基于積木式傳遞矩陣法雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算

都昌兵，邱清竣，舒 毅

（長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410124）

帶軸間軸承的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的典型結(jié)構(gòu)。航空發(fā)動(dòng)機(jī)的使用經(jīng)驗(yàn)表明：在某些轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子的撓度顯著增大，同時(shí)出現(xiàn)較大的不平衡力和力矩，這些轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。如果發(fā)動(dòng)機(jī)在臨界轉(zhuǎn)速附近工作，其振動(dòng)大大加劇。轉(zhuǎn)子在遠(yuǎn)小于或大于臨界轉(zhuǎn)速下運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其工作平穩(wěn)，撓度很小[1]。臨界轉(zhuǎn)速現(xiàn)象是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有特性。對(duì)于單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，臨界轉(zhuǎn)速的數(shù)值由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定，而與工作轉(zhuǎn)速無關(guān)。但是，對(duì)于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，在不同轉(zhuǎn)速比下，由于軸間軸承的影響，系統(tǒng)特性（轉(zhuǎn)子相互作用、耦合作用的強(qiáng)弱不同）有所改變，將對(duì)臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響。

1 積木式傳遞矩陣的基本原理

積木式傳遞矩陣是一種用于計(jì)算單、雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的理想方法。任何復(fù)雜的轉(zhuǎn)子均可由若干“標(biāo)準(zhǔn)”類型的轉(zhuǎn)子大段（簡(jiǎn)稱：積木塊）組合而成，積木塊的右端為轉(zhuǎn)子始端或軸承結(jié)合面的左側(cè)，其左端為轉(zhuǎn)子的末端或軸承結(jié)合面的右側(cè)。對(duì)每類積木塊分別編制了由其右端狀態(tài)變量來計(jì)算其左端狀態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)程序。當(dāng)要計(jì)算實(shí)際轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，只要將相應(yīng)的積木塊程序調(diào)用搭接即可[2]，而不需要重新編制源程序。

2 航空發(fā)動(dòng)機(jī)典型構(gòu)件的傳遞矩陣

2.1 帶彈性支承的剛性薄圓盤

對(duì)于帶彈性支承的剛性薄圓盤，設(shè)第j個(gè)支承的總剛度為Ksj，其傳遞矩陣為：

式中：Ip、Id分別為單元直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、單元極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m為剛性圓盤集質(zhì)量，ω為轉(zhuǎn)速。

2.2 無質(zhì)量等截面的彈性軸段

無質(zhì)量等截面的彈性軸段的傳遞矩陣為：

式中：l為軸段的質(zhì)量，E為材料的彈性模量；J為軸段的截面距；γ為考慮剪切影響的系數(shù)。

2.3 圓盤和軸段的組合件

圓盤和軸段的組合件的傳遞矩陣為：

2.4 點(diǎn)質(zhì)量

點(diǎn)質(zhì)量的傳遞矩陣為：

3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算

3.1 雙轉(zhuǎn)子模擬實(shí)驗(yàn)器

雙轉(zhuǎn)子模擬實(shí)驗(yàn)器結(jié)構(gòu)如圖1所示，由內(nèi)、外兩個(gè)轉(zhuǎn)子組成，其中：內(nèi)轉(zhuǎn)子支承形式為1-2-1，外轉(zhuǎn)子支承形式為1-0-1，外轉(zhuǎn)子的后端采用了軸間軸承。

圖1 雙轉(zhuǎn)子模擬實(shí)驗(yàn)器結(jié)構(gòu)圖

3.2 計(jì)算模型的建立

根據(jù)雙轉(zhuǎn)子模擬實(shí)驗(yàn)器的幾何、物理參數(shù)來建立轉(zhuǎn)子的傳遞矩陣?yán)碚撚?jì)算模型。

（1）轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分段

根據(jù)支承、聯(lián)軸器的位置，把內(nèi)、外轉(zhuǎn)子分為幾個(gè)大段；在各大段內(nèi)根據(jù)軸的特點(diǎn)分站。為了便于計(jì)算，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子統(tǒng)一分段，即內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的分段數(shù)相同，相對(duì)應(yīng)段的截面數(shù)也相同。由于外轉(zhuǎn)子比內(nèi)轉(zhuǎn)子短，故在外轉(zhuǎn)子兩端添加質(zhì)量、長(zhǎng)度為零的虛擬段，使其和內(nèi)轉(zhuǎn)子段數(shù)相同。其中KB表示內(nèi)轉(zhuǎn)子的大段號(hào)，KA表示外轉(zhuǎn)子的大段號(hào)。分段的結(jié)果如圖2所示。

圖2 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

內(nèi)轉(zhuǎn)子之間通過柔性聯(lián)軸器連接，為了便于計(jì)算，從聯(lián)軸器處把內(nèi)轉(zhuǎn)子分成兩部分。建立模型時(shí)，選取右側(cè)的軸段。

