豎直平面內圓周運動引起系統離地問題分析

唐小平

(貴州省遵義市桐梓縣桐梓二中)

在高中物理階段,有一類比較特殊的物理問題:某個物體在豎直平面內做圓周運動,引起整個系統離地.

模型如圖1所示,一個電動機質量為M,在其轉軸上用長為r的剛性繩固定一個質量為m的物體,為使電動機不跳離地面,其轉軸轉動的角速度最大應為多少?

圖1

分析根據日常經驗,我們可以判斷出,當物體轉到最高點時,若物體對轉軸的作用力恰好等于電動機的重力,電動機受力平衡,這時轉軸的轉速是臨界值;當轉軸轉速大于這個轉速時,電動機跳離地面.我們只需求出這個臨界角速度就可以解決問題.

解當電動機剛要跳離地面時,物體運動到最高點,物體對飛輪的作用力F恰好等于電動機的重力Mg,得F＝Mg.以物體為研究對象,由牛頓第二定律可得Mg＋mg＝mω2r,解得ω＝

以上就是本文要講的問題的典型表現形式和常見解題方法.但是,物體跳離地面的臨界條件真的就是做圓周運動的物體運動到最高點時嗎? 下面我們以例題為證,看看臨界條件究竟如何確定.

例1如圖2所示,在水平地面上有一個質量為M的立方體,它的內部中心有一個半徑為R的豎直圓槽,一個質量為m的小球放在槽底.若小球與圓槽之間光滑無摩擦,給小球一個水平向右的初速度v0,之后小球沿圓槽做周期性變速圓周運動,立方體始終靜止在地面上.當初速度v0分別取時,求立方體對地面的最小壓力.

圖2

錯解小球運動到最高點時,立方體對地面的壓力最小.設小球到達最高點時的速度為v,小球由最低點到最高點時,由機械能守恒定律可得

分析以上解法貌似正確,其實犯了兩個非常大的錯誤:其一,沒有判斷小球能夠運動到最高點所需的最小初速度的大小;其二,主觀認為小球運動到最高點時就是立方體對地面的壓力最小時.第一個錯誤,很多學生能夠避免,第二個錯誤卻是絕大多數學生的常見認知,他們忽略了影響立方體對地面壓力大小的因素是小球與立方體間作用力的豎直分量的大小.

正解設小球恰好運動到最高點時速度為v,則有mg＝,解得v＝,根據機械能守恒定律得,解得v0＝.由此可判斷題給兩個初速度情況下小球均能到達最高點.

如圖3 所示,設小球運動到與豎直方向的夾角為θ時速度大小為v,立方體對小球的作用力為FN,則由機械能守恒定律和牛頓第二定律得

圖3

解得

則小球對立方體的作用力

由以上計算可知,立方體對地面的壓力最小時,小球的位置與其初速度有關,并非總是在小球運動到最高點時.

例2如圖4所示,半徑為r的圓形光滑導軌A豎直放置并固定在木板B上,木板B無法左右移動但可以向上無阻礙運動.有一個小球靜止放在圓形導軌底部.小球、導軌A和木板B的質量均為m.給小球一個水平向右的初速度v0,為保證小球能夠運動到導軌最高點,同時木板B不離開地面,則小球的初速度v0可能是().

圖4

分析本題涉及兩個臨界值.其一,當小球運動到軌道最高點時速度為是初速度v0取最小值的臨界條件,此時v0＝;其二,小球對軌道的豎直向上的作用力恰好等于2mg,是木板恰好離開地面的臨界條件.

解如圖5所示,設小球運動到與豎直方向的夾角為θ時速度大小為v,導軌對小球的作用力為FN,則由機械能守恒定律和牛頓第二定律得

圖5

以導軌和木板為整體,設二者的質量為M,要使木板不離開地面,有

聯立式①②③可得

通過以上分析,我們可以知道,當某個物體在豎直平面內做圓周運動引起另一物體離地時,不可主觀判斷,必須通過縝密的分析計算,才可得到準確結果.

(完)