重磁三維數據的模糊聚類聯合快速反演

陳 強 葉險峰

（湘潭大學 土木工程與力學學院，湖南 湘潭 411105）

反演具有多解性，單一的反演方法很難反演出準確且清晰的地下模型，Vozoff 和Jupp（1975）[1]首次提出聯合反演的概念，通過聯合反演來耦合不同的物性信息。在此之后聯合反演經過不斷的發展，Gallardo 和Meju（2003、2004）[2-3]基于不同的物性參數具有同一地質結構的特性，提出了交叉梯度聯合反演方法。在Bezdek（1974）[4]提出的模糊c-均值聚類算法的基礎上，研究者們提出了模糊c-均值（FCM）聚類聯合反演算法，后來Sun和Li（2015，2016）[5-6]又做出了一些改進，加入了先驗地質物性信息，隨后Sun 和Li（2016）[7]又提出了模糊c-回歸（FCRM）聚類方法。Sun 和Li 在FCRM 聚類反演中使用高斯牛頓法解方程組，計算效率低，所以本文采用共軛梯度法實現FCRM 聚類反演。共軛梯度法的概念是Hestenes[8]與Stiefel[9]于1950 年首次提出的，由于收斂速度快、內存需求小，在地球物理反演中被廣泛采用[10]。近年來，預條件共軛梯度法[11]和重加權共軛梯度法[12]也被廣泛應用于反演中。

本文在模型目標函數的構建中采用了光滑約束，使用有限差分法計算模型加權矩陣，所以，在求解大型線性方程組的計算中，核函數和大型稀疏矩陣的存儲與計算是一個不容忽視的問題。本文在涉及核函數矩陣的運算中采用了矩陣分解算法[13]，用三元組的形式表示大型二維稀疏矩陣。除此之外，本文在編程時用OpenMP 指令實現CPU 多核環境下的多線程計算，用于提高計算效率。

1 反演理論

重磁反演的基礎是正演基本原理，本文使用的是一般直立六面體的正演計算公式[14]。

1.1 光滑約束

1.2 模糊c-回歸聚類聯合反演

聯合反演可以有效的耦合多種物性信息，降低反演多解性。模糊聚類聯合反演的目標函數如下：預期的線性聚類的距離，引導反演結果的線性聚類靠近預期的線性聚類，達到預期的地質分化效果。

1.3 重加權共軛梯度法

1.4 核函數矩陣的分解運算

1.5 大型稀疏矩陣的優化存儲與運算

2 模型試驗

2.1 簡單模型

加入所述的約束條件后，反演結果如圖1（c）（g）所示，根據它們可以看出傳統約束反演的結果雖然顯示出了中心直立長方體的位置，但是它的邊界是發散的，模型和圍巖的邊界模糊不清。相比于磁力反演的結果，重力反演的結果很明顯地下沉了，這是由于假設的地下空間的底層圍巖仍有剩余密度，這就相當于存在一個擁有小剩余密度的模型，深度分辨率較差的重力反演的結果就出現了下沉的情況。

圖1（d）（h）是模糊c-回歸聚類聯合反演得到的地下空間的密度分布圖和磁化強度分布圖，相比于單獨反演的結果，聯合反演加強了兩種反演結果的共同部分，削弱了它們之間的差異部分，在圖中呈現出的現象就是直立長方體所在的位置的密度值和磁化強度值更為密集，且高于圍巖。而密度模型中底層的物性聚類是傳統的約束反演得到的密度模型的向下發散導致，在底層位置，傳統約束反演得到的密度模型和磁化強度模型在底層位置的物性產生了線性關系，這被模糊c-回歸聚類聯合反演誤識別為模型間物性的線性關系，所以使密度模型的下沉部分加強了。

圖1

2.2 復雜模型

圖2（a）（b）是根據湖南省有色地質勘查研究院提供的坪寶-黃沙坪鉛鋅銀多金屬礦某處的地下剖面建模建立的復雜剖面模型。為了進行三維的反演試驗，對該剖面模型進行了理想化的假設：XZ 剖面模型在Y 方向進行復制，獲得多層完全相同的XZ 剖面模型。為了減少數據量，減少三維的反演試驗的時間，我們在Y 方向只設置了5 層。

圖2（c）（g）是傳統約束反演的結果，圖2（d）（h）是模糊c-回歸聚類聯合反演得到的結果，可以看出聯合反演加強了密度模型和磁化強度模型之間共同的部分，削弱了它們之間差異的部分，改善了磁化強度模型的物性分布。雖然三維反演的多解性問題仍然嚴重，約束條件遠遠少于未知條件，但是總體來說，FCRM 聚類聯合反演方法相比于傳統約束反演方法是有所改進的。

圖2

3 結論

針對重、磁反演問題的趨膚現象，本文采用了深度加權函數抵消核函數隨深度幾何衰減的影響；針對重、磁反演的多解性，本文采用了光滑約束、正定約束等多種約束；針對大型線性方程組的計算難度問題，本文對核函數矩陣進行矩陣分解計算，采用三元組實現大型稀疏矩陣的存儲和計算，采用基于PRP 公式的重加權共軛梯度最優化方法，同時采用OpenMP 并行計算技術實現CPU 多線程加速，最后，采用模糊c-回歸聚類算法實現重、磁數據的聯合反演，并先后采用簡單直立長方體模型和復雜模型進行驗證，得出以下結論：

3.1 矩陣分解方法和三元組數組的引入改善了大型二維數組的存儲內存大和計算時間長的問題，特別是在對兩個二維數組間的計算中，這種改善尤為明顯，達到了減少算法運行時間的目的；

3.2 光滑約束、正定約束等方法的引入改善了重、磁物性反演的多解性問題，深度約束和重加權反演方法很好的解決了反演的趨膚效應；

3.3 根據直立長方體模型和復雜模型的試驗，對比重、磁單獨反演和聯合反演的結果，重、磁數據的聯合反演加強了兩種物性數據中一致的特征，同時又對差異的部分進行了互補和改善，聯合反演得到的結果相比單獨反演的結果更加真實準確。

附錄A

糊聚類聯合反演的目標函數如下：

為了使目標函數在線性聚類上最小化，我們求出（A-1）式對線性聚類參數vk1的導數，然后令導數方程等于0，求解得到線性聚類參數（斜率）的計算公式：

同理，線性聚類參數vk2（截距）的計算公式如下：

求出（A-1）式對隸屬度函數ujk的導數，然后令導數方程等于0，求解得到隸屬度函數ujk的計算公式：