研讀數學教材 探索數學本質 發展學生思維
——“數與形的拓展課”的教學實踐

路 杰，楊志宇

（邢臺市逸夫小學，河北 邢臺 054000）

數學拓展課是基于教材編排的數學內容且符合學生認知規律的拓展延伸課。數學拓展課以培養學生核心素養為目的，在恰當的數學活動中引導學生探索數學本質，積累數學經驗，發展學生數學思維。

一、研讀數學教材，找準知識生長點

六年級第8 單元“數學廣角”的例1，通過正方形圖研究“從1 開始連續奇數之和等于這些數的個數的平方”，即1+3+…+（2n-1）=n2。通過正方形圖來研究這一規律，凸顯借助圖形研究數的直觀性，培養學生的幾何直觀。從1 開始連續奇數之和與這些數個數的平方相等，那么從1 開始連續自然數的平方之和又等于什么呢？還能借助圖形研究嗎？筆者深入研讀教材，找準知識生長點，設計了如下教學。

師：這個數你會讀嗎（右圖）？

師：請你用手中的小正方形擺一擺，并讓同學們一眼就能看出這個圖形中小正方形的個數是32個。

學生操作后，展示學生作品，并組織學生說一說這樣擺的優點。（一行3 個，共3 行，一共有32=9 個）

師：我們已經學過1+3+5=32。請用不同顏色的小正方形擺一擺，不僅讓大家看到32，還可以清楚地看出1+3+5。

學生操作后，展示學生作品，并組織學生說一說。（算式左邊的加數是正方形圖中左下角的小正方形和其他“┐”形圖中所包含的小正方形個數之和，正好等于每個正方形圖中每列小正方形個數的平方。）

師：圖中的小正方形還可以擺成這樣的三層（如下圖），也能夠更清楚地看出1+3+5。

師：22和42可以怎樣擺呢？

22：

42：

師：我們借助圖形研究了從1 開始連續奇數的和等于這些奇數個數的平方。今天，我們繼續研究像12+22+…+992+1002，從1 開始連續自然數的平方和。

學生獨立嘗試后，發現困難。

師：老子在《道德經》中說“天下難事，必作于易。”就是告訴我們，天下的難事，一定從簡易的地方做起。我們研究12+22+…+992+1002遇到了困難，可以先研究比較簡單的算式，比如先研究12+22+32+42的和，再研究12+22+…+992+1002的和。

二、探索數學本質，發展學生思維

數學是思維的體操。我們要在解決數學問題的過程中探究數學知識的本質，發展學生的數學思維。教材第1 課時是借助正方形圖研究數的規律，在解決問題的過程中培養了學生的幾何直觀。數與形的拓展課在分析教材的基礎上，對相似數學知識進行拓展延伸，在教學時要合理設計探索數學本質的學生活動，在解決數學問題的過程中發展學生的數學思維。

活動一：借助數與形，初探平方和

師：12可以用一個小正方形表示。

師：22、32、42可以有下面兩種不同擺放，其中一種方法易看出一個數的平方，另一種方法易看出從1 開始連續奇數的和。

師邊敘述邊板書：12+22+32+42=1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+7）

師：我們利用加法交換律和結合律可以把算式整理如下：

12+22+32+42=1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+7）=（1+1+1+1）+（3+3+3）+（5+5）+7

