考慮隨機沖擊影響的自適應Wiener過程剩余壽命預測方法

董青,鄭建飛,*,胡昌華,余銅輝,牟含笑

1. 火箭軍工程大學 導彈工程學院,西安 710025 2. 火箭軍駐西安地區第一軍事代表室,西安 710100

隨著高新技術的日益發展,現代工業設備正朝著高度自動化、集成化發展。由于壽命周期中受到振動沖擊、工況切換、機械磨損、化學侵蝕、負載變化以及能量消耗等內外部因素影響的綜合作用,此類設備的性能與健康狀態不可避免的出現退化現象,最終導致設備失效,甚至造成難以挽回的生命財產及環境損失。如果能在設備失效之前預測其壽命或剩余壽命,進而采用相應的維護策略,則可有效避免災難性事故,從而達到降低成本和保護環境的目的。作為預測與健康管理(Prognostics and Health Management, PHM)的核心技術,剩余壽命預測(Remaining Useful Life, RUL)是對設備進行科學維修決策的前提和基礎。因此,準確預測設備剩余壽命來降低突發失效風險具有重要的理論意義和工程應用價值。

經過幾十年的發展,剩余壽命預測技術取得了豐碩的理論成果并得到廣泛應用。Pecht在關于PHM的專著中,將剩余壽命預測方法主要分為基于機制建模和基于數據驅動建模的方法2類。柴天佑指出復雜的工業過程往往具有多變量、強耦合、強非線性、動態工況變化、難以用數學模型描述等復雜特性,數據驅動的方法主要包括人工智能方法和統計數據驅動的方法。Si等將數據驅動的方法分為基于直接監測數據的方法和基于間接監測數據的方法。其中直接監測數據的方法又可分為基于隨機系數回歸模型的方法、基于Wiener過程的方法、基于Gamma過程的方法、基于馬爾科夫鏈的方法以及逆高斯過程的方法。相對于其他隨機過程,Wiener過程是一類具有高斯獨立分布增量的非單調退化過程。憑借其良好的數學特性,已被廣泛應用于設備可靠性分析和壽命預測領域。

在工程實際中,設備除去正常工作外,還會受到單粒子效應、溫度振動沖擊、腐蝕等外部環境因素的影響,而這些額外因素可以看作廣義的隨機沖擊,對設備退化過程造成一定影響。張延靜等針對受到隨機沖擊影響的單部件系統,考慮沖擊對退化量的影響,建立競爭失效可靠性模型,并運用到維修決策中。孫富強等針對存在沖擊韌性的系統,考慮沖擊對退化量和退化率2方面的影響,建立非線性Wiener過程的競爭失效模型進行可靠性評估。王浩偉等針對導彈武器系統,假定突發失效概率與整彈性能退化相關,采用Gamma過程和Weibull分布分別作為退化失效模型和突發失效模型進行可靠性評估和RUL預測。王華偉等利用航空發動機失效信息,分別對性能退化失效和突發失效建立RUL預測模型。通過建立混合Weibull可靠性模型,量化性能退化失效對突發失效的影響,實現突發失效退化情況下的航空發動機剩余壽命預測。白燦等提出一種考慮隨機沖擊影響的非線性退化設備RUL預測方法,在首達時間意義下給出壽命和剩余壽命的近似解表達式,極大縮短了計算時間,為后續開展設備健康維護奠定了良好基礎。

基于上述分析,考慮沖擊與退化之間的相互影響已經開展許多工作,但大多應用于設備可靠性評估領域,而在壽命預測領域仍需要進一步深入拓展。在現有基于Wiener過程進行退化建模和剩余壽命預測方法研究中,對于設備壽命周期中現實存在的同時具有隨機沖擊影響、監測間隔不均勻、與先驗數據測量頻率不一致的情況尚未考慮。同時,對于模型漂移系數的更新,僅局限于實時監測數據下的更新,而未考慮未來RUL預測中該模型自適應漂移的可變性。

綜上,本文考慮隨機沖擊對退化過程的影響,提出一種基于自適應Wiener過程的非線性退化建模和剩余壽命預測方法。首先,通過自適應Wiener過程描述自身退化過程；其次,通過正態分布刻畫單次沖擊對設備退化水平的影響,并將隨機沖擊融入到自身退化建模中,在首達時間意義下,推導出設備隨機沖擊影響下剩余壽命分布解析式；再次,通過構建狀態空間模型,基于Kalman濾波框架和期望最大化算法,利用退化數據實現參數和RUL的自適應更新；最后,通過數值仿真、慣導系統陀螺儀以及鋰電池實例,驗證所提方法進行剩余壽命預測的精確性和實用性。