（2）軸的處理

根據(jù)軸徑以及軸上安裝零件的不同，將軸分成若干等截面的軸段，段數(shù)分得越多，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，但計(jì)算量也越大。凡是輪盤、軸承位置、軸徑（外徑或內(nèi)徑）和材料有變化的位置，都選作分段截面。對(duì)于等截面的軸段過長(zhǎng)的段，則將其分成若干小段。

軸的質(zhì)量按集中質(zhì)量處理。軸的質(zhì)量簡(jiǎn)化成有限個(gè)集中質(zhì)量，各軸段的質(zhì)量按質(zhì)心位置不變的原則分配在各軸段的兩端面上。

（3）輪盤的處理

輪盤簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量（位于輪盤重心截面的軸線上），但考慮其直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[3]。

（4）支承條件的簡(jiǎn)化

將支承系統(tǒng)簡(jiǎn)化為彈性支座。支承系統(tǒng)的剛度，根據(jù)試驗(yàn)或計(jì)算確定。支承的剛性系數(shù)按以下的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：

①同時(shí)受徑向和軸向載荷的滾珠軸承的柔性系數(shù)[4]：

②只受徑向載荷的滾珠軸承的柔性系數(shù)：

式中：

γ-滾珠與軸承外環(huán)的接觸角；Dw-滾珠直徑；

Fγ-徑向載荷；Fa-軸向載荷；Z-滾珠數(shù)量。

本文中的支承均按照彈性支承來進(jìn)行處理。

（5）計(jì)算模型

按照軸分段的結(jié)果，再把每段軸分為若干個(gè)節(jié)點(diǎn)，經(jīng)過簡(jiǎn)化的計(jì)算模型如圖3所示。

圖3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)計(jì)算模型

（6）編制數(shù)據(jù)文件

根據(jù)理論計(jì)算模型，編制數(shù)據(jù)文件。

數(shù)據(jù)文件的格式是一個(gè)18×N階的輸入矩陣。N指的是軸劃分的截面數(shù)。矩陣的各行元素為該截面的內(nèi)外轉(zhuǎn)子的幾何、物理特性，如軸的長(zhǎng)度，軸段的內(nèi)徑和外徑，軸的支承條件，有無盤、聯(lián)軸器等附件，有無附加的質(zhì)量等，作為選取計(jì)算模塊的依據(jù)，以及計(jì)算參數(shù)數(shù)值[5]。

3.3 邊界條件

雙轉(zhuǎn)子模擬實(shí)驗(yàn)器中，外轉(zhuǎn)子的一端為懸臂端，另一端通過柔性聯(lián)軸器、傳動(dòng)帶與電機(jī)相連，在理論計(jì)算模型中按自由端來處理。內(nèi)轉(zhuǎn)子的一端通過柔性聯(lián)軸器與電機(jī)相連，另一端為外伸的自由端，計(jì)算時(shí)按兩端都是自由端處理。

3.4 程序流程圖

在計(jì)算內(nèi)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，先將外轉(zhuǎn)子固定在某一個(gè)轉(zhuǎn)速下，然后用頻率掃描法計(jì)算內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。改變外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，重新計(jì)算在新的外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速影響下的內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。這樣就可以得出在不同的外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速之下的內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。計(jì)算的程序流程圖如圖4所示。

圖4 臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算流程圖

外轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算方法與內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算方法相同，即計(jì)算在不同的內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速影響之下的外轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。它的程序流程圖不再給出。

4.計(jì)算結(jié)果與分析

4.1 內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果

先給定外轉(zhuǎn)子的一個(gè)轉(zhuǎn)速，求解在該轉(zhuǎn)速下內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速值；再改變外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速值，計(jì)算外轉(zhuǎn)子在另一個(gè)轉(zhuǎn)速下時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速值；重復(fù)以上的計(jì)算，即可求得外轉(zhuǎn)子在各個(gè)轉(zhuǎn)速時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速值；根據(jù)計(jì)算結(jié)果，繪制出內(nèi)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速隨外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化的曲線，進(jìn)而分析其變化規(guī)律。

（1）內(nèi)轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速隨外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化

表1給出了在不同的外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速下的內(nèi)轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算值。

表1 內(nèi)轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速（單位：r/min）

內(nèi)轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速隨外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律如圖5所示。

圖5 內(nèi)轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速隨外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化

