基于神經網絡和Laplace漸近方法的邊坡可靠度分析

張東升， 舒蘇荀， 龔文惠

(1. 華中科技大學 土木與水利工程學院， 湖北 武漢 430074；2. 武漢工程大學 土木工程與建筑學院， 湖北 武漢 430074)

巖土工程中存在大量的各種不確定性，而傳統的確定性分析方法對巖土工程進行穩定分析時，通常將巖土體參數和簡化模型等均作為確定的來考慮，用一個總的安全系數來評價巖土體的穩定性[1]，但實際工程中，影響巖土工程穩定性的各種因素例如土體幾何參數、物理力學參數等多數為服從某種分布的隨機變量[2]。因此可靠度理論漸漸被引入到巖土工程的穩定性分析中，為巖土工程設計及判斷穩定安全性方面提供有力依據。與確定性分析方法相比，可靠度分析方法的最大優勢在于評估巖土體穩定性時能考慮到各種不確定性因素的影響[3]。

目前求解可靠度主要的方法有JC法、二次二階矩法，以及Monte Carlo法等；其中JC法最為常用，將功能函數泰勒展開取至一次項，求解相應的可靠度指標，但是當功能函數高度非線性時，用該法求解會產生較大誤差；此時宜采用二次二階矩法，通過計算功能函數的二階導數，考慮極限狀態曲面在驗算點附近的凹向、曲率等非線性性質[4]，可在一次二階矩方法上進一步提高可靠度分析精度。可靠度計算方法均需顯式的功能函數表達式，然而巖土體內部應力應變關系等較為復雜，難以采用解析方法得出其顯式的功能函數表達式，故現階段常用極限平衡法給出對應的功能函數表達式，但該方法因引入過多假設和簡化條件，致使計算結果誤差較大。

隨著近年來人工神經網絡的蓬勃發展，為該問題的解決提供了新思路，張楊楊等[5]介紹了應用較為廣泛的BP神經網絡、RBF神經網絡以及與深度學習密切相關的卷積神經網絡(Convolutional Neural Networks,CNN)的基本理論，闡述了神經網絡技術在巖土工程領域的應用；舒蘇荀等[6]提出一種神經網絡改進模糊點估計法，利用拉丁超立方抽樣法和徑向基函數神經網絡(Radial Basis Function Network,RBF)建立了邊坡安全系數的預測模型；左育龍等[7]基于BP神經網絡四階矩法，較為精確的求解出邊坡可靠度。鑒于BP神經網絡結構能較精確地逼近原功能函數的優點，故本文采用BP神經網絡模型來擬合各類隱式、非線性程度高的功能函數，并結合二次二階矩法中的Laplace漸近方法進行相應失效概率的計算，為巖土工程可靠度分析研究提供新的思路和方法。

1 BP神經網絡分析方法

1.1 拉丁超立方抽樣

拉丁超立方抽樣是McKay等[8]提出的一種能夠同時對多個獨立或相關的基本隨機變量進行抽樣的方法，屬于多維分層抽樣方法。對巖土體的各隨機變量參數X1,X2,…,Xn利用拉丁超立方抽樣法進行抽樣的具體步驟如下：

(1)將每個隨機變量Xi(i=1,2,…,n)的分布區間分成M個子區間(M為所需抽取的樣本數)xk1

(2)利用逆變換法在基本變量Xi(i=1,2,…,n)的每個子區間內抽取一個樣本，從而保證每個隨機變量均獲得M個抽樣樣本。

(3)將X2的M個抽樣樣本隨機地與X1的M個抽樣樣本組合配對，從而形成一個M×2維矩陣，而后將X3的M個抽樣樣本隨機地與該矩陣組合配對，以此類推，將X4,X5,…,Xn各自的抽樣樣本隨機組合到該矩陣，最終形成一個M×n維矩陣R，矩陣R的每一行和每一列都是完全隨機的，此時矩陣R的每一列即為一組抽樣樣本，抽樣完成。

拉丁超立方抽樣法產生的樣本均勻產生在各個小區間內，以較少的采樣次數獲得較高的采樣精度，相對于簡單隨機抽樣，拉丁超立方抽樣法產生的樣本具有更好的均勻性和代表性，大大增加了抽樣效率，且不像正交設計法和均勻設計法一樣受基本變量數目和次數的制約，其具體抽樣過程可通過Matlab軟件實現；基于上述拉丁超立方抽樣的優點，本文采用該方法對巖土工程中的隨機變量參數進行抽樣，生成神經網絡的輸入樣本。

1.2 BP神經網絡結構

在各種人工神經網絡算法中，采用誤差逆傳播算法的多層前向型神經網絡，即BP神經網絡應用最為廣泛[9]。其單個神經元結構如圖1所示。

圖1 BP神經網絡單個神經元結構

設神經元的輸入向量為X=(X1,X2,…,Xn)T，相應的連接權向量為W=(W1,W2,…,Wn)T,閾值為θ；Z=WTX為神經元的接收值即輸入變量，故神經元的輸出變量為

(1)

