論桿物繩系的動力學與能量問題

周定河

(常德市第一中學 湖南 常德 415000)

以桿物繩系統為背景的習題在各種資料上出現的頻率較高，習題設計一般針對物體的動力學分析和能量問題討論，但有些題目給出的答案往往出現失誤.因此，有必要對這類問題深入研究.下面結合幾個例題從動力學分析和能量轉換兩個側面對桿物繩系統深度分析[1]，以期避免同樣的失誤.

【例1】如圖1所示，物塊套在固定豎直桿上，用輕繩連接后跨過定滑輪與小球相連.開始時物塊與定滑輪等高.已知物塊的質量m1=3 kg，球的質量m2=5 kg，桿與滑輪間的距離d=2 m，重力加速度g=10 m/s2，輕繩和桿足夠長，不計一切摩擦，不計空氣阻力.現將物塊由靜止釋放，在物塊向下運動的過程中( )

圖1 桿物繩系初態

C．物塊下降的最大距離為3 m

D．小球上升的最大距離為2.25 m

原解:當物塊所受的合外力為零時，物塊運動的速度最大，此時，小球所受合外力也為零，則有繩的張力為小球的重力，即

FT=m2g=50 N

(1)

對物塊作受力分析，如圖2所示，可知

FTcosθ=m1g

(2)

圖2 物塊受力分析

對物塊速度v沿繩子的方向和垂直繩的方向分解，則沿繩方向的分速度即為小球的速度，設為v1，則有

v1=vcosθ

(3)

對物塊和小球組成的系統，由機械能守恒定律可知

(4)

代入數據，得

(5)

故A正確，B錯誤.

設物塊下落的最大高度為h，此時小球上升的最大距離為h1，則有

(6)

對物塊和小球組成的系統，由機械能守恒定律可得

m1gh=m2gh1

(7)

聯立解得

h=3.75 mh1=2.25 m

(8)

故C錯誤，D正確.選A，D.

原題給出的答案中，選項A是錯誤的.該解答的失誤在于沒有對球進行正確的動力學分析.討論如下.

1 物體加速度的研究

在例1中，釋放物塊時物塊的合力為豎直向下的m1g，則物塊下滑全程必先向下做加速度減小的加速運動，后做加速度增大的減速運動，其加速度為零時速度最大.

設繩與桿成θ角時物塊的速度為v、加速度大小為a，小球的加速度大小為a1.將v沿繩和垂直繩的方向分解，如圖3所示.沿繩方向的分速度大小v1就是小球的速度大小，有

圖3 物塊速度分解

(9)

兩邊求導，得

(10)

(11)

可見，物塊加速度為零時，小球的加速度必不為零.

這是桿物繩系統中物體加速度問題的關鍵，也是特別容易出現錯誤的地方.而原解答則認為兩球的加速度同時為零，從而得出選項A對的錯誤結論.

2 物系能量的研究

在例1中，對桿物繩系統的能量研究，可以得到物塊運動的最大速度.

設繩與桿成θ時物塊的速度大小為v.對物塊和小球組成的系統，由機械能守恒定律，有

(12)

代入數據化簡，得

(13)

直接解該方程求v難度可想而知，幾乎得不出結果.在網上覓得一款門檻極低的GeoGebra動態數學作圖軟件，可以輕松作出v2-θ圖像，從而解出vm.用GeoGebra繪出的式(13)的圖像如圖4所示.可得，vm=3.91 m/s，對應的θ約為59.6°.

圖4 用GeoGebra繪出的式(13)的v2-θ圖像

在圖4中的C點，θ約為28.0°，由幾何關系有

(14)

與直接解得的結果3.75 m非常接近.說明上述結果是可信的.

與該題相似的是1995年上海市第九屆高一物理競賽復賽第23題，原題如下.

【例2】如圖5所示，細線的一端與套在光滑細桿MN上的滑塊A相連，另一端通過不計大小的定滑輪O將物體B懸掛在空中，細桿MN與水平面成60°角，桿上P點與滑輪O處在同一水平面上，P到O點的距離為s=1 m，滑塊A的質量為5m，物體B的質量為m，滑塊A在P點由靜止開始沿桿下滑.

圖5 桿物繩系初態

(1) 當OP繩轉過角度θ=60°時，滑塊A的速度多大？

(2)求滑塊A下滑的最大速度.

(15)

他們利用MATLAB軟件作出式(15)的v2-θ圖像如圖6所示，A點表示滑塊下滑到最大距離處，此時θ約為4.75°，B點表示滑塊的速度達到最大，約為3.75 m/s，此時θ約為68.21°.

圖6 用MATLAB軟件作出的式(15)的v2-θ圖

圖7 用GeoGebra繪出的式(15)的v2-θ圖像

針對例1，由機械能守恒定律可得到小球的速度大小滿足

(16)

圖8 用GeoGebra繪出的式(16)的圖像

3 繩上彈力的研究

在例1中，設繩與桿成θ時繩上的拉力大小為FT，物塊加速度大小為a，小球的加速度大小為a1.由牛頓第二定律有

m1g-FTcosθ=m1a

(17)

FT-m2g=m2a1

(18)

解得

(19)

當小球加速度為零時其速度最大，此時FT=m2g，由圖8可得對應的θ約為45.0°，由式(19)可以得物塊加速度a=-1.78 m/s2.說明該時刻物塊在向下減速.

而物塊加速度為零時，θ約為59.6°，有

m1g-FTcosθ=0

(20)

解得FT=59.3 N，利用式(18)，可得小球的加速度大小為1.86 m/s2.

總之，在解答以桿物繩系為背景命制的部分習題時，很容易出現物體加速度關系的錯誤，從而得出錯誤的結論.期望本文的思路能為大家提供一點參考.