補集思想在數學解題中的妙用

摘 要：用補集思想解題可以使一類在常規解法中應該分類討論的數學問題避開討論，從而簡化計算步驟，減少盲目性。這樣在考場上可以節省時間，爭得解題主動權。

關鍵詞：補集思想；分類討論；反面；妙用

高三的數學復習，不是高一高二數學內容的簡單重復，需要在復習過程中進行一些歸納和整理，以便能提升學生的數學解題能力。而分類討論思想作為學生的一個難點在于既要對事物所包含的所有情況一覽無余，還要對題設所容納的類型全面細致的分析處理。但在一些題目類型中，若能就其題設所容納的對立面進行思考，可能會帶來極大的方便。美國教育心理學家布魯納指出：“掌握基本的數學思想和方法，能使數學更易于理解和便利于記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的光明之路”。補集思想是一種重要的數學思想，補集思想的妙用可以使一類含有“特殊”詞語的數學問題得以輕松解決。比如在題設中出現“至少有一個”，“至多有一個”，“不等關系”等類型的題目。我們分析事物的全集時發現題設中所容納的類型較多，而其對立面容納的情況較少，此時就應該采用補集思想達到事半功倍的效果。而利用補集思想解題的必要條件是確定事物的全集和題設中所包含的全部類型。因此利用補集思想解題的一般思路是：確定全集，就題設的反面求出結果，將上面所求出的結果取其補集，即為題設條件的正面所要求的結果。

一、補集思想在函數中的妙用

1.題設中含有“至少有一個”的妙用

例1. 若三個方程：至少有一個方程有實數解，試求 的取值范圍。

分析：若從方程有實根考慮，則有下列七種可能：（1）①有實數根，②③無實數根；（2）②有實數根，①③無實數根；（3）③有實數根，①②無實數根；（4）①②有實數根，③無實數根；（5）②③有實數根，①無實數根；（6）①③有實數根，②無實數根；（7）①②③均有實數根。這樣要解七個不等式組，再求出它們的并集，情況比較復雜， 計算量大且容易出錯，確實非常麻煩。如果我們考慮“至少有一個方程有實數根”的反面，即“三個方程都沒有實數根”那么在實數為全集的條件下。它們的取值范圍恰好互為補集，求出“三個方程都沒有實數根”的k的取值范圍，取它的補集就是“至少有一個方程有實數根”的k的取值范圍，只需解一個不等式組，非常簡便。

解：若三個方程都沒有實數根，則

易解得：.

因此當時，三個方程都沒有實數根。

所以，三個方程至少有一個方程有實數解，k應屬于的補集，即k。

歸納：該題的全集是三個方程實數根的情況包含8個基本事件，此題題設含有7個基本事件，其對立面只含有一個基本事件，從而考慮補集是最佳方案。

二、補集思想在概率統計中的妙用

例2. 甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人達標的概率是 .

解：如果我們按常規方法解此題，我們要分三類來討論：

（1）只有一人達標其概率為：

+=

（2）有兩人達標其概率為：+=

（3）三人都達標其概率為：

三人中至少有一人達標的概率是：0.26+0.46+0.24=0.96

分析：此類解法情況比較復雜，計算量大易出錯，確實非常麻煩。如果我們求其反面，再用補集思想來處理就會簡單很多。

采用“補集思想”解答如下：

解：“三人中至少有一人達標”的反面是“三人都不達標”，且“三人都不達標”的概率為：

三人中至少有一人達標的概率為：

三、補集思想在解析幾何中的妙用

例3. 若橢圓 與連接兩點 ， 的線段沒有公共點，則a的取值范圍為 .

思路一：正面解答

分A， B兩點都在橢圓內或 都在橢圓外兩種情況考慮。

解：與連接兩點，的線段沒有公共點。

A， B兩點都在橢圓內或A， B都在橢圓外。

當A， B兩點都在橢圓內時，則，解得；

當A， B兩點都在橢圓外時，則，解得；

實數a的取值范圍是：

思路二：運用“補集思想”求解

考慮其反面“有公共點”，則可避免分情況討論，使問題簡化。

解：根據題意，設全集，先求橢圓與線段AB有公共點時a的取值范圍，易得線段 的方程為：，，

由方程得：，

求解得：，又，

當橢圓與線段AB沒有公共點時，

實數a的取值范圍是：

分析：從兩種思路的解題過程中，不難看出，運用“補集思想”避免了分類討論且讓運算更簡便，出現意想不到的效果。

在高三數學復習教學中，歸納總結出題目中含有“至多”，“至少”，“不等”等這類詞語的問題，正面求解比較復雜抽象，往往從問題的反面入手，根據補集思想，從詞義反面考慮，對原問題作部分或全部的否定，用這種方法轉化問題就可化繁為簡，化難為易，從而實現快速而精準的解題。

總之，“補集思想”在數學中有廣泛的應用，通常遇到帶“至多、至少、不等”的題目或是存在性命題，只要認真審題，抓住問題的本質特征，運用補集思想，注意運用一些基本策略和解題技巧，適當轉變思路，嘗試用逆向思維對問題進行分析，就可能找到捷徑，使問題迎刃而解，往往都能達到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1]張春杰.知識與能力并重，思想和方法同行[J].中學數學教學參考，2013（11）.

[2]王頌文.也談補集思想的應用[J].中學數學，2009（9）：26.

作者簡介：楊杰（1976- ），女，漢族，學士，云南保山人，職稱：中教一級，單位：云南省保山市第一中學，研究方向：數學教育。