式中：f(·)稱為傳遞函數或激活函數。

為方便公式推導，通常將閾值θ也當作連接權來考慮[4]，上式(1)可對應簡化為

(2)

神經網絡在訓練過程中，不斷修改權矩陣，使得輸出向量Y=(Y1,Y2,…,Yn)T，與理想輸出向量T=(T1,T2,…,Tn)T的誤差e最小[10]。

1.3 功能函數表達式及其導數推導

只要選擇適當的隱含層神經元個數，用一個隱層的BP神經網絡就足以擬合任何形式的功能函數[11]。故本文選用一個三層BP神經網絡結構來擬合巖土體安全系數與各隨機變量的關系。

圖2中，X1，X2，…，Xn表示影響巖土體穩定的各個隨機變量，Y表示巖土體安全系數值fs。巖土體安全系數與各隨機變量的映射關系式為

圖2 三層BP神經網絡結構

(3)

由神經網絡模型得到的巖土體安全系數與隨機變量的映射關系式為fs=g(X)，進而構造出巖土體失穩的功能函數為[12]

Z=fs-1.2=g(X)-1.2

(4)

BP神經網絡的傳遞函數必須可微，本文采用Log-sigmoid函數作為隱含層的傳遞函數，Purelin函數作為輸出層的傳遞函數[11]。

Log-sigmoid函數

(5)

Purelin函數

f(x)=ax+b

(6)

將式(5)，(6)帶入式(3)，可得出BP神經網絡輸入變量與輸出變量之間的映射關系表達式

(7)

式中:參數wij，wj1，a，b，在BP神經網絡樣本訓練完后，均可通過Matlab程序導出具體數值。

2 Laplace漸近方法求解可靠度原理

設Y=(Y1,Y2,…,Yn)T為獨立標準正態隨機變量，功能函數為Z=gY(Y)。失效概率表達式為

(8)

利用Laplace漸近方法計算上述失效概率值時，需用到含有大參數λ(λ→∞)的Laplace型積分公式[13]

(9)

式(9)中的被積函數在最大值位置鄰域內的性質決定了該式的性質。若函數h(x)和g(x)二階連續可微，p(x)連續，h(x)僅在積分區域邊界{x|g(x)=0}上的一點x*取極大值，則式(9)的積分值可漸近表示為[14]

(10)

其中

J=[?h(x*)]TB(x*)?h(x*)

(11)

式中:矩陣B(x*)為下面矩陣C(x*)的伴隨矩陣

(12)

為利用式(10)計算式(8)，可選取一個大數λ(λ→+∞)，滿足

Y=λV

(13)

該變換的雅可比行列式為detJYV=λn。將式(13)代入式(8)，得

(14)

式(14)表達的積分也為式(9)所示的Laplace型積分，且p(V)=λn/(2π)n/2，h(V)=-VTV/2。函數h(V)在V空間的坐標原點v=0處取最大值，而對于一般可靠度分析問題，v=0點在可靠域內，這說明h(V)在失效域面上一點v*=y*/λ存在極大值，故該失效概率pf值主要取決于失效面上使h(V)取得極大值的點v*，以及失效面在點v*附近的凹向、曲率等非線性性質。由可靠度指標β的幾何意義知[4]，這一關鍵點v*就是V空間內結構的驗算點。如果功能函數二次可導，根據式(10)，上式(14)的漸近積分值為

(15)

其中

J1=[?h(v*)]TB1(v*)?h(v*)=v*TB1(v*)v*

(16)

而B1(v*)為下面矩陣C1(v*)的伴隨矩陣

?2gY(λv*)

(17)

將式(16)代入式(15)，并注意到β的幾何意義即β2=y*Ty*，式(15)可在Y空間內寫成

(18)

式中

J=y*TB(y*)y*

(19)

而B(y*)=B1(v*)為下面矩陣C(y*)=C1(v*)伴隨矩陣

(20)

考慮到β一般為較大的正值，φ(β)≈β·Φ(-β)，式(18)又可寫成

(21)

利用Laplace漸近方法求解可靠度，除了需要用到顯式功能函數表達式g(X)，還需要計算g(X)的一階、二階導數[15]。利用復合函數求導方法，對式(3)求一階導數：

(22)

式(22)中

(23)

(24)

對式(22)再次求導可得功能函數的二階導數

(25)

3 可靠度計算步驟

基于BP神經網絡和Laplace漸近方法的可靠度分析計算步驟如下：

(1)確定影響巖土工程穩定的隨機變量因素及相應的統計特征，使用拉丁超立方抽樣確定神經網絡輸入樣本。

(2)根據輸入樣本建立巖土體的有限元模型，賦予相應參數和設置邊界條件等后進行數值模擬分析，得到對應的安全系數值即神經網絡的輸出樣本。

(3)將輸入樣本和輸出樣本帶入神經網絡進行訓練并測試其擬合效果，通過訓練好的神經網絡模型神經元之間的函數關系，利用式(3)～(7)推導出功能函數的顯式表達式。

(4)基于功能函數的顯式表達式，通過式(22)～(25)計算其一階、二階偏導數，利用式(14)～(21)中的Laplace漸近方法求出相應的的失效概率。

4 算例分析

本文采用如圖3所示的簡單均質邊坡作為算例，來詳細介紹基于BP神經網絡和Laplace漸近方法的可靠度分析計算過程，并驗證其可行性和精確性。

圖3 邊坡計算斷面/m

邊坡坡高H=10 m，坡角α=35°，重度γ=17.8 kN/m3，彈性模量E=10 MPa，泊松比μ=0.3，粘聚力c=20 kPa，內摩擦角φ=25°。這里考慮γ，c，φ為相互獨立的隨機變量，其統計特征見表1。