1 考慮隨機沖擊影響的自適應Wiener過程退化建模

1.1 自適應Wiener過程退化模型

令()表示設備在運行中的退化過程,現有常用的Wiener過程模型為

()=++()

(1)

式中：、分別為退化過程的漂移系數和擴散系數；()為標準Brownian運動；為退化初值,通常假設=0。

由于上述Wiener過程模型存在測量間隔不均勻、測量頻率不一致、忽略自適應漂移可變性3點不足,當不考慮隨機沖擊影響時,對于設備退化過程{(),≥0},采用自適應Wiener過程來描述

(2)

式中：()為一個符合Wiener過程且隨時間變化的漂移系數;為初始漂移率,>0;為自適應漂移項的擴散系數;()為設備監測的退化量;為退化過程的擴散系數;()為1個獨立于()的標準Brownian運動;為時間的1個參數；(,)為1個隨時間增長的非線性函數,為了方便表示,后續可簡寫為()。當=0,=1時,設備呈線性退化,此時退化模型變為如式(1)所示的Wiener過程。

1.2 隨機沖擊模型

現有考慮退化與沖擊相互影響的研究中,大多采用泊松過程來描述系統受到的隨機沖擊過程。相比于其他隨機過程,泊松過程主要有以下3點優勢：① 泊松過程是一種點過程,用來表征隨機沖擊這種單事件效應現象是合理的；② 泊松過程具有無記憶屬性,即沖擊是隨機發生的；③ 泊 松密度()可為任意形式,能較好地描述隨機沖擊的出現頻次。

(3)

式中：()為隨機沖擊引起的退化水平變化量之和；為單次沖擊引起的退化水平突變量。

上述隨機沖擊模型已經被應用于考慮隨機沖擊影響的退化建模中,而本文基于此模型,與非線性自適應Wiener過程相結合,建立退化模型,具體方法在1.3節展開介紹。

1.3 考慮隨機沖擊影響的退化模型

將隨機沖擊模型融入設備退化模型中,如圖1 所示。圖1中:橫坐標為退化時間,縱坐標為退化量(),為失效閾值,(=1,2,3,…)為第次狀態監測時間,為設備剩余壽命分布。當()達到預先設定的失效閾值時,即認定設備失效。

圖1 考慮隨機沖擊影響時設備退化過程Fig.1 Degradation process of equipment with random shook

用隨機過程{(),>0}表示設備退化過程,考慮隨機沖擊影響,設備實際退化過程分為2部分：設備正常退化和隨機沖擊對退化水平的影響。此時,設備退化模型為

(4)

2 隨機沖擊影響下設備剩余壽命預測

2.1 設備剩余壽命預測

在隨機退化建模框架下,根據首達時間定義設備的壽命為

=inf{：()≥|(0)<)

(5)

式中：()為設備退化狀態；(0)為退化初值;為設定的失效閾值。

由于Brownian運動的隨機性,壽命為服從逆高斯分布的隨機變量,根據文獻[15]自適應Wiener過程壽命分布的概率密度函數(Probability Density Function, PDF)為

(6)

若～(,),、都為常數,為正實數,則以下期望公式成立：

(7)

根據引理1,可通過全概率公式,得到考慮隨機沖擊影響下自適應Wiener過程的壽命分布PDF為

(8)

根據隨機過程首達時間的概念,當{(),≥0}首次達到失效閾值時,即認為設備失效。因此,基于監測數據0:={,,…,},將設備在時刻的剩余壽命定義為

=inf{：(+)≥|()<)

(9)

由式(8)可得,考慮隨機沖擊影響時自適應Wiener過程的剩余壽命分布PDF為

(10)

2.2 設備剩余壽命預測在線更新

為實現同時考慮時變不確定性、個體差異性、隨機沖擊影響等因素時設備RUL預測的在線更新,需構建退化過程的離散模型。此外,當受到隨機沖擊時,設備的退化速率可能會受到不同程度的影響,并且同樣的沖擊對不同退化速率設備的影響也不盡相同。因此,在自適應Wiener過程中,表征設備退化速率的漂移系數()和隨機沖擊影響的退化量可能會相互影響,且該影響隨著設備運行的時間不斷變化。鑒于此,本節將式(4)中的退化模型改寫為

(11)

(12)

2) 狀態估計

(13)

3) 協方差更新

(14)

若～(,)的元正態分布,且、為已知的常實數,、為已知的維常值向量,則

(15)

根據引理2,通過全概率公式可求得同時考慮隨機沖擊和個體差異性時,首達時間意義下設備RUL分布的PDF為

(16)

基于泊松分布的概率密度函數,產生個隨機變量表示隨機沖擊次數,結果記為(),(),…,()，有

(17)

