三次型蔡氏電路的設計及應用*

呂恩勝

(河南應用技術職業學院機電工程學院，河南 鄭州 450042)

Chua L O 于1983 年提出了著名的經典蔡氏電路(Chua’s circuit)，其動力學行為豐富，取得了廣泛的應用，成為混沌科學研究的熱點對象[1-2]。蔡氏電路最核心之處是蔡氏二極管，其結構復雜，因此物理實現存在著較多的困難。諸多學者對蔡氏二極管的硬件電路設計給予了研究:文獻[3]采用標度化技術[4]設計了兩類無感蔡氏電路；文獻[5]對蔡氏二極管的設計提出了用分段線性正電阻的設計方法；文獻[6-8]采用憶阻器替代蔡氏二極管的方法設計了蔡氏電路；文獻[9]設計了分數階蔡氏電路。上述采用標度化技術的方法符合工程規范，但不遵循蔡氏電路方程；分段線性電阻設計方法，改進后的電路還保留電感，這對集成電路大規模實現還存在挑戰；憶阻器、分數階蔡氏電路，還只是在理論層面上的設計，目前還沒有實際可行的硬件電路。盡管蔡氏電路經過近40 年的研究，設計出的各種電路仍然不夠完善，還存在各種問題。

針對上述的改進方法和出現的問題，在遵循電路方程和參數的基礎上，設計易于用普通電子元件實現大規模集成的蔡氏電路方案。本文在研究蔡氏電路方程后，對非線性單元函數的元素重新歸類，根據新的非線性函數特性曲線，提出3 類三次型非線性函數，設計了功能全同和拓撲等效的兩類蔡氏電路，方程簡練，硬件調試方便，適用于混沌保密通信，為大規模集成實現提供了理論及技術基礎。

1 蔡氏電路方程

蔡氏電路是混沌領域工作者取得的第一個物理成果，它開創了混沌電路的新紀元，得到了廣泛的研究，歸一化方程為

f(x)為系統函數的非線性單元，即蔡氏二極管，其中m0=-1/7、m1=2/7，a、b為參數，典型值分別為:10、15。

2 三次型非線性函數設計

2.1 飽和特性函數的設計

蔡氏電路的實現，關鍵是非線性單元的電路設計，將式(1b)的m1x部分歸為線性項，式(1a)改為dx/dτ=a(y-m1x-f′(x))，改進的式(1b)為

不考慮m0、m1情況下，式(2)表示的蔡氏二極管的核心部分寫為: 0.5(｜x+1 ｜-｜x-1 ｜)，是一種具有飽和特性的函數，也可寫為式(3)，f′(x)=(m1-m0)h(x)，式(3)的波形是分段線性的三折曲線，如圖1 所示。

圖1 飽和函數特性曲線

2.2 三次型函數的設計與分析

圖1 所示的h(x)曲線，與最高次為x3的多項式函數曲線局部相似，中斜外平，這類函數統稱為三次型，文獻[10]利用集成運放的限幅特性來實現，本文提出的與圖1 近似的三次型曲線有:三次方函數曲線、Logistic 函數曲線、反向并聯二極管伏安曲線，如圖2 所示，與之對應的函數為式(4)、(5)、(7)。

圖2 三次型函數特性曲線

三次方函數

Logistic 函數

sgm(x)由sigmoid(x)函數變換而來，起源于生物學

反向并聯二極管伏安特性函數

diode(x)函數來源于反向并聯二極管伏安特性函數

式中，u是二極管端電壓，i(u)是流過二極管的電流，IS為二極管反向飽和電流，在常溫下，kT/q=26 mV，工程實際中，二極管導通后電壓基本不變，式(7)是反向并聯二極管的伏安特性的近似公式，適用于在二極管導通電壓“0.7 V”附近的伏安特性函數，式(8)的電流以指數顯著變化，不宜直接作為蔡氏二極管的函數使用。將二極管伏安特性的導通“電壓”歸一化為以數字表達的“0.7”，反向并聯二極管兩端電流-電壓關系即為式(7)，與式(1b)相比只是“0.7”和“1”差別，Chua L O 在文獻[1-2]設計的蔡氏電路，轉折點實際電壓也不是“1”伏，受限于當時的技術，改變物理電路太難，默認為“1”伏，理論上，二極管實現的蔡氏電路與經典蔡氏電路是功能全同的。

式(4)、(5)與式(3)的特性曲線只是在波形上是相似的，函數只有數學意義，而式(7)具有工程背景和明確的物理意義；式(4)函數的物理硬件實現需要兩個乘法器，式(5)函數在物理上用基本電子元件來實現目前還比較困難，式(7)函數只需兩個二極管反向并聯即可實現，十分簡潔，在物理特性上與經典蔡氏二極管一樣同屬電壓控制電流源(VCCS)器件；式(4)、(5)、(7)取代蔡氏二極管函數式(3)，是非線性單元的另外一種表達形式，所得方程與蔡氏電路是拓撲等效的。

