一種新型球面調和函數的柔性體仿真方法＊

查雁南

(廣州工程技術職業學院王世安計算機仿真工作室，廣東 廣州 510075)

0 引言

虛擬現實，就是虛擬和現實相互結合。從理論上來講，虛擬現實技術（VR）是一種可以創建和體驗虛擬世界的計算機仿真系統，它利用計算機生成一種模擬環境，使用戶沉浸到該環境中。虛擬現實技術就是利用現實生活中的數據，通過計算機技術產生電子信號，將其與各種輸出設備結合使其轉化為能夠讓人們感受到的現象，這些現象可以是現實中真真切切的物體，也可以是我們肉眼所看不到的物質，通過三維模型表現出來。

虛擬現實世界中，主要分為剛性物體和柔性體（非剛性物體）；剛性體的仿真模擬過程，一般應用牛頓經典力學相關原理，包括碰撞過程中的動量和能量守恒等；柔性體的特點是材料粒子間的變化具有牽扯性和連續性，即當物體上某一點受力形變時，粒子間的牽扯力會引起相鄰點的粒子也發生移動，從而造成物體在受力點處一定范圍內的形狀發生連續改變，例如彈性或塑性形變。因此，在對柔性體進行建模仿真時，需要綜合考慮物體的材質和粒子間的力學性能，這相比于不考慮形變的剛體建模具有更高的復雜性。

對柔性物體的幾何變形和應力應變等建模，包括兩大類，分別為基于幾何的應力應變建模和基于物理意義的應力應變建模。基于幾何的應力應變建模，通過插值擬合的方法可直接改變物體表面的分割點，從而改變物體幾何形狀。應力應變的大小與物體的形變成正比，常見的有基于正方形面片和三角面片模型?；谖锢硪饬x的應力應變模型則基于物體的力學本構方程，通過分析力和形變的關系對柔性物體進行建模，最常見的是彈簧質點模型和邊界元模型，但兩者都存在著不足之處。

針對這些問題，文獻[5]提出運用絕對節點坐標的方法，即采用基于Hertz 接觸碰撞理論，給出了碰撞力計算表達式，對空間中虛擬柔性體進行建模。此方法實現了基于絕對節點坐標的柔性體間、柔性體與剛體間的建模與實時碰撞仿真。本文提出了一種新型的基于球面調和函數的有限元解決方法，用于準確分析柔性體或非剛性物體在碰撞或者運動過程中受力而導致的形變，從而達到快速柔性體仿真模擬；該方法中，利用球面調和函數的正交歸一性對柔性體的應力應變信息進行重構，充分表達柔性體的細節部分，實現柔性體的精準仿真模擬和即時表達，提升沉浸感且提升虛擬環境中的交互操作能力。

1 球面調和函數與成像原理

球面調和函數是調和函數的一種。類似于傅里葉函數，它是一組正交、完備的函數系。球面上任意連續函數，都可以通過球面調和函數線性組合表示，即

與(,)之間的關系為：=(,,)=(,,，這樣，Y()可以寫為

文獻[6]推導了基于球面調和函數的成像公式為

從式⑶可以看到，基圖像b完全由物體的內在屬性d和n決定，成像的外在條件——光照條件則通過光線系數l組合表示。

文獻[6]指出，成像過程中，朗伯核函數扮演著低通濾波器的作用，濾除了光線函數高頻部分對反射函數(n)的影響，即

基于球面調和函數的成像公式則可以寫為

這說明可以通過少量的、有限維的基圖像構建出人臉模型，而這些基圖像只與物體如柔性體表面的屬性有關，與外界的光照條件無關。在仿真建模軟件如Unity 3D中，我們可以手動設置相應的光照參數。

2 基于球面調和函數和有限元思想的柔性體仿真模擬

將球面調和的描述因子參數化，則可得任意一個單連通曲面拓撲結構等價的球面，為：

其中，(,)，(,)和(,)是和中的坐標函數。

根據多尺度性，本文作者開發了一個程序FlexSim-T（Flexible Body Simulation Tool），使用者可以通過交互方式改變其中的參數得到任意柔性體的任意形狀。我們分別用該程序以及傳統的仿真交互設計軟件Unity 3D 來對牽引供電系統中的銅接觸線進行模擬仿真。銅接觸線的具體參數如表1 所示，其外形和橫截面信息如圖1和圖2所示。

表1 銅接觸線部分物理參數

圖1 原裝的銅接觸線

圖2 試驗采用的銅接觸線

3 實驗和計算結果

實驗步驟以及實驗條件等說明如下：

⑴按表1選取截面積85平方毫米，長度300毫米的銅接觸線。

⑵讓接觸線一端固定，另一端自由活動。

⑶在自由端，即圖3 中A10 所處位置，施加大小為10N 的力的作用，力的方向垂直向下；按圖3所標注的位置，測量每個位置的受力后變形的尺寸，即受力后鎖在的位置與以固定端平齊的水平線之間的距離；使用Keyence 的型號為VK-X100 電子顯微鏡來進行觀察和測量。

圖3 銅接觸線變形量測量位置2D示意圖

⑷按圖3 所示位置，在FlexSim-T 和U3D 中依據相同的銅接觸線進行建模，然后模擬其在A10 處受到相同的垂直向下、大小為10N的力的作用，測量不同位置（A1 到A10）的變形量。實驗結果和仿真模擬結果如表2所示。

表2 實驗結果和仿真模擬結果對比

⑸增加銅接觸線單元數量，分別用FlexSim-T 和U3D 來模擬，單元數量從10 到100，遞增為10；記錄不同單元數量時兩種方法模擬的變形量之間的差別。兩種模擬仿真計算結果如表3所示。

表3 不同單元數量時兩種模擬仿真計算結果對比（FlexSim-T vs u3d）

由圖4 和圖5 的數據對比可知，FlexSim-T 建模的計算結果與實測數據差別更小，比Unity 3D 更能有效模擬銅接觸線在實際運行時的情況；另外，隨著單元數目的增加，FlexSim-T 和Unity 3D 的計算結果越來越接近，同時也表明，FlexSim-T 在單元數較少時具有較明顯的優勢。

圖4 FlexSim-T、Unity 3D測試結果與實驗結果的對比

圖5 FlexSim-T、Unity 3D仿真方法差異數與單元數的關系圖

4 結束語

本文在分析球面調和函數成像理論的基礎上，結合有限元思想，將由球面調和函數決定的柔性體離散成有限的單元，提出且初步驗證了一種新型的基于球面調和函數及有限元思想的柔性體仿真方法。實驗結果表明，該新型方法的建模形式簡單，仿真模擬的結果更接近實際的柔性體在受力時發生的真實情況，這為虛擬現實領域中實現高度還原甚至100%還原現實世界提供了一種高效的解決手段，通過這種模擬方法可以讓高鐵接觸網工程師實時查看接觸線架設在不同高度與受電弓接觸時受力和形變的情況，通過模擬得到更優的接觸網架設方案。