新型跟蹤微分器在航空發動機磁懸浮軸承中的應用

張和洪，謝晏清，王 娟，但志宏，林澤如，龍志強

（1.福州大學計算機與大數據學院，福州 350108；2.大連海事大學輪機工程學院，遼寧大連 116026；3.中國航發四川燃氣渦輪研究院，四川 綿陽 621703；4.福建省民益建設工程有限公司，福州 350018；5.國防科技大學智能科學學院，長沙 410073）

0 引言

磁懸浮是借助磁力來克服重力的一種涉及多學科領域的復雜技術，已應用于航空航天、醫學、能源工業、軌道交通等重要領域。航空發動機磁懸浮軸承技術中最核心的環節是將運動中的轉子穩定懸浮于空中，使轉子和靜子之間不存在機械接觸，從而大幅提升航空發動機性能。因此實現穩定懸浮是磁懸浮軸承應用的核心技術之一。

Smirnov等指出磁懸浮軸承是包含非最小相位系統的具備強非線性和大量不確定性的系統。在磁懸浮軸承控制問題上，Matsumura等總結了國內外學者在基于數學模型或弱基于數學模型的研究探索與試驗驗證；Giap等提出模糊比例、積分、微分（Proportional Integral Derivative，PID）控制及滑模控制；Wu等提出反步控制；Sun等提出自抗擾控制及迭代學習控制等。為實現穩定懸浮，金超武等指出控制器需要獲取位移傳感器實時的信號及速度信號。但由于航空發動機工作溫度高且負荷變化大，使位移傳感器信號包含較大的隨機噪聲，且信號頻帶會隨工況改變，增加了控制器設計的難度。如何設計高效的微分器算法應用于位移傳感器，實現實時有效的濾波與速度信號提取，特別是提高信號的相位品質，成為實現穩定懸浮的關鍵問題。理想微分器在物理上不可實現，Zhang總結了國內外研究人員在微分器理論與應用研究方面的成果，目前國內外主流微分器算法包括以色列學者Levant及Utkin提出的滑模微分器算法與中國學者韓京清提出的跟蹤微分器算法。滑模微分器中由于切換函數的存在，不能保證系統變量在有限時間內到達滑模面并保持在滑模面上，而是在滑模面附近快速切換，產生抖振現象。考慮到快速性，韓京清從最小時間問題出發，引進了快速跟蹤微分器算法，具有無超調、無顫振的特點，能獲取品質良好的微分信號。然而該微分器的抗噪聲能力仍受到一定程度的限制，若輸入信號的信噪比較小，會產生較大的毛刺甚至產生淹沒現象，若提高算法濾波因子，則在改善信號光滑性的同時，產生較大的滯后。因而跟蹤微分器存在光滑性與相位滯后之間的矛盾。

由于跟蹤微分器具備全程快速、無顫振等優勢，本文為彌補算法在濾波與微分信號提取時的相位滯后，引入相位調整因子對相位進行實時有效地補償，在光滑性與相位滯后之間作適當權衡，采用基于2階串聯型系統的跟蹤微分器解決位移傳感器信號處理問題。

