基于非接觸式電流傳感器的電力系統拓撲識別方法

王炳焱陳錦榮唐軍沛馮仁杰

(1.廣東電網有限責任公司佛山供電局，廣東 佛山 528000；2.東方電子股份有限公司，山東 煙臺 264670；3.哈爾濱工程大學智能科學與工程學院，黑龍江 哈爾濱 150000)

正確的電網拓撲對于配電系統的狀態估計、故障定位、需求響應等至關重要。如果對拓撲識別錯誤，則系統的控制和運行會產生偏差[1]。因此，必須經常識別網絡的拓撲。然而，由于配電網線路上的測量數據有限，以及獲取的開關和斷路器狀態信息往往不可靠[2-4]。在實際應用中，拓撲識別最常見的方法是派遣電網運維人員檢查開關狀態，但人工成本很高，而且不能為了持續跟蹤拓撲的變化而頻繁地執行這類操作。另一種方法是使用基于測量的拓撲識別算法，該算法根據可用的傳感器數據估計開關的狀態。

一些學者提出了基于測量的拓撲識別方法[5-10]。其中一類方法利用各種現場測量值對每種可能的拓撲結構進行狀態估計，然后選擇狀態估計殘差最小的拓撲結構[11]。然而，這種窮舉的方法通常在計算上很復雜。另一類方法是將拓撲識別問題集成到狀態估計問題公式中，以同時估計系統狀態和開關狀態[12]，這有助于提高計算效率。但是，任何涉及狀態估計的拓撲識別算法都會遇到可能沒有足夠的現場測量值來進行完整狀態估計的問題。

還有一些學者提出了使用有限測量的拓撲識別方法。其中常見方法是基于電壓測量的拓撲識別[13-15]。例如，在文獻[16]中，作者通過對電壓測量進行相關性分析來重建電網拓撲。在文獻[17]中，采用時序信號驗證方法，利用同步電壓相量數據來識別拓撲結構。還有一些方法是使用智能電表數據進行拓撲識別[18-21]。也有基于測量線路潮流的拓撲識別方法[22-23]。但在實際應用中，每個測量點都需要安裝電壓互感器和電流互感器之類的儀器設備進行功率測量，造價昂貴。

本文提出了一種新的基于非接觸式電流傳感器的拓撲識別算法。首先以混合整數非線性規劃(mixed integer nonlinear programming，MINLP)的形式提出了拓撲識別問題。然后采用重構方法來處理非線性問題，將其表述為混合整數線性規劃(mixed integer linear programming，MILP)。此外，還對非接觸式線路電流傳感器的規劃提出了建議，以確保拓撲識別方法的性能。

文中研究內容基于非接觸式傳感器的應用，與傳統的測量電壓和功率的傳感器相比，非接觸式電流傳感器具有成本低、安裝簡單的優點。非接觸式傳感器還可以測量電場，估計電流測量的相對相角，從而可以像微型相量測量單元(phasor measurement unit，PMU)一樣估算相量，但其只能估算電流。這類傳感器可測量大于1 mA 的電流，誤差為1%，測量相角的誤差為1.5°[24]。非接觸式電流傳感器已經有了大量商業應用，越來越多的電網公司正在考慮在其配電線路上安裝這種低成本傳感器。

在下文中，第1 節介紹了拓撲識別方法。在第2節對非接觸式電流傳感器的規劃及誤差處理進行了分析。在第3 節以33 節點測試系統和位于某地的實際運行系統為例，對所提出的方法進行了測試，并與其他方法進行比較。最后在第5 節給出了結論。

1 拓撲識別方法

1.1 拓撲識別問題的非線性表達

假設所有開關都閉合，所有線路和節點都處于正常工作狀態。根據基爾霍夫電流定律(Kirchhoff’s Current Law，KCL)，注入到每個節點的電流等于連接到該節點的線路相關電流之和。

