基于摩擦補償的電液作動器高精度控制

董瑞佳，董嬪，謝強

(1.唐山工業職業技術學院自動化工程系，河北唐山 063299；2.河南工業職業技術學院機械工程學院，河南南陽 473000；3.武漢理工大學機電工程學院，湖北武漢 430070)

0 前言

電液作動器(Electro-Hydraulic Actuator，EHA)集成了液壓伺服系統中的動力元件、控制元件和執行元件，因其功率密度大、精度高、體積小等優點，被廣泛應用于航空、船舶和冶金等領域。但受系統中存在的動靜態摩擦力特性、機構飽和以及環境變化等非線性因素的影響，電液作動器中的伺服系統表現為較強非線性[1-2]。尤其在高精度的運動控制中，摩擦成為影響高精度伺服機構誤差的主要因素之一，主要表現為電液作動器的低速爬行和極限環震蕩，從而影響伺服系統的動靜態特性，產生較大的跟蹤誤差[3-4]。

為了減低摩擦對作動器伺服系統帶來的不利影響，目前學者和工程人員主要采用降低摩擦因數和摩擦補償兩種方式。通過潤滑和表面處理降低動靜摩擦因數來降低摩擦對系統影響的改善措施只能起到降低爬行臨界速度的效果，不能完全消除爬行，而且受工藝水平的影響，摩擦因數只能在一定范圍內變動[5-6]。因此從控制的角度進行摩擦補償成為了國內外學者研究重點，并取得了豐厚的研究成果。TRAN等[7]分別采用LuGre摩擦模型和修正的LuGre摩擦模型對液壓缸進行仿真分析，結果表明修正后的摩擦模型能更準確地預測液壓缸的行為。PRABEL 和ASCHEMANN[8]提出一種自適應反饋控制的摩擦補償策略，通過非線性觀測器對前饋摩擦模型中的參數進行估計，改善了系統的位置跟蹤性能。國內魏瓊等人[9]通過在低速和高速工況下分別進行試驗驗證，并與 PID 控制方法進行比較，結果表明非線性自適應反步摩擦補償控制方法有效改善了起步階段的動態滯后現象，減少了低速工況下爬行及高速工況下的黏滑振蕩現象，提高了系統的響應速度及跟蹤精度。

凌明祥和朱長春[10]基于Stribeck效應建立了相對完善的電液伺服振動試驗臺非線性摩擦力理論模型和待辨識參數的目標函數。黨選舉等提出了一種基于不完全微分的改進自適應反步積分滑模控制(ID-BIABISMC)，實現了基于摩擦補償的液壓伺服系統位置控制，將反演控制、積分滑模面滑模控制與摩擦補償相結合，解決了液壓系統的非結構不確定性問題[11]。

為解決摩擦力不確定性與非線性影響電液作動器低速工況位置精度不足問題，提出一種前饋補償+ESO(Extended State Observer)的控制策略，基于前饋補償和擴張狀態觀測器和LuGre摩擦力模型，建立基于LuGre動態摩擦模型的系統模型和前饋補償+ESO的控制器，結合仿真平臺驗證所提出摩擦補償策略的合理性。

1 系統描述

1.1 LuGre摩擦力模型

早在16世紀中期，人們就開始了對摩擦力的研究，隨著科技和測量技術的提升，不同的摩擦力特性也逐漸地被研究者揭示出來，如黏性摩擦、Stribeck效應、預滑移、摩擦記憶等。雖然至今國內外學者關于摩擦機制并沒有十分完善的科學解釋，但國內外學者基于不同的摩擦力特性提出了不同的摩擦模型。按照摩擦模型是否由微分方程描述可大致分為靜態摩擦模型和動態摩擦模型。靜態摩擦模型主要包括庫侖摩擦模型、黏性摩擦模型、指數摩擦模型等。動態摩擦模型主要包括Dahl模型、鬃毛模型、LuGre模型等。法國學者DE-WIT結合Dahl和鬃毛模型思想提出了LuGre摩擦模型[12-13]。

LuGre摩擦模型是一個較為完善的動態摩擦模型，用兩個接觸面間彈性鬃毛的平均偏移來表征摩擦力的動態行為。接觸面間通過彈性鬃毛接觸，受外力作用，預滑動階段通過鬃毛彈性形變產生摩擦力，形變量超過一定范圍，產生滑動，穩態運動時鬃毛的變形量和滑動速度成正比。其中鬃毛的平均變形量表示為