1 問題提出

磁懸浮軸承是一個復雜的機電耦合系統，其性能優劣很大程度上取決于核心反饋控制器的性能。磁懸浮軸承懸浮控制系統的原理如圖1所示。

假定在參考點上，當外界存在向上或向下的擾動作用于轉子時，轉子位置會偏離參考點。此時安裝在電磁鐵上的位移傳感器將實時檢測出轉子偏離參考點的位移以及相應的狀態量，并作為反饋控制器的輸入，通過相應的斬波電路等功率放大器將控制器的輸出轉化成控制電流，進而在懸浮電磁鐵中產生相應的磁力，最終驅動轉子返回平衡位置。在磁懸浮軸承工程實踐中，位移（即間隙）及對應的速度信號對于實現穩定的懸浮至關重要。在通常情況下，速度信號可通過加速度計的積分獲得，但是在實際工程應用中，加速度計存在2個主要問題：（1）價格較貴的加速度計相比于位移傳感器而言，安裝工況惡劣，容易發生故障；（2）加速度計信號的積分對某些特殊的信號頻帶無法實現有效提取，特別是當處于穩定靜態懸浮時，信號中存在直流分量，在利用積分方法獲取速度信號時被放大。此外，在磁懸浮軸承工程應用中，位移信號存在較大的隨機噪聲干擾，且隨著系統運行工況的改變，位移信號的頻帶寬度會發生變化。因此為實現航空發動機磁懸浮軸承的穩定懸浮，亟需設計有效的跟蹤微分器算法（如圖1所示），通過直接處理位移傳感器采集信號獲取有效的濾波與速度信號，用于磁懸浮軸承的懸浮控制。有效的跟蹤濾波與微分信號主要表現在2方面：（1）跟蹤濾波和微分信號的跟蹤誤差滿足實際系統的要求；（2）與給定信號相比，跟蹤濾波與微分信號的相位滯后盡可能小。

圖1 磁懸浮軸承懸浮控制系統原理

2 新型跟蹤微分器算法構造

考慮2階積分器串聯型系統有

式中：=[,]，表示系統（1）的2個狀態，系統的初始狀態為(0)=[(0),(0)]；為控制量的極值約束條件參數；為根據時間最優控制理論得到的式（1）系統以原點為終點的時間最優控制綜合函數

為bang-bang控制的開關曲線方程，bang-bang控制是一種控制量在最大值和最小值之間切換的控制方式，在開關曲線的上方=-，開關曲線的下方=+，這樣選取的控制量可使給定初始狀態回到開關曲線上，且在開關曲線上至多跳變1次便可回到原點。開關曲線及狀態轉移最優軌跡線如圖2所示。

圖2 開關曲線及狀態轉移最優軌跡線

圖中

即為開關曲線。從圖中可見，初始狀態的選擇不會影響系統狀態轉移的最終目的，初始狀態必然會轉移到開關曲線上，而后順著開關曲線快速回到原點。把式（3）中的改為-()（()為給定的輸入信號），得到最速跟蹤微分器

為了消除離散化后的最速跟蹤微分器在穩態時出現的高頻顫振，韓京清利用等時區方法推導出狀態變量在開關曲線附近來回跳變的線性區域以及該區域所對應的邊界層函數。邊界層的存在使得狀態在轉移過程中能夠無顫振回到指定點。對應的控制量在有界區域內按線性規律變化，而不是在2個極端的量（最大值和最小值）之間跳變，有利于克服由式（6）系統引發的高頻顫振現象。

采用歐拉折線法將式（1）系統離散化后，可得控制量受限的2階離散系統

式（7）離散系統到達原點的快速最優控制綜合函數的確定方法為：先確定用控制序列（0），（1），…，（）能到達原點的初始點(0)的表達式，然后設法用初始點(0)來表示出初始時刻的控制量(0)，那么這個控制量(0)就是初始點(0)的最優控制量，這個(0)的表達式就是最優控制綜合函數。詳細推導過程見文獻[18]。為便于理解，本文給出重要研究結論，對應的邊界層方程為

式中：、、分別為邊界層A、B、C對應的曲線方程。

邊界層內部的2步可達區為

式中：（2）為2步可達區，一旦狀態落入該區域，在2步控制作用下將回到原點。

2步可達區及線性邊界如圖3所示。

圖3 2步可達區及線性邊界

式中：為濾波因子。

用()-()代替式（7）中的()，得到基于離散時間最優控制算法的跟蹤微分器算法

通過大量仿真分析發現，采用最優控制綜合函數式（12）構造的跟蹤微分器算法式（13）在輸入信號的噪聲強度變化時，式（13）系統得到的濾波與微分信號存在較大的相位滯后問題。為此，做出合理假設，認為跟蹤信號與微分信號僅僅產生了時間上的滯后，而幅值沒有變化，那么根據一元函數微分學可以得到1組近似的數學關系。假設輸入信號()經過跟蹤微分器算法后獲得了跟蹤信號(-Δ)以及微分信號(-Δ)，考慮到時間最優控制問題得到的加速度，從而有近似的一元微分關系

