基于拓撲優(yōu)化的變參數(shù)橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

周藝，邱勇，何文云，郭金楠，阮艷平

（1云南農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利學(xué)院，云南昆明 650201；2云南省玉溪市水利電力勘測設(shè)計院，云南玉溪 653100）

0 引言

傳統(tǒng)工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計主要依靠工程人員的經(jīng)驗和力學(xué)概念，并未形成系統(tǒng)的方法[1]。蔡新等[2]提及早期優(yōu)化設(shè)計多采用基于直覺的準(zhǔn)則法，缺少嚴格的理論依據(jù)，求得的待定解不一定是真實解。隨著計算機的發(fā)展，基于數(shù)學(xué)和力學(xué)方法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，已經(jīng)由尺寸優(yōu)化發(fā)展到形狀優(yōu)化、拓撲優(yōu)化等階段[2]。

拓撲優(yōu)化能在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計初始階段為設(shè)計者提供一個新穎高效的概念性設(shè)計，使結(jié)構(gòu)在布局上實現(xiàn)最優(yōu)方案[3]。陳艾榮等[4]通過實例，介紹了應(yīng)用拓撲優(yōu)化技術(shù)進行橋梁結(jié)構(gòu)找型的方法，并展示了結(jié)構(gòu)衍化過程及優(yōu)化結(jié)果；張宏等[3]基于密度懲罰法，提出了一種連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題的優(yōu)化準(zhǔn)則算法，在橋梁概念設(shè)計中得到了理想的優(yōu)化結(jié)果。

就大學(xué)生結(jié)構(gòu)設(shè)計競賽而言，夏雨等[5]對紙質(zhì)結(jié)構(gòu)模型進行了極限承載力的實驗及結(jié)構(gòu)優(yōu)化；陳慶軍等[6]提出了如何在一個限定空間內(nèi)，在滿足強度及剛度的前提下，找出一個最優(yōu)或者較優(yōu)的空間桿系結(jié)構(gòu)；王文利等[7]在結(jié)構(gòu)設(shè)計初始階段經(jīng)過理論分析和不斷的模型試驗，嘗試了近50個模型之后得到滿足賽題要求的結(jié)構(gòu)。

總的來說，拓撲優(yōu)化能夠在概念設(shè)計階段通過對結(jié)構(gòu)進行整體找型，避免橋梁設(shè)計和制作階段的盲目試載，節(jié)約大量時間并控制成本。

1 賽題簡介

賽題所要求的橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計，應(yīng)能夠承受分散作用的豎向集中荷載以及橋面移動荷載，亦即在限定的空間尺寸和加載條件下實現(xiàn)變參數(shù)（支座頂面標(biāo)高、橋下凈空頂標(biāo)高和豎向加載荷載）橋梁結(jié)構(gòu)預(yù)定功能。

1.1 結(jié)構(gòu)模型設(shè)計要求

模型設(shè)計時，需要考慮的空間尺寸限制條件（圖1）如下：（1）平面上橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計須規(guī)避給定的4個陰影區(qū)域；（2）為保證通航要求，橋下凈空頂部標(biāo)高H取值范圍為-150～-50mm，以50mm階梯取值；（3）②軸支座頂面標(biāo)高V1=-160mm；（4）③軸支座頂面標(biāo)高V2取值范圍為-160～140mm，以75mm階梯取值。

圖1 加載裝置圖

模型加載過程中，B軸和B1B2交點的位移測點最大變形不得超過10mm。結(jié)構(gòu)所使用的竹材力學(xué)指標(biāo)見表1，模型設(shè)計或制作可供選擇的竹材幾何截面尺寸見表2。

表1 竹材力學(xué)指標(biāo)

表2 竹材規(guī)格

1.2 加載方式

8個豎向加載點處的荷載取值范圍為40～130N（取10N的倍數(shù)），各加載點荷載值不能重復(fù)。

（1）一級加載，8個加載點分別懸掛各自的待定荷載。

（2）二級加載，包括兩個步驟：步驟一，保持C1、C2加載點靜載不變，左側(cè)加載點或右側(cè)加載點中任選一個加載點將該加載點的所有荷載值轉(zhuǎn)移至另一側(cè)的任一加載點上；步驟二，將第一步移入荷載點上的所有荷載值，全部轉(zhuǎn)移至該加載點的B軸對稱點，或者移至第一步移出荷載點的B軸對稱點上。