式中:Ii為注入節點i的電流變量，Ni為連接到節點i的線路集合，Iij為線路{i，j}的電流變量，N為節點集合。在兩個節點之間的線路上流動的電流取決于線路的開關狀態、兩個節點的電壓和線路的導納。根據基爾霍夫電壓定律(Kirchhoff’s Voltage Law，KVL)，可得:

式中:sij為線路{i，j}切換狀態的二進制變量，Vi為節點i的電壓變量，yij為線路{i，j}導納。如果線路{i，j}在正常工作狀態，則sij=1，否則為0，確保Iij為0，表示該線路已停止工作。根據冪法則，節點電壓Vi與電流Ii之間的關系可表示為:

式中:bi為用于節點i切換狀態的二進制變量。如果節點i連接到網絡，則bi值為1，否則為0，表示存在孤島節點。在這種情況下，拓撲識別算法可以確定停電區域。拓撲識別問題可用以下優化問題的形式表示:

式(4)受式(1)-(3)約束，其中K表示裝有電流傳感器的線路集合。在上述優化問題中，主要決策變量是二進制線路切換狀態變量sij和二進制節點切換狀態變量bi。其他變量，即線路電流Iij、節點注入電流Ii和節點電壓Vi是輔助變量。負載Si和線路電流測量為參數。優化問題關鍵在于使得由式(1)～式(3)計算的線路電流相量與線路傳感器測量的線路電流相量相匹配。線路sij的解可得到線路開關的狀態，因此sij的解可指明拓撲結構。節點i的變量bi的解指示節點是否連接到電網的其余部分，bi的解指明停電區域，輔助變量的解表示對系統狀態的估計。

1.2 拓撲識別混合整數線性規劃表達

式(4)所示的優化問題在其目標函數和約束條件中都涉及幾個非線性項。以下將分析如何將這個問題轉化為MILP 形式。

步驟1 式(2)中的非線性是由于二進制變量sij與連續變量Vi和Vj相乘所致。為了克服這種非線性，首先，用下面的線性方程代替式(2):

式中:Uij是輔助變量，相當于sij(Vi-Vj)。如果sij=1，即線路{i，j}在工作中，則Uij=Vi-Vj，否則Uij=0。Uij、sij和Vi-Vj之間的非線性關系通過添加以下新的線性約束來處理:

上述約束式中M為大M法參數。由于Uij和Vi-Vj是復數形式，因此使用式(6)～式(7)和式(8)～式(9)分別得到Uij的預期實部和虛部。如果sij=0，則式(6)和(8)不具有約束力，且由式(7)～式(9)可得Uij=0，再根據式(5)，可得Iij=0。如果sij=1，則式(7)和(9)不具有約束力。由式(6)～式(8)，可得Uij=Vi-Vj，再考慮式(5)，可得Iij=yij(Vi-Vj)。由此可知式(5)～式(9)中的線性約束與式(2)中的非線性約束等價。

步驟2 式(4)中的非線性與式(3)中電壓相量、電流相量相乘有關，稱為潮流方程非線性。采用了文獻[25]中基于泰勒展開和工程近似的方法來處理此類非線性問題。為此，與傳統潮流公式中的實數近似不同，采用復數線性近似。假設每個節點i上的電壓以標幺值表示，與變電站的基準節點上的電壓相關。假設:

通過在零附近進行泰勒級數展開并忽略高階項，可得:

近似誤差的計算公式為:

圖1(a)表示復數域中的電壓相量，在圖1(a)中圓內每個點上評估上述誤差，從而得到圖1(b)中所示的誤差指標。在ΔV=0.1 時，近似誤差僅為1%左右。實際上，ΔV通常是0.05 或更小。因此，近似誤差僅為0.3%或更小，可以忽略。

圖1 線性化的準確性驗證

接下來，將式(11)代入式(3)可得:

由于二進制變量bi與相量變量Vi的相乘，式(13)仍然是非線性的。因此，引入一個新的輔助變量Wi，并將式(13)替換為以下線性方程:

式中:Wi=Vibi。如果bi為1，即如果節點i連接到電網，則Wi=Vi；否則Wi=0，表示該節點沒有連接到電網。上述Wi、bi和Vi之間的關系可以通過實施以下新的線性約束來實現:

如果bi=1，則Re{Wi}=Re{Vi}；如果bi=0，則Re{Wi}=0。類似地，根據式(17)～式(18)可得到Wi的虛部。式(14)～式(18)中的線性等式與式(3)中的非線性等式約束等價。

從式(14)開始，與斷開的節點相關聯的電流注入被約束為0。然而，并未要求斷開節點的電壓也為0。還需要添加以下新的約束，以確保斷開的節點確實為零電壓:

步驟3 式(4)中的目標函數是一個絕對值，它不是線性的。可用一個線性目標函數和幾個線性不等式約束代替目標函數中的絕對值約束。式(4)中的目標函數最小化等價于最小化的實部和虛部.設Eij和Fij表示兩個輔助變量，其中｜Re{Iij-通過以下約束將輔助變量集合到問題中:

步驟4 結合步驟1 到3，將拓撲識別優化問題以線性形式表示如下:

式(24)以式(1)、式(5)～式(9)和式(14)～式(23)為約束。拓撲識別問題已被表述為MILP 問題，可以使用各種軟件包進行求解。

2 電流傳感器配置

2.1 可觀測性與傳感器布置

為了識別電網拓撲，需要確定開關狀態。開關斷開的線路無電流，因此可通過估計線路電流來獲得開關的狀態，從而獲得最終的拓撲結構。可觀測性分析需要確定多少個傳感器以及安裝位置才能估計所有線路的電流。

定理1 如果在配電網的每個獨立回路中至少放置一個線路電流傳感器，則配電網的拓撲是可識別的，即可以求解式(4)以得到正確的拓撲。

證明在具有N個節點和L個支路的電路中，為了估計支路電流，需要L個獨立方程。在可用的N個電流方程中，N-1 方程是獨立的。因此，為了得到總共L個獨立方程，需要L-(N-1)個附加獨立方程，可通過測量L-(N-1)個線路電流來獲得。

回路是一條閉合路徑，它從一個節點開始，經過一組節點，然后返回到初始起始節點，而不會多次經過任一節點。如果一個回路本身不包含任何回路，則稱它是獨立的。在電路理論中，獨立回路產生獨立的KVL 方程，其個數為L-(N-1)。因此，只要使用線路電流傳感器直接測量獨立回路中L-(N-1)條線路的電流，就可以估計出所有線路電流。

在圖2 所示的獨立回路中，假設節點流入電流I1，I2，…，In已知。要計算回路中每條線路的電流I1，2，…，In-1，n。由KCL 可得:

圖2 具有n 個節點的獨立回路

其中A是n×n矩陣。矩陣A的秩為n-1，因此，線路電流存在無窮多個解。然而，如果用一個基于線路電流傳感器測量的獨立方程代替其中一行，可保證這個線性方程組具有唯一解。替代公式為Ii-1，i=，其中表示在節點i-1 和節點i之間測得的線路上的電流，得到以下新的線性系統:

與式(25)不同，式(26)中的方程組有唯一解。因此在獨立回路中的任何位置安裝一個線路電流傳感器將提供一個獨立方程。由于網絡中存在L-(N-1)個獨立回路，因此在每個獨立回路上安裝L-(N-1)個線路電流傳感器就可解決線路電流估計問題。

在如圖3 所示的具有4 個節點和5 條線路的網絡中，回路?1和回路?2是兩個獨立的回路，節點電流I1、I2、I3、I4已知，線路電流I1，2、I1，3、I2，3、I3，4、I4，1未知。此網絡的KCL 方程為:

式中:矩陣A的秩為3，為了確定5 個線路電流的唯一解，需要向矩陣A再添加2 個獨立行，在兩個獨立回路?1和?2上安裝一個線路傳感器來實現。在傳感器安裝位置的10 種可能組合中，有8 種組合測量了兩個回路中的電流，如表1 中的組合3 到5 所示，這些結果與定理1 一致。如果兩個獨立回路共用一條線，例如圖3 中在回路?1和?2之間共用線路{1，3}，則在這種共用的線路上放置一個傳感器來提供一個新的獨立方程。采用文獻[26]中算法來識別獨立回路，以便在每個獨立回路上放置傳感器。

表1 圖3 中網絡的傳感器放置組合場景

圖3 具有4 個節點和2 個回路的網絡

2.2 測量誤差處理

為了處理測量誤差和偽測量誤差的影響，需要對式(24)進行調整。將式(1)中的注入電流約束以懲罰項的形式移動到目標函數中，可得:

采用與第1.2 節中所述步驟3 類似的方法，通過定義輔助變量Gi和Hi，并添加以下新的線性約束來處理新的非線性:

在存在測量誤差和偽測量誤差的情況下，拓撲識別問題可以表示為如下的MILP:

2.3 多周期優化

拓撲識別算法通常基于單個周期的測量值，然而在實際應用中，線路電流測量值可能在拓撲改變后的初始時刻后繼續可用，即使使用了高精度的線路傳感器，但偽測量誤差依然存在，而以多周期優化的形式運行拓撲識別算法，可減輕測量誤差和偽測量誤差的影響。T表示測量和偽測量的可用測量周期數量。[t]表示對應于每個周期t的測量數據。Ψ[t]表示式(32)中基于周期t的數據的目標值。多周期形式的拓撲識別問題可以表示為:

式(33)受式(5)～式(9)，式(14)～式(23)，式(29)～式(31)約束。γ[t]表示與周期t測量值相關聯的概率。式(33)中隱含的假設是所有測量值都與相同拓撲關聯，即在測量周期1 至T期間，拓撲不發生改變。一旦檢測到拓撲改變，多周期拓撲識別算法將被重置。在文獻[28-29]中已經介紹了幾種檢測拓撲變化的方法。

從原理上講，拓撲識別是一種估計問題，它是根據給定的測量值和輸入的偽測量值來估計開關狀態。式(33)中的每個測量周期實質上為這樣的估計問題提供了冗余。開關的狀態從一個周期到另一個周期是固定的，然而由于每個節點上負載的隨機性，測量和偽測量中存在隨機變化。每個周期為這些隨機變量生成一個新的隨機場景，在估計開關狀態時提供冗余。如果跨不同周期的隨機性遵循均勻分布，則γ[t]=1/T，否則使用已知的非均勻概率分布。

3 案例分析

3.1 33 節點測試系統

將所提出的拓撲識別方法應用于圖4 所示的33 節點測試系統來證明該方法的有效性，相關數據見文獻[24]。線路4，6，7，9，10，11，12，14，15，16，17，18，26，28，30，32 開關為常閉狀態，其余線路開關為常開狀態。常開開關是用虛線表示的五條線。由于該網絡中有21 個開關，因此可以創建221 種不同的拓撲，選擇其中65 種拓撲配置進行測試，包括50 個放射狀拓撲、10 個環狀拓撲和5 個孤島拓撲。

圖4 33 節點系統示意圖

一旦五條聯絡線處于閉合狀態，就構成五個回路:?1，…，?5。如在3.1 節所述，每個回路必須使用至少一個線路傳感器進行測量，以滿足拓撲識別的要求。本案例中五個電流傳感器的位置選擇如圖4中的圓點所示。除了電流測量外，還假設所有節點上的負荷均可通過偽測量獲得。

在MATLAB 中進行了網絡仿真和拓撲識別算法的實現，并用IntLinProg 函數求解了式(24)、式(32)和式(33)中的優化問題。在測試中，測量結果如下所示:

這保證99.7%的ei值落在真實值的±ηi%內。此外，拓撲識別算法的精確度以百分比表示:

3.1.1 線路電流測量誤差

電流傳感器通過測量電場來得到相對相角。傳感器電流大小的誤差為1%～3%，電流相角的誤差為1°～5°。表2 給出了在考慮線路電流測量誤差的情況下拓撲識別算法的結果。實驗結果表明，在幾乎所有的誤差水平下，準確率都在99%以上。因此，所提出的拓撲識別算法具有較強的魯棒性。

表2 拓撲識別算法精度

3.1.2 偽測量誤差

偽測量值通常是通過智能電表數據或歷史數據進行短期負荷預測而獲得的。通過使用蒙特卡羅方法生成不同的場景來檢驗所提出的拓撲識別算法。與偽測量相關的不確定度范圍可根據可用信息而變化。可以通過聚合客戶智能電表數據來獲得這些偽測量值。或者，在沒有計量數據的情況下，可以僅根據負載變壓器的額定值進行估算。還可以使用計量數據和變壓器額定值進行組合估算。對于不同偽測量值的獲取方式，可能會帶來較大范圍的誤差，當有智能電表數據時，誤差低至10%[30]，當僅根據變壓器負荷分配來估計偽測量值時，誤差高達50%。為了評估所提出的拓撲識別算法在各種可能的偽測量場景下的性能，在仿真中檢驗了上述兩種誤差范圍。表3 給出了拓撲識別算法在不同偽測量誤差水平下的精確度。如果誤差被限制在30%以內，那么幾乎可以確保正確的拓撲識別。但是，如果誤差增加到50%，那么拓撲識別準確度就會顯著下降，從而使拓撲識別結果不可靠。當然，在如此高的誤差下，失去精確性不可避免。

表3 在不同偽測量誤差水平下拓撲識別算法精度

3.1.3 多周期優化提高精度

誤差的影響是可以通過利用測量數據的多周期優化在偽測量中補償的。為了測試多周期拓撲識別算法的性能，使用文獻[31]中的偽測量生成方法生成周期序列，其中我們基于正態概率分布生成偽測量誤差，平均值為零，標準差如下:

然后，求解式(33)中的拓撲識別多周期優化，并且每當有新的測量周期可用時，更新拓撲識別結果，如圖5 所示。隨著更多的測量周期的出現，拓撲識別的準確度也會提高。即使在偽測量中有50%的誤差，其中單周期拓撲識別算法的準確率為77.1%，多周期拓撲識別算法也可以在測量20 次后將準確率提高到95.0%。隨著測量數量的增加，式(33)中求解多周期優化問題的計算復雜度增加。例如，對于10 次和20 次測量，多周期拓撲識別算法分別運行約40 s 和125 s，遠遠大于表3 中提供的單周期拓撲識別運行時間。

圖5 多周期優化算法的精度

通過一個算例比較了單周期和多周期拓撲識別算法的性能，表4 中給出了結果。每次測量分別采用單周期拓撲識別算法。僅在四次測量(6、9、11 和13)中識別了正確的拓撲。在11 次測量中，單周期拓撲識別算法未正確識別拓撲，這是由于負載的變化和偽測量中的較大誤差所致。

表4 單周期與多周期算法對比

相反，當使用多周期拓撲識別算法時，一旦有足夠的測量可用，就能正確識別拓撲。當多周期拓撲識別算法應用于第一次測量時，它最初與單周期拓撲識別方法相同；然后，在第二次測量中，多周期拓撲識別算法應用于第一和第二測量組合；在第三次測量中，多周期拓撲識別算法應用于第一次、第二次和第三次測量組合；依此類推。隨著前六次測量之外有更多測量可用，多周期拓撲識別方法在第6 至第15 次期間則可正確識別拓撲。