研究發現，當選擇1個恰當的數值Δ=·T ·時，可以改善相位與光滑性的矛盾，從而改進了韓氏跟蹤微分器，得到1個合適的微分信號。T 為離散采樣周期，為調整系數，根據具體的信號可以取1個適當值，從而在一定的范圍內獲得比較好的濾波與微分信號。最終得到的算法為

3 仿真及試驗測試

從時間域（即時域）和頻率域2個維度分析所設計的新型跟蹤微分器算法式（15）在給定信號下的跟蹤濾波與微分提取的性能，同時對磁懸浮軸承懸浮控制系統中位移傳感器所獲取的實時數據進行處理，分析其濾波與微分提取能力。

3.1 時域分析

所有仿真的系統狀態的初值都選擇為=(1),=0，系統采樣時間步長=0.001 s，系統的給定輸入信號為()=((),)，其中()為給定的基信號，函數用于添加相應強度高斯白噪聲，為隨機噪聲的強度。在航空發動機磁懸浮軸承中位移傳感器的噪聲強度為45～60 dB。當輸入信 號 為()=(sin(4π),50)或 為()=(sin(2π)+cos(2π),45）時，從時域的角度對比基于的跟蹤微分器算法與本文所提出的改進新型跟蹤微分器算法在不同給定輸入信號下的跟蹤濾波與微分提取性能。

當輸入信號為()=(sin(4π),50)時，2種算法的快速因子=1000，濾波因子=25，對于改進的新型跟蹤微分器算法的相位調整因子=37.5。跟蹤濾波與微分信號提取效果對比如圖4所示。

圖4 當輸入信號為vn(t)=awgn(sin(4πt),50)時，跟蹤濾波和微分信號提取效果對比

當輸入信號為（）=（sin（2π）+cos（2π）,45)時，2種算法的=1000，=50，=75。跟蹤濾波與微分信號提取對比效果如圖5所示。

圖5 當輸入信號為vn(t)=awgn(sin( 2πt)+cos(2πt),45)時，跟蹤濾波與微分信號提取效果對比

通過以上對比分析可知，針對給定的輸入信號2種算法都能夠給出相應的跟蹤濾波與微分信號。與基于的跟蹤微分器算法相比，本文提出的新型跟蹤微分器算法具備跟蹤更快速的動態特性，且相位滯后現象得到有效改善，相位滯后約減小80個采樣周期。

3.2 頻域分析

采用掃頻測試的方法繪制基于本文所設計的新型跟蹤微分器式（15）的Bode圖，利用Bode圖分析跟蹤微分器的頻域特性。頻域分析的目的是為了測試在理想狀態下跟蹤微分器的頻域特性，故這里輸入的正弦信號不摻雜隨機噪聲。因此，在仿真過程中取=1，考察選取不同快速因子對所設計的跟蹤微分器頻域特性的影響。其中=100、250、500、750，=0.001s。輸入信號為正弦信號()=sin(2π)，頻率的起始頻率為0.1 Hz，終止頻率為10 Hz，時間步長為0.5 Hz。對每個頻率點，運行20000個采樣時間，并記錄采樣區間[10000,15000]的數據。所設計的新型跟蹤微分器濾波和微分的幅頻和相頻曲線仿真測試結果如圖6所示。

圖6 在正弦輸入信號條件下新型跟蹤微分器濾波和微分的幅頻和相頻曲線

從圖6（a）中可見，所設計的新型跟蹤微分器的濾波幅頻特性由2條直線形成折線，當頻率低于轉折頻率時，幅頻特性是1條平行于橫軸的直線，縱坐標為0，即幅值沒有發生變化；當頻率高于轉折頻率時，頻域特性是1條在轉折頻率處穿越橫軸的直線，其斜率為-40 dB decade，即幅值呈現衰減態勢，而該跟蹤微分器的濾波相頻特性有如下特點：在轉折頻率之前隨著頻率的提高，相移變化緩慢；但在轉折頻率附近，相移突然增大，穿過-90°而接近-180°；對于不同的速度因子，其幅頻特性和相頻特性呈現完全一致的變化規律，只是對轉折頻率做了相應的平移，速度因子越大，則帶寬越大，即速度越快。分析圖6（a）可知，所設計的新型跟蹤微分器的濾波頻域特性的最大特點是其通帶內有較小的相移，而且不產生諧振，此外，該跟蹤微分器的高頻增益會隨著頻率的提高而減小，即有明顯的高頻噪聲抑制能力。因此，本文所提出的新型跟蹤微分器在通帶范圍內可以保證過渡時間較短、不出現超調、對信號進行實時濾波。