計算步驟3得到RUL分布的均值,令其作為隨機沖擊影響下設備剩余壽命的PDF

(18)

3 參數估計

(19)

(20)

E步：

(21)

M步：

(22)

根據狀態空間模型,基于貝葉斯定理和條件概率公式,未知參數的對數聯合似然函數為

(23)

基于構建的狀態空間模型,以上條件期望值可通過RTS(Rauch-Tung-Striebel)平滑濾波計算。具體步驟如下：

1) 平滑濾波

(24)

2) 協方差初始值

(25)

3) 后向迭代

(26)

(27)

交替執行E步和M步,直至估計的結果滿足預設的算法終止條件,即最大迭代次數或參數收斂。當有新的狀態監測數據時,將之前估計得到的參數作為EM算法的初值,并基于新監測數據執行EM算法,以獲得相關參數的最新估計值。

4 實例驗證

4.1 數值仿真

由表1可見,相比于白燦等所提方法、不考慮隨機沖擊影響的方法,本文所提方法的參數估計結果更為準確,說明了本文所提方法的合理性和有效性,為后續準確預測剩余壽命奠定基礎。

表1 模型參數估計值Table 1 Estimated values of model parameters

此外,設備退化過程首次超過預先設定的閾值即為首達時間,經過大量模擬仿真可得到壽命分布直方圖如圖2所示,并與白燦等所提方法得到的壽命分布PDF、本文所提方法得到的壽命分布PDF進行比較。為了后續便于表示,令本文所提模型記為M0,白燦等提出的隨機沖擊退化模型記為M1,不考慮隨機沖擊影響的退化模型記為M2。

圖2 不同模型壽命分布PDFFig.2 PDF of life distribution with different models

圖3～圖5的結果反映了隨機沖擊對壽命分布的影響,即： ① 增大,加速設備退化,設備壽命隨之不斷下降,且壽命預測的不確定性增高； ② 增大,壽命分布的均值幾乎不變,但壽命預測的不確定性增高； ③ 減小,設備壽命下降且預測不確定性也隨之下降。

圖3 不同均值uI下壽命分布PDFFig.3 PDF of life distribution with different mean values

圖4 不同方差下壽命分布PDFFig.4 PDF of life distribution with different variances

圖5 不同泊松密度μ下壽命分布PDFFig.5 PDF of life distribution with different Poisson densities

4.2 陀螺儀實例分析

陀螺儀是導彈等運載體慣性導航系統的核心設備,其性能的優劣直接決定了導航精度和任務的成敗,同時具有結構復雜、精度要求高、價格昂貴等特點。通常,陀螺儀在安裝到導彈后,會隨彈經歷長時間儲存、測試、拆裝、運輸等不同環境過程,易受到隨機振動沖擊等影響,對表征陀螺儀精度性能的陀螺儀誤差模型系數的退化過程產生加速退化影響,最終影響陀螺儀服役時間。因此,為了準確預測陀螺儀剩余壽命,為后續維護管理提供科學依據,必須考慮隨機沖擊對陀螺儀退化的影響,某機械轉子陀螺儀在壽命周期中漂移系數退化數據如圖6所示,其中的數據突變是由運輸振動沖擊導致的退化加速。

在工程實際中,該陀螺儀漂移系數超過預先設定閾值=0.37 (°)/h,認為其不再滿足使用需求,即認為發生失效故障。為了驗證所提模型RUL預測的有效性,用前67個數據估計模型參數,并用剩余數據對陀螺儀的RUL更新。利用上一節提出的EM算法估計未知參數。

圖6 陀螺儀退化數據Fig.6 Gyro degradation data

圖7 參數更新過程Fig.7 Update process of parameter

圖8 參數P0|0更新過程Fig.8 Update process of parameter P0|0

圖9 陀螺儀漂移數據擬合效果Fig.9 Gyro drift data fitting effect

在此,給出3種模型各自的RUL預測結果,具體如圖10、圖11所示。結果表明,相比于模型M2,模型M0考慮了設備運行過程中隨機沖擊對退化量和退化率的影響,更加符合實際退化情況,因此能顯著提高預測準確度；與模型M1相比,模型M0基于非線性自適應Wiener過程進行退化建模,能克服測量間隔不均勻、測量頻率不一致的影響,同時該模型將漂移系數視為Wiener過程,在未來RUL預測時漂移參數自適應變化。此外,MO模型考慮到同一批次設備不同個體間退化率的差異性的影響,并將隨機沖擊對退化率的影響融入狀態空間模型中,實現RUL在線更新。因此,本文所提模型M0剩余壽命分布的PDF窄而尖銳,預測結果的不確定性較小,能獲得更好的預測結果。