師：小正方形怎么整理一下，就能夠清晰地看出（1+1+1+1）+（3+3+3）+（5+5）+7 呢？（學生操作后，展示如右圖）

師：這個圖形中小正方形的個數等于12+22+32+42的和。

師：上圖中左邊是對齊的，我們把表示12、22、32、42的正方形補在上圖的右側。

師：邊長是4 的正方形補在哪里？（和最上面的正方形對齊）

師：為什么要這樣補呢？（因為這一列正方形有四個，正好可以補齊）

師：邊長是3 的正方形補在哪里呢？（和下面三行三列正方形補齊）

師：邊長是2的正方形呢（和兩行的正方形補齊）？還剩一個小正方形呢？（和最下面的一行正方形補齊）

師：現在小正方形的個數等于12+22+32+42之和的2 倍，再這樣操作一次就變成了12+22+32+42之和的3 倍了。動手拼一拼、試一試吧。

師：這樣拼完后，你發現了什么？

生：拼成一個長方形了。

師：這個長方形中小正方形的個數是12+22+32+42之和的3 倍。

師：看似求12+22+32+42的3 倍比求12+22+32+42復雜了，但通過轉化，我們把不規則圖形轉化成長方形，更容易得到小正方形的個數了。

師：這個長方形中小正方形的個數是多少呢？

生：（1+2+3+4）×（4×2+1）。

師：也就是12+22+32+42之和的3 倍。

師：那么12+22+32+42=（1+2+3+4）×（4×2+1）÷3=30。

師：12+22+32+42+52等于什么呢？

生：（1+2+3+4+5）×（5×2+1）÷3=55。

教師組織學生驗證12+22+32+42+52的和正好是55。

師：12+22+32+42+52+62等于多少呢？

生：（1+2+3+4+5+6）×（6×2+1）÷3=91。

教師組織學生驗證12+22+32+42+52+62的和正好是91。

師：看起來12+22+…+（n-1）2+n2=（1+2+…+n）×（2n+1）÷3。

師：請你用這種方法計算12+22+…+992+1002的和。

生：（1+2+…+99+100）×（100×2+1）÷3

活動二：借助數與形、再探平方和

學生計算12+22+…+992+1002時，遇見新問題——1+2+…+99+100 的和怎么快速計算呢？

師：計算12+22+…+992+1002，要先計算1+2+…+99+100 的和。為了更深入研究平方和，我們要知道1+2+…+99+100 的和怎么計算。這個新問題又應該怎么研究呢？

生：可以像剛才一樣，借助圖形先研究1+2+3+4 的和，再思考1+2+…+99+100 的和。

師：請用小正方形表示1+2+3+4，并讓其他同學清楚地看出你擺的就是這道算式。

學生操作后展示。

師：這是一個不規則圖形，接下來怎么辦呢？（展示學生擺的圖形）

師：你能給大家解釋一下為什么要這樣擺嗎？

生：倒著擺放一個這樣的圖形，拼起來正好是一個長方形，其中小正方形的個數是1+2+3+4 之和的2 倍。

師：你能用剛才研究的方法思考新問題，很了不起。

師：這個長方形中小正方形的個數是多少呢？

生：（4+1）×4。

師：也就是1+2+3+4 之和的2 倍。

師：那么1+2+3+4=（4+1）×4÷2=10。

師：1+2+3+4+5 等于多少呢？

生：（5+1）×5÷2=15。

教師組織學生驗證1+2+3+4+5 之和正好是15。

師：1+2+3+4+5+6 等于多少呢？

生：（6+1）×6÷2=21。

教師組織學生驗證1+2+3+4+5+6 之和正好是21。

師：看起來1+2+…+n=（n+1）×n÷2。

師：請你用這種方法計算1+2+…+99+100的和。

生：（100+1）×100÷2=5050。

師：數越多越發現用這一規律計算的簡便。現在快去算一算12+22+…+992+1002的和是多少吧。

板書：12+22+…+992+1002=（1+2+…+99+100）×（100×2+1）÷3=5050×201÷3=338350。

師：12+22+…+9992+10002等于多少呢？下課后，大家可以繼續研究。我們利用數與形的關系找到了計算規律，運用這個規律我們可以更加簡便地解決這一類問題。華羅庚先生曾說過：數與形本相依，焉能分作兩邊飛，數缺形少直覺，形少數難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。我們只觀察12+22+32+42，不如用圖形表示直觀。但一直用圖形表示下去，研究12+22+…+992+1002就顯得復雜了。借助圖形研究數的規律，最后還需要運用規律回到算式中去研究，尋找解決問題的辦法。

三、總結

像這樣的數學拓展課，教學內容與教材中的數學知識是緊密相連的，是對教材中數學知識的拓展，是對學生數學能力的提升。數學拓展課的開發是在研讀教材、遵循學生認知規律的基礎上，設計有效的數學教學活動，在解決問題的過程中引導學生探索數學本質，感悟數學推理的魅力，發展學生的數學思維，促進學生核心素養的形成。