2.3 三次型混沌系統動力學分析

在硬件電路實現之前，用虛擬仿真，獲得定性認識，在混沌電路設計上是非常有必要的，式(4)、(5)、(7)替代非線性單元式(3)，得到3 類三次型函數蔡氏電路混沌系統，用MATLAB 仿真3 類系統，得到的x-y相圖分別如圖3 所示。

圖3 3 類三次型蔡氏電路仿真的x-y 相圖

混沌系統的Lyapunov 指數越大，系統運動越無序，動力學行為越復雜，對初值越敏感，有利于保密通信，針對設計的3 類三次型非線性函數，因為sgm(x)函數以指數變化，提高了系統的Lyapunov 指數，也符合理論實際，另外2 類減小了Lyapunov 指數，總體上差別不大，見表1。

表1 三次型蔡氏電路Lyapunov 指數

3 三次型蔡氏電路設計

所設計的三次型蔡氏電路均遵循原方程的主體結構和參數，考慮到電子元件標稱值和實際值是有誤差的，設計的電路原理圖參數是允許有誤差的，范圍相對較大，例如，圖4 中電阻R11的理論阻值為667 Ω，實際選取阻值為650 Ω～680 Ω 均可，電路焊接時，挑選精度較高，接近原理圖參數的元件，即可實現混沌電路。

三次方蔡氏電路:蔡氏電路中的核心具非線性部分電路，由式(4)三次方函數的電路代替，設計的圖4混沌電路與原蔡氏電路是拓撲等效的，也是微分同胚的，乘法器增益為0.1 V/V。

圖4 三次方蔡氏電路原理圖

二極管蔡氏電路1:電路原理圖如圖5 所示，利用二極管的鉗位作用，反向并聯二極管聯接在串聯電阻R7與電阻R5之間，實現式(7)函數的電路，直觀，元件少，理論計算也容易，電路精度高，該反向并聯二極管實現的輸入輸出是電壓-電壓的轉換關系，與式(7)表達式相同，物理量有所區別。

圖5 二極管蔡氏電路原理圖1

二極管蔡氏電路2:圖6 中，反向并聯二極管和電阻R9串聯，理想二極管的導通電阻是為0 Ω、截止為∞Ω，電阻R9=R10，R9、R10串聯有分壓功能，輸出的信號接入集成運放A5 的同向端，該反向并聯二極管的輸入輸出也是電壓-電壓的關系，如式(9a)或(9b)所示，是式(1b)核心部分的另外一種寫法，具有死區特性，波形圖如圖7 所示。

圖6 二極管蔡氏電路原理圖2

圖7 并聯二極管死區特性曲線

設計的如圖5、6 所示的二極管蔡氏電路，與理論是有誤差的，二極管反向不是完全截止的，二極管導通后電壓也并非完全“0.7 V”不變，從工程方面來看實際影響很小，功能與蔡氏電路是全同的。

3 類三次型蔡氏電路物理實驗相圖如圖8所示。

圖8 三次型蔡氏電路物理電路x-y 相圖

4 混沌保密通信電路設計

以本文提出的三次方蔡氏電路為例，采用反饋型驅動-響應式同步混沌保密通信制式[11]進行試驗，電路原理圖如圖9 所示，由發送端、接收端和信道三部分組成，發送端輸出信號為x1、y1、z1，接收端輸出信號為x2、y2、z2，以x1信號為載波，調制信號為m，信道傳輸的是攜帶調制信息的混沌信號x′1，解調信號為保密精度高。

圖9 三次方蔡氏電路混沌調制保密通信原理圖

只要保密通信系統的收、發電路對應元件的參數相同，就可以達到設計的實驗效果。圖10(a)、(b)、(c)是物理電路實驗時，示波器顯示的收、發端同步時x1-x2，y1-y2，z1-z2的相圖，同步得很好。

圖10 混沌調制保密通信收、發端同步相圖

圖11(a)是將10 mV 的正弦調制信號m加入保密電路時，輸出的x1-y1相圖，依然是雙渦卷混沌；圖11(b)是系統攜帶加密信號m時的發送端x1波形圖，接收端x2波形圖，觀察不到二者的差別；圖11(c)是調制信號波形圖與解調信號波形圖，完全一致。此外，蔡氏電路的狀態變量以電壓形式輸出，單位是伏特，調制信號是毫伏級，因此該保密通信電路噪聲系數小于10-3，保密系統可靠。

圖11 調制解調過程波形圖

5 結語

1983 年Chua L O 提出的經典蔡氏電路，是混沌電路工程的典范，具有里程碑意義，非線性單元為核心部分，屬于三次型函數，是分段線性的三折曲線，為后續分段線性混沌系統帶來許多啟示[12]。

(1)本文針對非線性單元的核心部分，在遵循蔡氏電路結構和參數的前提下，提出3 類三次型函數，設計了3 類蔡氏電路，均易于搭建實際混沌電路。

(2)本文提出的三次型蔡氏電路，是全同或者拓撲等效的蔡氏電路，方程簡練，分析方便。

(3)本文提出的三次型蔡氏電路，適合于混沌保密通信，尤以主從式反饋型驅動-響應式混沌調制保密通信為優。