拉普拉斯-龍格-楞次守恒量在天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用*

李開瑋 劉順彭 趙亞運(yùn)

(廣東理工學(xué)院智能制造學(xué)院 廣東 肇慶 526100)

張智明

(廣東理工學(xué)院大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心 廣東 肇慶 526100)

當(dāng)物體受到平方反比的有心力作用時(shí)，有一些物理量是守恒量，如角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，除此之外還存在另一個(gè)守恒量Laplace-Runge-Lenz矢量(以下簡稱LRL矢量)，該矢量在經(jīng)典力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用[1,2]，能夠使許多物理問題的求解得到極大的簡化，本文討論LRL矢量在天體運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用.

在天體運(yùn)動(dòng)中，天體受到萬有引力作用，其動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

其中k=GmM，LRL矢量為

(2)

1 LRL守恒量的證明

如圖1所示，地球位于橢圓右焦點(diǎn)F(c,0)，衛(wèi)星在地球引力下運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓.

圖1 天體運(yùn)動(dòng)示意圖

設(shè)衛(wèi)星軌跡方程為

(3)

參數(shù)方程為

(4)

設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)速度為v1，遠(yuǎn)地點(diǎn)速度為v2，根據(jù)機(jī)械能守恒

(5)

又根據(jù)角動(dòng)量守恒可得

(a-c)mv1=(a+c)mv2

(6)

由式(5)、(6)解得

(7)

將式(7)代入式(5)可得衛(wèi)星機(jī)械能為

代入式(6)可得角動(dòng)量大小為

(8)

其方向與衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系.

設(shè)衛(wèi)星在軌跡上任一點(diǎn)速度為v，可得

(9)

r=a-ccosθ

(10)

由式(9)、(10)解得

(11)

相對(duì)于地球(焦點(diǎn)處)位置也可以用矢量表示

r=(acosθ-c)i+bsinθj

(12)

衛(wèi)星動(dòng)量與角動(dòng)量相互垂直，由式(8)、(11)可得

(13)

(14)

由式(10)、(14)可得

(15)

由式(14)、(15)可得LRL矢量

(16)

因此LRL守恒量與橢圓離心率相關(guān)，方向?yàn)闄E圓長軸指向近地點(diǎn)的方向.這說明了LRL矢量能夠確定天體運(yùn)動(dòng)的軌跡形狀及長軸的指向，而事實(shí)上由LRL守恒量也可以很方便地推導(dǎo)出天體運(yùn)動(dòng)軌跡

A·r=(p×L)·r-mkr=
L2-mkr=Arcosφ

(17)

由式(17)可得

該式即為離心率為e的橢圓軌跡方程極坐標(biāo)系下表達(dá)式.

接下來利用LRL守恒量解決2021年物理杯競(jìng)賽中一道天體運(yùn)動(dòng)問題，體現(xiàn)LRL守恒量在簡化計(jì)算方面的技巧.

2 LRL守恒量的應(yīng)用

【2021年物理杯試題】一個(gè)彗星，在自己的軌道上兩個(gè)點(diǎn)的速度矢量分別是v1和v2，這兩個(gè)速度矢量滿足：(1)互相垂直;(2)|v1|=2|v2|.請(qǐng)問，這個(gè)彗星的軌道可能的離心率e最小是多少？

分析：該道題要求最小的離心率，給出的已知條件為軌跡上兩點(diǎn)的速度關(guān)系，離心率與軌道形狀有關(guān)，能夠把離心率、速度聯(lián)系在一起的就是LRL守恒量，如圖2所示為這兩點(diǎn)的LRL守恒量的幾何圖像，因?yàn)関1⊥v2，|v1|=2|v2|，角動(dòng)量L為z軸方向的守恒量，故兩點(diǎn)處|p1×L|=2|p2×L|，(p1×L)⊥(p2×L)，由于兩點(diǎn)處的LRL矢量相同，可以將兩點(diǎn)處的LRL幾何圖像平移到一起，如圖3所示，OC為LRL矢量，AC和AO分別為速度為v1處的(p1×L)和mkr10，BC和BO分別為速度為v2處的(p2×L)和mkr20，其中r10，r20為兩點(diǎn)處的徑向單位矢量，圖3中有幾何條件：AO=BO；AC=2BC；AC⊥BC.該圓半徑即為mk，連接AB，并取其中點(diǎn)D，連接OD和CD，可得以下幾何結(jié)論.

圖2 彗星在軌跡上兩點(diǎn)的LRL矢量

圖3 兩點(diǎn)LRL矢量合并圖

(18)

(19)

在△ODC中根據(jù)余弦定理有

(mke)2=(mksinδ)2+(mkcosδ)2-
2(mk)2sinδcosδcosφ

(20)

(21)

(22)

(23)

3 討論與總結(jié)

LRL矢量與角動(dòng)量一樣是一個(gè)守恒量，是平方有心力系統(tǒng)的一個(gè)結(jié)論，而且更進(jìn)一步生動(dòng)地反映了天體運(yùn)動(dòng)的軌跡形狀及長軸的指向，其結(jié)果中有離心率參數(shù)，LRL中包括了天體的速度、角動(dòng)量、位置矢量，利用LRL矢量可以方便地將許多物理問題幾何化，使求解簡潔，計(jì)算量大大減小.