從表1、圖5可以看出：當(dāng)外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速在0～7 000 r/min變化時(shí)，隨著外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，內(nèi)轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速先增加、后降低；在外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速值為2 000 r/min時(shí)，內(nèi)轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速達(dá)到最大。說明：轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中臨界轉(zhuǎn)速是變化的，變化的原因是外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化導(dǎo)致了內(nèi)轉(zhuǎn)子在中介支承處的動(dòng)剛度發(fā)生了變化。動(dòng)剛度的增加導(dǎo)致了內(nèi)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的上升，動(dòng)剛度的降低會(huì)導(dǎo)致臨界轉(zhuǎn)速的下降。

（2）內(nèi)轉(zhuǎn)子的二階臨界轉(zhuǎn)速隨外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化

表2給出了在不同的外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速下的內(nèi)轉(zhuǎn)子二階臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算值。

內(nèi)轉(zhuǎn)子二階臨界轉(zhuǎn)速值的變化規(guī)律如圖6所示。

從表2、圖6可以看出，隨著外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的上升，內(nèi)轉(zhuǎn)子的二階臨界轉(zhuǎn)速值上升，并且上升的幅度逐漸減小。其原因是外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的上升導(dǎo)致了內(nèi)轉(zhuǎn)子支承的動(dòng)剛度增加，使得內(nèi)轉(zhuǎn)子的二階臨界轉(zhuǎn)速上升。

表2 內(nèi)轉(zhuǎn)子的二階臨界轉(zhuǎn)速（單位：r/min）

圖6 內(nèi)轉(zhuǎn)子二階臨界轉(zhuǎn)速隨外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化

4.2 外轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算結(jié)果

表3給出了在不同的內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速下的外轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算值。

表3 外轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速（單位：r/min）

外轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速隨內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律如圖7所示。

圖7 外轉(zhuǎn)子的一階轉(zhuǎn)速隨內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化

從表3、圖7可以看出，外轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速隨內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的上升而上升。原因是隨著內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，外轉(zhuǎn)子和中介軸承相連接的部分動(dòng)剛度增大，導(dǎo)致了外轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速的上升。

4.3 臨界轉(zhuǎn)速的振型

在求得了臨界轉(zhuǎn)速值以后，就可以利用前面的計(jì)算結(jié)果求解轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速下的振型，即轉(zhuǎn)子的撓曲線。求解的方法是先假設(shè)初始段的狀態(tài)變量，由于初始段是自由端，所以在位移Χi、撓角θi、彎矩Mi和剪力Qi中，彎矩Mi和剪力Qi為零，設(shè)位移Χi為1。

內(nèi)轉(zhuǎn)子過一階臨界轉(zhuǎn)速，而外轉(zhuǎn)子在一階臨界轉(zhuǎn)速以下時(shí)，內(nèi)外轉(zhuǎn)子的撓曲線如圖8所示。

圖8 內(nèi)轉(zhuǎn)子過一階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)內(nèi)外轉(zhuǎn)子的振型（N1=4 500 r/min ，N2=1 000 r/min）

內(nèi)轉(zhuǎn)子過二階臨界轉(zhuǎn)速，而外轉(zhuǎn)子在一階臨界轉(zhuǎn)速以下時(shí)，內(nèi)外轉(zhuǎn)子的振型如圖9所示。

圖9 內(nèi)轉(zhuǎn)子過二階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)內(nèi)外轉(zhuǎn)子的振型（N1=12 000 r/min，N2=1 000 r/min）

內(nèi)轉(zhuǎn)子在一階臨界轉(zhuǎn)速以下，而外轉(zhuǎn)子在一階臨界轉(zhuǎn)速以上時(shí)，內(nèi)外轉(zhuǎn)子的振型如圖10所示。

圖10 外轉(zhuǎn)子過一階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)內(nèi)外轉(zhuǎn)子的振型（N1=1 000 r/min，N2=35 000 r/min）

5.結(jié)論

（1）計(jì)算發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)速對(duì)臨界轉(zhuǎn)速值的影響規(guī)律：內(nèi)轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速隨著外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的上升先上升、后下降，二階臨界轉(zhuǎn)速隨著外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速增加而不斷增加。外轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速隨著內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加而增加。

（2）在振型方面，內(nèi)轉(zhuǎn)子的振型隨著內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的不斷上升而發(fā)生變化，它的相應(yīng)階的振型與彎曲振動(dòng)時(shí)各階振動(dòng)的振型基本形同。

（3）對(duì)于實(shí)際的航空發(fā)動(dòng)機(jī)來說，由于高低壓轉(zhuǎn)子之間存在著一定的轉(zhuǎn)速差，因此它的轉(zhuǎn)速比在一個(gè)比較窄的范圍內(nèi)變化，而不是任意的。在處理這一問題時(shí)，可以把內(nèi)外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速變化曲線畫到雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速圖譜中，轉(zhuǎn)速曲線和臨界轉(zhuǎn)速曲線的交點(diǎn)就是實(shí)際各階的臨界轉(zhuǎn)速。