圖10 不同模型RUL預測結果Fig.10 RUL prediction results of different models

圖11 不同監測點RULFig.11 RUL prediction at different monitoring points

為了對不同模型預測結果進行量化比較,進而驗證所提模型M0的有效性。定義設備的均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)為

(28)

圖12表明,隨著設備不斷退化,預測結果的RMSE也隨之減小。所提模型M0對應RMSE最小,進一步證明了M0較M1、M2具有更好的模型擬合性,能有效降低預測結果的不確定性。

圖12 不同模型RUL預測的均方根誤差Fig.12 Root mean square error of RUL prediction with different models

為了定量分析預測結果,在此引入絕對誤差(Absolute Error, AE)和評分函數(Scoring Function)進行性能評價。評分函數的計算公式為

(29)

由表2可知,3種模型RUL預測結果的絕對誤差在不斷減小,且模型M0對應的絕對誤差最小,即預測結果更準確。評分函數主要用于描述預測值與真實值高估與低估的關系。一般評分函數分值越小,預測結果越準確。由式(29)可以計算得到,3種模型對應結果分別為0.124 1、4.816 9、25.097 0,模型M0對應的評分函數分值最小。接下來,采用美國國家航空航天局(NASA)公開的鋰電池數據集進一步驗證本文所提方法的有效性和通用性。

表2 不同監測點絕對誤差Table 2 Absolute error at different monitoring points

4.3 鋰電池實例分析

鋰電池的容量退化數據隨著充放電循環而不斷降低,在退化過程中,由于充放電循環的中止,電池在沒有電子壓力的情況下,其容量數據可能會有所恢復。而這種容量的恢復可認為一種負向的隨機沖擊施加到退化過程中。本文從公開的鋰電池數據#5、#6、#7、#18中,選擇#5電池進行驗證,鋰電池退化數據如圖13所示。在工程實際中,一般認為電池容量衰減30%將失效。

圖13 鋰電池退化數據Fig.13 Lithium battery degradation data

通過初始電池容量值減去每次充放電循環后的電池容量,得到符合Wiener過程的鋰電池真實退化數據和預測退化數據,具體如圖14所示。圖14結果表明,本文方法預測數據與真實數據擬合效果較好,能較好地反映鋰電池退化情況。

圖14 鋰電池退化數據擬合效果Fig.14 Lithium battery degradation data fitting effect

根據參數估計結果代入模型RUL預測解析式中,可得到模型M0和模型M1的RUL預測結果,具體如圖15、圖16所示。

由圖15、圖16可見,與模型M1相比,本文所提模型M0的預測效果更為準確。尤其在退化初期,模型M0能動態調整漂移參數,預測精度較高。此外,模型M0同時考慮時變不確定性、同一批次不同設備間的個體差異性以及隨機沖擊影響,考慮情況更加全面,預測結果也更為準確。

圖15 不同模型RUL預測結果Fig.15 RUL prediction results of different models

圖16 不同監測點RULFig.16 RUL prediction at different monitoring points

同樣地,為了定性和定量分析本文所提方法的有效性,給模型M0、M1的RUL預測結果的均方根誤差和絕對誤差,分別如圖17、表3所示。

圖17 不同模型RUL預測的均方根誤差Fig.17 Root mean square error of RUL prediction with different models

表3 不同監測點絕對誤差Table 3 Absolute error at different monitoring points

圖17表明,隨著設備運行時間的推進,模型M0和M1預測結果的RMSE不斷減小。在模型M0和M1中,所提模型M0對應RMSE較小,表明模型M0能有效降低預測結果的不確定性。

由表3可見,模型M0的絕對誤差始終小于模型M1,其預測結果更為準確。綜上,本文所提模型M0預測準確度高、不確定性小,并且具有一定的適用性,可為后續設備的維護決策提供理論依據。

5 結 論

針對考慮隨機沖擊影響的隨機退化設備,本文提出一種基于非線性自適應Wiener過程的剩余壽命預測方法。

1) 利用非線性自適應Wiener過程和正態分布分別描述設備正常退化和隨機沖擊對設備退化量的影響,建立了能有效融合隨機沖擊影響的自適應Wiener過程隨機退化模型。

2) 在首達時間意義下推導出剩余壽命解析式,構建狀態空間模型實現RUL在線更新。通過仿真實驗以及慣性導航系統陀螺儀、鋰電池數據驗證所提方法的有效性。

3) 本文所提方法基于非線性自適應Wiener過程,能夠克服退化設備測量間隔分布不均勻、監測數據的測量頻率與歷史數據頻率不一致的情況,并且考慮將來退化過程中自適應漂移的可變性以及隨機沖擊對設備退化的影響,可為存在隨機沖擊影響的設備剩余壽命預測提供理論依據,且具有一定的潛在應用價值。