（3）三級加載，保持上一級靜載作用，施加移動荷載50N。

2 參數(shù)取值與方案設(shè)計

待定參數(shù)的加入，不僅賦予橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計競賽更多的靈活性，還提供了方案選擇的諸多可能。

2.1 支座頂面標(biāo)高取值

支座頂面標(biāo)高V2變參數(shù)設(shè)計取值范圍為-160～140mm，按照75mm階梯進行 取 值，有-160mm、-85mm、-10mm、65mm、140mm等5種情況。前3種支座標(biāo)高均低于橋面，與橋身和支座相連的桿件主要受壓；后2種支座高度均高于橋面，與橋身和支座相連的桿件主要受拉。為充分考慮與橋身和支座相連桿件的受壓和受拉情況，分別選取支座標(biāo)高低于橋面和高于橋面的三組取值-160mm、-85mm和140mm進行對比分析。

2.2 橋下凈空頂部標(biāo)高取值

橋下凈空頂部標(biāo)高H取值范圍為-150～-50mm，以50mm階梯取值，有-150mm、-100mm和-50mm等3種情況。

2.3 加載取值與方案設(shè)計

考慮變參數(shù)橋梁結(jié)構(gòu)受不同荷載組合的影響，橋梁結(jié)構(gòu)在滿足第一級加載的情況下，需要針對荷載施加方案中第二級加載方案進行探討。經(jīng)過分析，選取以下兩組工況（表3）：工況一和工況二的一級加載均為最大荷載組合，其中工況一的荷載基本對稱布置，最大荷載130N布置在自由端，承擔(dān)一定的扭矩，工況二的荷載偏心布置，最大荷載130N布置在自由端，加大偏心影響；兩種工況下二級加載的移動荷載點的選擇均考慮最不利荷載（扭矩）組合影響；在此基礎(chǔ)上施加移動荷載50N完成三級加載。

表3 加載點取值方案(A1～D2）（單位：N）

3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

變參數(shù)橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化一般可分為3個層次：拓撲優(yōu)化、形狀優(yōu)化、尺寸優(yōu)化[8]，分別對應(yīng)實際設(shè)計中的三個不同階段：概念設(shè)計、基本設(shè)計和詳細設(shè)計。拓撲優(yōu)化是在給定的設(shè)計空間中，尋求滿足一定約束條件的最優(yōu)構(gòu)件或材料分布形式，優(yōu)化的三要素包括設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件，根據(jù)不同的問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，尋找求解設(shè)計變量的合適方法[9]。

通過拓撲優(yōu)化可以對變參數(shù)橋梁結(jié)構(gòu)進行整體找型，使得設(shè)計部分能夠不受已有橋梁結(jié)構(gòu)體系的思維束縛，從而得出不拘一格的結(jié)構(gòu)形式[4]；形狀優(yōu)化是用來發(fā)掘工程系統(tǒng)構(gòu)件的合理內(nèi)外邊界形狀的；尺寸優(yōu)化則是以結(jié)構(gòu)桿件外形或者孔洞形狀為優(yōu)化對象，力求得到滿足工程安全要求的最輕結(jié)構(gòu)。

3.1 優(yōu)化模型建立

考慮到橋面板上部空間范圍內(nèi)需要滿足移動荷載要求，為了賦予結(jié)構(gòu)更多的可選設(shè)計空間，模型上部結(jié)構(gòu)采用左右對稱的板殼結(jié)構(gòu)，下部結(jié)構(gòu)采用實體結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 結(jié)構(gòu)初始模型圖

3.2 結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

通過拓撲優(yōu)化得到初始結(jié)構(gòu)最不利荷載的位置為D1、D2點處（圖3），經(jīng)過找型后的模型以板面結(jié)構(gòu)和桿件結(jié)構(gòu)為主：橋面板采用桿件結(jié)構(gòu)，上部結(jié)構(gòu)采用板殼，下部結(jié)構(gòu)采用板殼和桿件結(jié)構(gòu)相結(jié)合的形式。有限元模型的單元類型采用梁單元，網(wǎng)格數(shù)量為677129，殼單元和實體單元均采用剛性連接。