(1)

由式(1)可知，穩態的鬃毛平均變形量為

(2)

式中：sign(?)為符號函數。

(3)

(4)

式中：λ為與靜摩擦相關的無因次量，通常取λ=2；fc為庫侖摩擦力；fs為最大靜摩擦力；vs為Stribeck速度。

則LuGre模型描述的摩擦力為

(5)

式中：δ0為剛度系數；δ1為阻尼系數；δ2為黏滯系數。

LuGre模型可以真實地描述目前所觀測到的Stribeck效應、預滑移等大多數靜態特性以及瞬態特性，且因其簡潔的表達形式，受到了控制界的高度重視。式(1)、式(2)、式(3)描述了LuGre動態摩擦模型，其中參數fc、fs、vs、δ0、δ1、δ2由實驗數據辨識得到。

1.2 基于雙曲正切函數的摩擦模型擬合函數

由式(3)可以看出，LuGre模型中存在不連續函數sign(·)。不連續函數的存在使得系統在零速附近LuGre模型不可微，給后續控制帶來困難。因此，國內外許多學者通過設計連續的擬合函數描述摩擦力在零速附近的情況。基于雙曲正切函數將摩擦力模型描述為

(6)

則

(7)

1.3 基于LuGre摩擦模型的伺服系統模型

根據使用要求和場合的不同，電液作動器的執行器有對稱液壓缸和非對稱液壓缸，因非對稱缸在結構尺寸方面的獨特優勢，被廣泛使用。但由于兩腔的作用面積不同，非對稱液壓缸的正反方向動態特性不同，且兩腔流量不平衡，很難建立系統精確的傳遞函數，以伸出單向過程的傳遞函數來近似系統傳遞函數的方式容易導致系統的建模誤差增加。因此采用狀態空間方程來描述閥控非對稱缸系統，其結構簡圖如圖1所示。

圖1 閥控非對稱缸的系統

液壓缸活塞動力平衡方程為

(8)

式中：x為液壓缸的伸出位移；m為活塞及負載折算的總質量；B為黏性摩擦系數；F為負載；K為彈性負載剛度；A1為液壓缸無桿腔的作用面積；A2為液壓缸有桿腔的作用面積；p1為液壓缸無桿腔的壓力；p2為液壓缸有桿腔的壓力。

非對稱缸兩端的流量連續方程為

(9)

式中：x為液壓缸的伸出位移；V1為進油腔的初始容積；V2為回油腔的初始容積；βe為油液的彈性模量；Q1為流入液壓缸無桿腔的流量；Q2為流出回油腔的流量；Ct為液壓缸泄漏系數。

Q1和Q2根據伺服閥負載流量方程表示為

(10)

式中：Kq1、Kq2為伺服閥閥芯左右兩端流量增益；ps為泵源壓力；pr為回油側壓力；xv為伺服閥閥芯位移。

其中定義函數s(x)為

(11)

為簡化系統模型，假設伺服閥為對稱且匹配的，則有Kq1=Kq2=Kq。且有

(12)

式中：Cd為流量系數；w為伺服閥的面積梯度；ρ為液壓油密度。

定義系統狀態變量為

(13)

將伺服閥簡化為比例環節則xv=kiu，且kqi=kikq，則由式(8)(9)(10)可得如下系統狀態方程

(14)

由于LuGre摩擦模型可以描述大多數的摩擦行為，因此為提高系統的伺服性能，結合式(1)(4)(5)(7)描述的LuGre摩擦模型，則閥控非對稱缸的伺服系統方程可寫為

(15)

式中：fm為LuGre摩擦力。

(16)

已知在伺服系統中，隨著壓力、溫度系統內部條件以及外部干擾等的變化，液壓油彈性模量βe、負載質量m等參數會隨之變化。為方便控制器設計，對于所提出的基于LuGre摩擦模型的伺服系統狀態空間方程，假設系統參數A1、A2、Kq、Ct、m、βe、ps、pr和摩擦力參數δ0、δ1、δ2為已知固定參數。

