所示,即

圖1

2)任意時刻瞬時速度與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角的正切值的2倍,即tanθ＝2tanα.

3)引申:a)如圖2所示,從傾角為θ的斜面上將小球以速度v水平拋出,無論v多大,小球落到斜面上時與斜面夾角均相等;b)如圖3所示,帶電粒子以初速度v0垂直電場方向進入勻強電場,帶電粒子在電場中做類平拋運動,在電場外觀察粒子的出射情況,粒子“好像”是從電場中心射出的.

圖2

圖3

1.2 速度改變量

平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt是相同的,方向恒為豎直向下,如圖4所示.請注意,這里的速度變化量Δv為矢量.

圖4

1.3 約束條件下的平拋運動

對平拋運動考查的試題里,幾乎所有情境都是有約束條件的.

1)影子的問題

對于拋體運動的影子問題,很多同學都容易出錯,始終都不明白影子的運動情況,或者認為影子的運動就是小球的一個分運動.

如圖5所示,點光源到豎直光屏的距離為d,緊貼點光源以速度v0水平向豎直光屏拋出一小球,小球在運動的過程中,會在光屏上留下一系列的影子.在t時刻,x＝,由相似原理可知,化簡得Y＝·t,說明光屏上的影子做勻速直線運動.

圖5

2)斜面上的平拋運動問題

a)從斜面拋出又落到斜面的時間.

圖6

b)與斜面最遠距離和經歷的時間.

方法1 如圖7所示,小球的速度方向平行于斜面時離斜面的距離最遠,設經歷的時間為t′,則vy＝v0tanθ＝gt′,故運動時間為,此時小球的水平位移為x′＝v0t′＝,小球速度方向的反向延長線交于處,故小球離斜面的最遠距離

圖7

方法2如圖8 所示,把初速度v0、重力加速度g分別分解成沿斜面和垂直斜面的兩個分量,即v0x＝v0sinθ,ax＝gcosθ.小球垂直斜面分速度為零時,經歷時間

圖8

此時距離斜面最遠,最遠距離為

c)如圖9 所示,斜面傾角為θ,從斜面上的某點分別以v1和v2(v1＞v2)的速度水平拋出A、B兩個小球,兩小球在落點不發生反彈.

圖9

3)半圓內的平拋運動問題

如圖10 所示,由平拋運動知識和幾何關系得h＝,R±,可以得到以下結論.

圖10

a)除h＝R情況外,小球下落相同的高度時對應兩個水平位移,因此v0可能有兩解.

b)無論小球拋出的速度多大,都不可能垂直打在半圓上.

2 斜拋運動

2.1 拋出點和落地點高度相同的斜拋運動

如圖11所示,物體以與地面夾角為θ、大小為v0的初速度從地面斜向上拋出,水平方向分速度vx＝v0x＝v0cosθ,豎直方向分速度vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt,由對稱性知t上＝t下＝,上升的最大高度h＝,水平射程

圖11

2.2 拋出點和落地點高度不同的斜拋運動最大射程和最佳拋射角

很多同學可能會認為在任何情形下,當拋射角θ＝45°時,水平射程都最大.形成這一錯誤認識的主要原因是學生所記的結論是從地面斜向上拋出的情形,而普遍的情況則是如圖12所示的情形.

圖12

方法1解析式法

在豎直方向上h＝－v0sinθ·t＋,水平方向上x＝v0cosθ·t.兩式結合可得

化簡得

圖13

2.3 斜面上的斜拋運動

如圖14 所示,運動員從傾角為α的斜面上以與斜面的夾角為θ、大小為v0的初速度跳出,經過一段時間后,又落到斜面上.選擇豎直向下為正方向,有y＝－v0sin(θ－α)·t＋gt2,vy＝－v0sin(θ－α)＋gt.水平方向上有x＝v0cos(θ－α)·t,vx＝v0cos(θ－α),y與x滿足關系＝tanα,設落到斜面時運動員速度與水平方向夾角為φ,tanφ＝＝2tanα＋tan(θ－α)為常量.

圖14

3 拋體運動在生活、體育、軍事等中的應用

3.1 雨傘甩水問題

如圖15所示,雨傘邊緣到傘柄距離為R,邊緣高出地面高度為H,當雨傘以角速度ω繞傘柄勻速轉動時,雨滴從傘邊緣水平甩出而做平拋運動.設雨滴從傘的邊緣以初速度v0沿切線做平拋運動,水平方向位移x＝v0t,豎直方向位移H＝,線速度與角速度滿足的關系為v0＝ωR,雨滴在地面形成圓的半徑,結合以上各式解得r＝.

圖15

3.2 水管出水問題

如圖16所示,一距地面高為h水平放置的水管,管內橫截面積為S,水從管口處以速度v0源源不斷地沿水平方向流出,假設水流在空中不散開,用t表示水由噴口到地面所用的時間,則有h＝,水流穩定后在空中的體積為V＝Sv0t＝

圖16

3.3 發球類問題

拋體運動在各類體育運動項目中很常見,下面以乒乓球的發球為例來說明.

