疊加法在繪制彎矩圖中的應(yīng)用

◇四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程系 王妍

土木工程專業(yè)設(shè)置的力學(xué)課程都是專業(yè)基礎(chǔ)課，該課程在整個(gè)課程體系中處于承上啟下的作用。本課程中講解的彎曲變形是四種基本變形之一也是工程中最常見的一種變形。平面彎曲的內(nèi)力是彎矩和剪力，內(nèi)力對(duì)桿件的材料選擇起決定性的作用，因而繪制出正確的彎矩圖和剪力圖尤為重要。常見的繪制彎矩圖的方法有方程法、規(guī)律法和疊加法，其中利用疊加法是一種實(shí)用、快捷的方法，在力學(xué)計(jì)算中被廣泛采用。本文主要討論利用疊加法如何繪制桿系結(jié)構(gòu)的彎矩圖，概述了疊加法繪制內(nèi)力圖的適用條件及其原理、疊加法繪制彎矩圖的做題步驟及做題過程中需要注意的事項(xiàng)，并解釋了如何求解彎矩圖中的極值問題。

土木工程專業(yè)設(shè)置的力學(xué)課程都是專業(yè)基礎(chǔ)課，這類課程既與工程實(shí)踐有緊密的聯(lián)系，又為后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，具有不可替代的作用。力學(xué)課程中一個(gè)重要內(nèi)容就是求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。對(duì)于桿式構(gòu)件來說，受彎構(gòu)件較多，其中彎矩是重要的內(nèi)力，彎矩圖能直觀地反應(yīng)內(nèi)力的變化規(guī)律，對(duì)構(gòu)件的材料選擇起決定性的作用，因而彎矩圖的正確繪制也顯得尤為重要。一般教材中介紹繪制靜定梁內(nèi)力圖的方法有內(nèi)力方程法,規(guī)律法,疊加法等[1]。有些材料力學(xué)教材中疊加法的講述并不系統(tǒng)，但是到了結(jié)構(gòu)力學(xué)的學(xué)習(xí)中會(huì)直接使用疊加法繪制彎矩圖。這樣就會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生很多疑惑，甚至覺得這種方法使用麻煩。現(xiàn)結(jié)合自己對(duì)材料力學(xué)課程的理解，將疊加法繪制彎矩圖的適用條件及其原理、做題步驟以及做題過程中需要注意的事項(xiàng)進(jìn)行詳細(xì)的講解，使學(xué)生全面了解和掌握疊加法繪制彎矩圖,可大大提高作彎矩圖的速度和正確性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)力學(xué)的興趣和提高教學(xué)效果。

1 疊加法適用條件

在小變形、材料服從胡克定律的情況下，多個(gè)荷載作用在結(jié)構(gòu)上所產(chǎn)生的效應(yīng)（變形、內(nèi)力、支座反力）等于每個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的效應(yīng)的疊加，這就是疊加原理[1]。同時(shí)疊加原理要求變形固體是均勻的、連續(xù)的、各向同性的前提下才成立的。疊加法繪制彎矩圖就是基于疊加原理。即認(rèn)為多個(gè)荷載作用在結(jié)構(gòu)上時(shí)，結(jié)構(gòu)的彎矩圖等于該結(jié)構(gòu)在單個(gè)荷載作用下彎矩圖的疊加。此處的疊加并不是將單個(gè)荷載作用下的彎矩圖進(jìn)行拼湊起來，而是將對(duì)應(yīng)截面上的彎矩值進(jìn)行代數(shù)求和。對(duì)于任意直桿段，不論其內(nèi)力是靜定的還是超靜定的；不論是等截面桿或是變截面桿；不論該桿段內(nèi)各相鄰截面間是連續(xù)的、定向聯(lián)結(jié)的、還是鉸聯(lián)結(jié)的，彎矩疊加法均適用。