3.1.4 MILP 對比MINLP

MILP 和MINLP 在計算復雜性方面大致相似。然而在實際中，通常將MINLP 轉換為MILP 可取得更好的效果。目前在MILP 求解器的開發方面已取得了相當大的進展，相比之下，MINLP 求解器還不夠成熟，還未達到穩定可靠。此外，通過使用分支和定界等方法，MILP 求解器可保證得到精確的最優解。當考慮到所提出的拓撲識別優化問題時，式(4)中的拓撲識別問題實際上是一個非凸的MINLP。非凸MINLP 特別難求解，因為即使使用分支和定界等方法處理整數變量后，在每次迭代中要解決的仍然是一個困難的非線性非凸優化問題。

測試了三種求解器來解決式(4)中原始MINLP 問題:NOMAD，SCIP，和BONMIN。利用NOMAD，SCIP 求解器總是找不到可行解。假設偽測量誤差為5%，BONMIN 正確識別出65 個拓撲中的10 個。對于這55個錯誤識別的拓撲，BONMIN 既找不到正確的解，也找不到任何可行解。表5 給出了在不同線路斷開情況下，求解MINLP 得出的結果。只有一種情況接近最優解。因此，將MINLP 轉化為MILP 是有必要的。

表5 MINLP 拓撲識別問題在不同情況下求解結果

3.1.5 性能對比

在本部分中，性能比較是在兩個參考文獻的基礎上進行的。第一個是文獻[32]，其中的方法在本質上可以支持使用線路電流傳感器，但它是基于電路連通性開發的，且不涉及潮流方程。結果如表6第三列所示。由表6 可知，文獻[32]中的方法對偽測量誤差高度敏感。

表6 不同拓撲識別算法的精度

第二個是文獻[23]，其中的方法與本研究中提出的方法本質上是類似的，但它使用了不同的目標函數，且進行的是混合整數二次規劃(mixed integer quadratic programming，MIQP)，而不是MILP。結果如表6 第四列所示。可以看出，這種方法的性能也隨著偽測量誤差的增加而降低。這是因為在MIQP中，最小化平方誤差會將擬合值拉向不準確的偽測量值，而不是最小化絕對誤差。此外MIQP 的計算時間要比MILP 的計算時間長得多。從成本效益分析的角度來看，文獻[23]中MIQP 方法需要使用10條線路的功率傳感器，實際應用往往非常昂貴和費力，而所提出的方法使用的是5 條線路的電流傳感器，價格便宜，易于安裝，但性能幾乎相同，這體現了所提出的方法在成本效益方面的優勢。

3.2 實際運行系統

將所提出的拓撲識別算法應用于某地的配電網。這個配電網大約有400 個節點和37 個開關，拓撲結構由13 個回路組成。假設在這13 個回路上安裝13 個電流傳感器。總共定義了20 種不同的拓撲。對配電網的精確模型進行了仿真，拓撲識別算法精度的結果如表8 所示。在較低的偽測量誤差下，拓撲識別算法幾乎成功地識別出所有拓撲。表8 中的結果與第3 節中33 節點測試系統的表4結果基本一致。

表7 在實際運行系統中拓撲識別算法精度

4 結論

提出了一種配電網拓撲識別方法，該方法基于一類新興低成本非接觸式線路電流傳感器。設計出一種與上述傳感器無法測量電壓和功率這類局限性兼容的拓撲識別算法，同時算法的計算復雜度較低且易于處理，提出多周期算法對測量和偽測量中的各種誤差進行了處理。還對確保拓撲識別算法性能所需的線路電流傳感器的數量和位置進行了可觀測性分析。在33 節點測試系統和位于某地的實際運行系統中，對所提出的算法的性能進行了研究。單周期和多周期拓撲識別算法都可以識別所有可能的拓撲，包括放射型、環型和孤島型。這擴展了拓撲識別算法的應用范圍，可以識別開關故障并檢測停電范圍。