2 控制器設計

2.1 前饋補償控制

伺服系統因具有一定的相位滯后，輸出量的反饋值經過一定滯后疊加在控制量上，而摩擦前饋補償控制可以通過建立精確的摩擦模型通過輸入信號或擾動按照已知模型直接反饋到控制量上，可以在被控制量發生變化前消除擾動的影響，并不受系統滯后的影響，因此前饋控制可以有效提升高精度伺服系統跟蹤性能。根據式(5)所建立的基于雙曲正切近似的連續可微摩擦力模型可將系統的前饋控制描述為圖2。

圖2 前饋控制結構框圖

摩擦前饋補償控制雖能提高伺服系統的跟蹤性能，但是需要了解系統的精確模型，實際的動態摩擦過程受速度和平均鬃毛變形量的影響，因此前饋摩擦補償僅能補償靜態摩擦力，并且靜態摩擦力的參數辨識和擬合均會影響補償精度，導致補償效果下降。

2.2 前饋補償+ESO控制

摩擦前饋補償控制雖能提高伺服系統的跟蹤性能，但是需要了解系統的精確模型，對模型的實際參數依賴性較高，且系統存在許多外部擾動，前饋摩擦很難完全消除這些誤差。實際的動態摩擦過程受速度和平均鬃毛變形量z的影響，因此本文作者設計摩擦前饋補償器和擴張狀態觀測器(ESO)結合的控制方式，控制原理圖如圖3所示。

圖3 前饋控制+ESO控制結構框圖

考慮系統

(17)

將不確定干擾設定為狀態x4=fn(x1,x2,t)，則觀測器可設計為

(18)

誤差的非線性加權函數形式表示為

(19)

式中：α3<α2<α1，取α3=0.1、α2=0.5、α1=1.5；β1、β2、β3、β4為控制器可調增益系數；δ>0。

擴張狀態觀測器的控制量可設計為

u=β1fal(e1,α1,δ)+β2fal(e2,α2,δ)+β3fal(e3,α3,δ)+g(z1,z2,z3，t)/b

(20)

3 仿真分析

為驗證摩擦前饋補償+ESO控制方式的有效性，使用提出的控制方式和系統空間方程搭建了Simulink仿真平臺，對電液伺服系統進行了位置跟蹤仿真，給出的系統仿真參數如表1所示。

表1 電液促動器伺服系統仿真參數

使用MATLAB中的Simulink模塊搭建仿真平臺，并將文中所提出的控制方法的控制效果進行對比分析。仿真給定位置指令為xd=0.1sin(0.1t)，所設計控制器增益參數設置為β1=2、β2=0.2、β3=0.1、β4=0.05。取系統的初始狀態為x1(0)=0，x2(0)=0.01，x3(0)=0，x4(0)=0，x5(0)=0。系統位置跟蹤仿真結果如圖4—圖6所示，跟蹤誤差曲線如圖7所示。

圖4 PID控制位置跟蹤曲線 圖5 摩擦前饋控制位置跟蹤曲線

圖6 前饋控制+ESO控制位置跟蹤曲線 圖7 不同控制方式跟蹤誤差曲線

對比幾種控制效果，由于干擾和系統參數的變化，PID控制在系統的伸出和縮回過程均存在較大的跟蹤誤差；摩擦前饋補償控制方式下，由于非對稱缸伸出和縮回系統結構參數的變化，系統縮回過程的誤差明顯大于伸出過程；而所設計的摩擦前饋補償+ESO控制方式具有更小的跟蹤誤差，系統伸出和縮回過程能夠很好地跟蹤指令信號，跟蹤誤差僅為常規PID控制的1/4，跟蹤精度達到0.2 mm。

4 結論

(1)通過連續的雙曲正切函數擬合LuGre摩擦模型中的分段函數g(x)，并在常規閥控非對稱缸的系統狀態空間方程中引入新的狀態變量，即LuGre動態摩擦力中的鬃毛平均變形量z，以此來建立伺服系統精確的狀態空間方程。

(2)為提高對動態摩擦力以及外部干擾的補償效果，提高伺服系統跟蹤精度，結合非線性加權函數，將系統的未建模部分和外部干擾擴張為系統狀態空間變量；依據系統結構和參數，設計系統的擴張狀態觀測器，生成系統的控制量u；綜合建立的LuGre摩擦模型，設計前饋補償+ESO的控制方式。仿真結果表明：與PID和前饋補償控制相比，系統具有更好的跟蹤精度。