從圖6（b）中可見，當頻率低于轉折頻率時，幅頻特性是1條不衰減的直線，其斜率為20 dB decade；當頻率高于轉折頻率時，幅頻特性是1條衰減的直線。而該跟蹤微分器的相頻特性表現為：在截止頻率之前幾乎保持超前90°相角，當頻率接近轉折頻率時相移突然增大，穿過0°并很快接近-90°，此后一直保持在-90°附近。的變化對微分頻域特性的影響為：對于不同，其幅頻特性和相頻特性呈現完全一致的變化規律，只是對轉折頻率做了相應的平移，越大，則帶寬越大，即速度越快。上述分析結果表明，在通帶內，所設計的新型跟蹤微分器具有品質很好的微分特性，不僅能夠獲取微分信號，還可以濾除高頻噪聲，具有很好的工程應用價值。

所設計的新型跟蹤微分器的頻域分析結果表明，在通帶范圍內該跟蹤微分器的濾波特性類似于2階線性低通濾波器，且具有線性系統無法比擬的優點，即在通帶內有較小相移的同時不產生諧振現象，因此，跟蹤微分器是解決線性系統中超調與快速性之間矛盾的一種途徑。此外，所設計的新型跟蹤微分器的微分特性在通帶范圍內類似于純微分器，而優于純微分器的是該跟蹤微分器對高頻噪聲不敏感，且可以物理實現。

3.3 試驗數據分析

在磁懸浮軸承懸浮控制系統中，間隙信號濾波與速度信號獲取對實現磁懸浮軸承的穩定懸浮控制至關重要。針對電渦流位移傳感器采集信號，通過對比基于的跟蹤微分器算法與本文所設計的新型跟蹤微分器算法的處理效果，驗證本文所設計算法的有效性與優勢。

在如圖1所示的磁懸浮軸承懸浮控制系統中位移傳感器的采樣頻率為1000 Hz，系統穩定的懸浮間隙為8 mm，在試驗過程中允許穩定誤差為±0.5 mm。在測試過程中以磁懸浮軸承起浮階段為系統運行工況采集位移傳感器數據。系統狀態的初值都選擇為=(1),=0，=0.001s。2種算法的=3000，=15；改進后的新型跟蹤微分器算法的=20。位移傳感器信號跟蹤濾波和微分信號提取效果對比如圖7所示。

圖7 位移傳感器信號跟蹤濾波和微分信號提取效果對比

從圖中可見，磁懸浮軸承的懸浮間隙從12 mm起浮上升至穩定懸浮所對應的8 mm。對比基于的跟蹤微分器算法，本文所設計的新型跟蹤微分器算法能夠有效獲取濾波后的間隙信號與速度信號，且相位滯后現象得到有效抑制。

4 結論

（1）所提出的新型跟蹤微分器算法能夠快速獲取給定信號的跟蹤濾波與微分信號；

（2）相比于現有跟蹤微分器算法，新算法所獲取的信號在相位表現方面得到大幅度提升，平均相位滯后減小80～100個采樣周期；

（3）新算法為磁懸浮軸承傳感器信號處理問題提供了一種有效的方法和新思路，為研制航空發動機磁懸浮軸承技術提供了良好的技術保障。

接下來的工作包括但不限于：分析新型跟蹤微分器算法的收斂性，為實際工程應用提供理論保證；分析新型跟蹤微分器算法在跟蹤濾波與微分信號提取方面的精度，為進一步改進算法提供新的思路；基于所引入的相位調整因子，設計相應的自適應率，使得所設計的算法能夠隨著傳感器信號的改變而自動調整相關參數，或者對給定信號通過插值或擬合等平滑處理后進行微分信號提取，以期滿足實際系統對信號處理在光滑度和相位等方面的性能需求。