圖3 結(jié)構(gòu)找型后模型圖

3.2.1 支座頂面標(biāo)高下的拓撲優(yōu)化

考慮結(jié)構(gòu)保留率50%時，對不同支座頂面標(biāo)高=-160mm、-85mm和140mm進行拓撲優(yōu)化，得到的刪除率依次為55.95%、55.54%、52.67%（圖4）。考慮到支座頂面標(biāo)高對結(jié)構(gòu)重量的影響以及冗余部分刪除情況，支座頂面標(biāo)高V2取值-85mm時，優(yōu)化后得到的結(jié)構(gòu)質(zhì)量相對更小。

圖4 支座頂面標(biāo)高優(yōu)化后結(jié)構(gòu)圖

3.2.2 橋下凈空拓撲優(yōu)化

當(dāng)支座頂面標(biāo)高取值V2=-85mm時，橋下凈空取值只能考慮H=-50mm（H=-100mm和H=-150mm無法滿足通航要求）。由于右側(cè)支座兩側(cè)荷載原因，橋下凈空拓撲優(yōu)化結(jié)果見圖5。

圖5 橋下凈空優(yōu)化后結(jié)構(gòu)圖

3.2.3 加載取值拓撲優(yōu)化

綜合考慮對稱荷載和不對稱荷載作用情況，保留率為50%時，上部結(jié)構(gòu)能夠刪除冗余部分，甚至形成桿件，但部分區(qū)域仍然存在板殼部分或者桿件截面面積還具有優(yōu)化的空間。經(jīng)過多次拓撲優(yōu)化后，得到滿足要求的不同方案結(jié)構(gòu)保留率僅為26.50%、27.90%（圖6），此時對稱荷載作用下的結(jié)構(gòu)質(zhì)量為2.205kg，不對稱荷載作用下的結(jié)構(gòu)質(zhì)量為2.286kg。相比初始結(jié)構(gòu)，優(yōu)化后的質(zhì)量下降84.86%、83.25%。

圖6 加載取值優(yōu)化后結(jié)構(gòu)圖

綜合考慮，選取工況二進行結(jié)構(gòu)設(shè)計能夠同時滿足工況一加載要求，故后續(xù)優(yōu)化設(shè)計僅對工況二進行討論。

3.3 結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化

由于實際工程的復(fù)雜性，拓撲優(yōu)化的結(jié)果與實際需求相比，還遠遠不能達到工程應(yīng)用要求[3]。形狀優(yōu)化通過調(diào)整結(jié)構(gòu)內(nèi)邊界形狀來改善結(jié)構(gòu)性能，其主要用來發(fā)掘構(gòu)件的合理內(nèi)外邊界形狀[2]。基于結(jié)構(gòu)所用材料要求，形狀優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)圖均為桿件，如圖7所示。

從圖7可以看出，形狀優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)桿件集中在右側(cè)支座附近，和結(jié)構(gòu)加載的主要受力情況吻合。

圖7 形狀優(yōu)化后結(jié)構(gòu)圖

3.4 結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化

尺寸優(yōu)化以構(gòu)件外形為優(yōu)化對象，對構(gòu)件的截面尺寸進行調(diào)整，以適應(yīng)不同加載需求。考慮不對稱荷載作用，按照表2所給竹材規(guī)格對圖7的結(jié)構(gòu)進行尺寸優(yōu)化，得到圖8所示的結(jié)構(gòu)，優(yōu)化流程具體如圖9所示。

圖8 尺寸優(yōu)化后結(jié)構(gòu)圖

圖9 優(yōu)化流程圖

結(jié)構(gòu)剛度的優(yōu)化結(jié)果見表4。

表4 結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化結(jié)果

表4反映了結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中剛度的變化：結(jié)構(gòu)從初始狀態(tài)的實體結(jié)構(gòu)到支座標(biāo)高下的拓撲優(yōu)化過程中，模型剛度在增大（變形減小）；但從不連續(xù)的拓撲結(jié)構(gòu)到竹材桿件結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)質(zhì)量繼續(xù)減少，桿件結(jié)構(gòu)的剛度也出現(xiàn)減小（變形增大），故需要進一步驗證最終優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)是否能夠滿足承載要求。