例1如圖17所示,已知一乒乓球臺長為2L、網高為h,乒乓球與臺面之間的碰撞為彈性碰撞,碰撞過程滿足反射定律,不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力.重力加速度為g.

圖17

(1)若球在球臺邊緣O點正上方高度為h1處以速度v1水平發出,落在球臺上的P1點,如圖17實線所示,求P1點距O點的距離x1;

(2)若球從O點正上方以速度v2水平發出,恰好在最高點時越過球網落在球臺上的P2點,如圖17虛線所示,求v2的大小;

(3)若球從O點正上方水平發出后,經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣P3點,求發球點距O點的高度h3.

圖18

點評本題綜合性較強,“恰好越網”的臨界點是這一題的關鍵,要求考生對乒乓球的發球規則有一定了解,并且要有扎實的幾何知識才能將本題順利解決.

3.4 射擊問題

例2如圖19所示,裝甲車在水平地面上以速度v0＝20m·s－1沿直線前進,車上機槍的槍管水平,距地面高h＝1.8m.在車正前方豎直立一塊高為2m的長方形靶,其底邊與地面接觸.槍口與靶距離為L時,機槍手正對靶射出第一發子彈,子彈相對槍口的初速度為v＝800m·s－1.在子彈射出的同時,裝甲車開始做勻減速運動,行進s＝90 m 后停下.裝甲車停下后,機槍手以相同方式射出第二發子彈.不計空氣阻力,子彈可看成質點,重力加速度g取10m·s－2.

圖19

(1)求裝甲車做勻減速運動時的加速度大小;

(2)當L＝410m 時,求第一發子彈的彈孔離地的高度,并計算靶上兩個彈孔之間的距離;

(3)若靶上只有一個彈孔,求L的范圍.

點評本題有兩大難點,一是對“子彈相對于槍口的初速度為v＝800m·s－1”的理解,并能將此速度轉化為對地的速度;二是對“靶上只有一個彈孔”的理解,然后再找出對應臨界值即可將問題解決.

4 拋體運動中的臨界與極值

例3如圖20所示,一軌道由半徑為R＝2m 的四分之一豎直圓弧軌道AB和長度可調的水平直軌道BC在B點平滑連接而成,現有一質量為0.2 kg的小球從A點無初速度釋放,經過圓弧上B點時,傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6N,小球經過BC段所受的阻力為其重力的0.2倍,然后從C點水平飛離軌道,落到水平地面上的P點,P、C兩點間的高度差為3.2m,不計空氣阻力,g取10m·s－2.

圖20

(1)為使小球落點P與B點的水平距離最大,求BC段的長度和P與B點的水平距離的最大值;

(2)小球落到P點后彈起,與地面多次碰撞后靜止,假設小球每次碰撞后機械能損失75%、碰撞前后速度方向與地面的夾角相等,求小球從C點飛出到最后靜止所需的時間.

點評本題考查的數學知識較多,但物理與數學還是有很大差異的,問題的本質還應該落在物理上,而不是純粹的數學計算,否則將失去物理應有的本性.

5 拋體運動與其他運動的結合

例4如圖21所示,長為R＝0.4m 的輕繩一端固定在O點,另一端系一質量為m＝0.5kg的小球,現將繩子拉成豎直狀態,小球處于最高點.現給小球一個大小為v＝m·s－1的水平初速度,g取10m·s－2.求小球運動到最低點時輕繩的拉力.

圖21

解析如果小球恰好能做完整的圓周運動,在最高點mg＝,代入數值得v0＝2m·s－1,所以當v≥2m·s－1時小球才能做完整的圓周運動.

圖22

設繩子繃緊瞬間OP與豎直方向夾角為α,此過程x＝vt,y＝,結合這幾個關系式,可以解得α＝60°,t＝0.2s,vy＝gt＝2m·s－1.

繩子繃緊后瞬間,速度會出現突變,即沿繩方向上的速度突變為零,只剩下沿垂直于繩方向上的速度,機械能有損失.因此只要將P點分速度vx和vy沿繩的方向與垂直于繩的方向進行分解,然后再合成就可以了,即v1＝vxcosα＋vysinα＝m·s－1,從繩子繃緊到最低點應用動能定理有mgR(1＋cosα)＝,在最低點應用向心力公式有F－mg＝,解得F＝28.4375N.

點評在繩子繃緊的瞬間,速度出現了突變,導致動能瞬間減小.很多考生在解決本題時,可能沒有考慮到這一點而造成錯誤.

拋體運動可考查的范圍很廣,難點很多,但只要掌握了拋體運動的基本知識和規律,有關拋體運動的問題便可迎刃而解.

(完)