表1 邊坡隨機變量的統計特征

在確定邊坡參數后，利用1.1節提出的拉丁超立方抽樣法對邊坡隨機變量進行抽樣產生600組數據，作為神經網絡的輸入樣本，然后采用基于ABAQUS的強度折減法進行數值分析，計算出對應的邊坡安全系數值，即為神經網絡的輸出樣本。

隨機抽取其中的550組樣本數據帶入BP神經網絡進行訓練，余下的50組樣本數據對訓練好的神經網絡模型進行測試。可在訓練前對樣本數據進行歸一化處理，從而提高BP神經網絡的訓練效率。所建BP神經網絡模型的擬合效果如圖4所示。

圖4 BP神經網絡預測值與ABAQUS計算值對比

如圖4所示，除了第16組和第40組測試樣本數據，其余大部分測試樣本安全系數的預測值和計算值能較好吻合，但是這兩組測試樣本數據的誤差均在可接受范圍內。故所建的BP神經網絡模型可用于邊坡安全系數的預測以及后續邊坡功能函數顯示表達式的推導。

從Matlab軟件中導出輸入層到隱含層和隱含層到輸出層之間的權值及閾值，即BP神經網絡輸入層、隱含層、輸出層之間的連接權重和偏差，帶入式(3)～(7)可得出輸入變量(重度、粘聚力和內摩擦角)和輸出變量(邊坡安全系數)之間的映射關系式，經過反歸一化處理，可推出邊坡功能函數表達式為：

Z=-0.1341K1-0.5223K2+0.4526K3+0.0131K4+1.5637K5-0.0585K6+0.92992K7+1.5274

(26)

式中：

為驗證上述所建立的邊坡功能函數顯式表達式是否準確可行，依據表1隨機變量的取值范圍，再由拉丁超立方抽樣法隨機生成10組樣本數據，分別用式(26)功能函數表達式和基于ABAQUS的強度折減法計算對應的邊坡功能函數值，結果見表2。

表2 邊坡功能函數值計算結果對比

表2中，用兩種方法計算這10組樣本數據所得到的功能函數值基本相同，最大絕對誤差不超過0.02；這種誤差可能是由兩方面原因產生的：(1)BP神經網絡模型的預測誤差；(2)推導功能函數表達式過程中，對式(26)中部分數值進行了四舍五入的處理；因此該功能函數表達式可用于后續邊坡失效概率的計算。

基于BP神經網絡建立的邊坡功能函數顯式表達式，利用蒙特卡洛法(106次)計算該邊坡的失效概率值；采用第2節中提到的偏導數求解，將功能函數對基本變量求一階、二階導數后，利用JC法、Laplace漸近方法計算該均質邊坡的失效概率；將計算結果與蒙特卡洛法(106次)對比，結果見表3。

表3 不同可靠度計算方法計算結果對比

以蒙特卡洛法(106次)計算結果為邊坡失效概率參考值，Laplace漸近方法的相對誤差為2.97%，JC法的相對誤差為6.06%；表明利用Laplace漸近方法進行可靠度計算的結果精度高于JC法，且收斂速度明顯高于蒙特卡洛法，具有較高的計算效率。

5 結 論

本文提出了基于BP神經網絡和Laplace漸近方法來求解巖土工程可靠度問題，并結合具體邊坡算例，利用BP神經網絡模型來擬合邊坡的隱式功能函數，采用Laplace漸近方法計算邊坡的失效概率，分析表明：

(1)BP神經網絡在擬合巖土體功能函數方面具有顯著優勢。通過與有限元數值模擬計算結果對比表明，即使功能函數為隱式且存在高度的非線性，BP神經網絡模型仍能夠精準地逼近這種映射關系，并可通過神經元之間的函數關系，推導出對應的顯式表達式，極大改善了傳統響應面法的精度；

(2)基于BP神經網絡模型建立了均質邊坡安全系數預測模型，針對同類型的邊坡，直接帶入相應參數值即可直接求出相應的邊坡安全系數，無需進行繁雜的有限元建模計算過程；

(3)通過實際算例表明，Laplace漸近方法的計算精度高于常用的一次二階矩法中的JC法，且較于蒙特卡洛法無需進行多次重復計算，結合含有大參數的Laplace型積分公式即可一次算出結果，計算效率高。

本文方法驗證是以均質邊坡作為算例，對于非均質邊坡該方法同樣可行。