3.5 結(jié)構(gòu)內(nèi)力及應(yīng)力應(yīng)變計算

為了判斷結(jié)構(gòu)強度、剛度以及穩(wěn)定性是否滿足要求，需要對拓撲優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)（圖8）進行內(nèi)力分析和應(yīng)力應(yīng)變計算，結(jié)果如圖10所示。

圖10 三級荷載作用下模型內(nèi)力及應(yīng)力應(yīng)變圖

其中：A桿為軸向拉伸Nmax=654.9N，B桿為軸向壓縮Nmax=656.8N；C桿為最大剪力Qmax=4.7N，D桿為最小剪力Qmin=4.4N；C桿為最大扭矩MTmax=181.3N，D桿為最小扭矩MTmin=262.5N；C桿為最大正彎矩Mmax=504.5N·mm，D桿為最大負彎矩Mmax=851.1N·mm；A桿為最大拉應(yīng)力σmax=43.4MPa，E桿為最大壓應(yīng)力σmax=29.6MPa；A2點處最大位移值εmax=-11.270mm。

根據(jù)以上計算結(jié)果，列出結(jié)構(gòu)在不同工況作用下的桿件最大應(yīng)力及應(yīng)變值，如表5所示。

表5 結(jié)構(gòu)應(yīng)力應(yīng)變計算結(jié)果

由表5可知，結(jié)構(gòu)在不同工況情況下，強度均能滿足要求。位移最大值出現(xiàn)在A2加載點，其位移εmax達到了-11.618mm和-11.270mm，位移測點的變形εmax僅為-2.642mm和-2.823mm。

對于受壓桿件結(jié)構(gòu)，即便強度滿足要求，但如果變形過大，也會導(dǎo)致其出現(xiàn)失穩(wěn)破壞。因此還需要結(jié)合桿件截面尺寸和內(nèi)力組合情況進行穩(wěn)定驗算，表6給出了橋梁結(jié)構(gòu)在工況二情況下主要桿件的允許承載力Pcr。

表6 主要桿件穩(wěn)定性驗算結(jié)果

結(jié)合表5和表6可以得出：經(jīng)過拓撲優(yōu)化后，受力桿件和整體結(jié)構(gòu)均能滿足強度、剛度以及穩(wěn)定性要求。

4 結(jié)語

對于變參數(shù)橋梁結(jié)構(gòu)，通過拓撲優(yōu)化可以方便地對結(jié)構(gòu)進行整體找型：（1）在滿足預(yù)定功能時左右對稱最不利荷載情況下的結(jié)構(gòu)保留率為26.50%時，優(yōu)化后的冗余部分刪除率為76.57%；（2）左右不對稱最不利荷載情況下的保留率為27.90%時，優(yōu)化后冗余部分刪除率為69.57%。亦即刪除冗余部分過程中，不同荷載分布的作用影響不大。

基于拓撲優(yōu)化結(jié)果和賽題所給材料進行形狀優(yōu)化，得到斜拉式的橋梁上部結(jié)構(gòu)，再結(jié)合竹材規(guī)格進行尺寸優(yōu)化得到最優(yōu)截面：（1）左右對稱最不利加載情況下，結(jié)構(gòu)模型質(zhì)量為290.2g，桿件最大拉應(yīng)力σmax=34.5MPa、最大壓應(yīng)力σmax=-27.9MPa，最大位移ε=-12.002mm（測試點位移滿足要求）；（2）左右不對稱最不利加載情況下，結(jié)構(gòu)模型質(zhì)量為294.2g，桿件應(yīng)力和位移值同樣能夠滿足要求。表明滿足不對稱加載的變參數(shù)橋梁結(jié)構(gòu)也能夠滿足對稱加載要求。

綜上所述，拓撲優(yōu)化能夠在橋梁概念設(shè)計階段通過整體找型功能，結(jié)合形狀和尺寸修改，得到滿足強度、剛度以及穩(wěn)定性要求的結(jié)構(gòu)，從而避免盲目試載，節(jié)約時間和控制成本。