2 疊加法繪制彎矩圖具體步驟

疊加法繪制彎矩圖根據(jù)結(jié)構(gòu)的受力情況可以分成兩種情況[2]：①整體疊加；②區(qū)段疊加。

2.1 整體疊加

例如繪制簡(jiǎn)支梁AB在滿跨均布荷載和力偶作用下的彎矩圖。根據(jù)疊加原理可以理解為原結(jié)構(gòu)分為在力偶和均布荷載分別作用下的疊加，如下圖所示。

圖1 荷載分解過程圖

因此，（a）圖的彎矩圖等于（b）圖與（c）圖彎矩圖的疊加，也就是只需繪制出單跨靜定梁AB在每個(gè)荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖，然后再將對(duì)應(yīng)截面上的彎矩值進(jìn)行代數(shù)求和后，得到（a）圖的彎矩圖。將（b）圖彎矩圖記為，（c）圖彎矩圖記為。圖與圖如下圖所示。

圖2 單一荷載作用下簡(jiǎn)支梁彎矩圖

圖3 整體疊加彎矩圖

通過這個(gè)例題可以看出，對(duì)于結(jié)構(gòu)上的荷載比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們利用疊加法繪制彎矩圖時(shí)，可以先繪制出其中一種荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖，然后在此彎矩圖的基礎(chǔ)上疊加另外一種荷載的彎矩圖。這時(shí)需要注意的是疊加過程是將每個(gè)單一荷載作用時(shí)彎矩圖中相應(yīng)的縱坐標(biāo)進(jìn)行代數(shù)求和。即兩個(gè)彎矩圖的疊加并不是兩個(gè)圖形的簡(jiǎn)單拼和，而是指將兩圖中對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相疊加，同側(cè)的縱坐標(biāo)相加，異側(cè)的縱坐標(biāo)相減。當(dāng)縱坐標(biāo)正負(fù)號(hào)不同時(shí)，疊加后圖形重疊部分表示兩個(gè)縱坐標(biāo)值互相抵消，不重疊部分即為所求的彎矩圖。為了方便描述，將結(jié)構(gòu)上的荷載分為兩類，一類稱為“優(yōu)先荷載”：繪制出的彎矩圖某區(qū)段是直線圖形的荷載，這是因?yàn)橐讼茸髦本€形的彎矩圖，再以直線邊為基線疊加曲線形或折線形的彎矩圖；另一類稱為“疊加荷載”：某區(qū)段的均布荷載或者集中力。因此，利用疊加法繪制彎矩圖的作圖步驟為：

（1）荷載分類，判斷“優(yōu)先荷載”和“疊加荷載”。

（2）作“優(yōu)先荷載”單獨(dú)作用下的彎矩圖。

（3）疊加：若“疊加荷載”為均布荷載，則均布荷載作用區(qū)段的中間處沿均布荷載方向疊加確定出第三點(diǎn)；若“疊加荷載”為集中力荷載，則在集中力作用處沿集中力方向疊加確定出第三點(diǎn)。

（4）根據(jù)繪圖規(guī)律將控制截面上的彎矩值用相應(yīng)的線連起來，即為最終的彎矩圖。

2.2 區(qū)段疊加

區(qū)段疊加也可稱為分段疊加，即在結(jié)構(gòu)中某個(gè)區(qū)段內(nèi)可以利用疊加法繪制彎矩圖，此種方法也是利用疊加原理分析結(jié)構(gòu)受力的一種便捷方法，能夠?qū)?fù)雜的問題分解為若干簡(jiǎn)單問題，降低計(jì)算分析工作量。區(qū)段疊加法適用于任意直梁段，該梁段的桿端彎矩可求、梁上荷載已知。比如下面的求簡(jiǎn)支梁在下列荷載作用的彎矩圖。

該梁段AD段和DB都可以利用區(qū)段疊加繪制彎矩圖，取DB段為例來介紹彎矩圖的繪制。設(shè)D截面彎矩為，B截面彎矩為。先求出該結(jié)構(gòu)的支座反力：。利用截面法將DB段從整個(gè)結(jié)構(gòu)中取出后進(jìn)行受力分析，假設(shè)B、D截面上所有內(nèi)力均為正方向，受力分析如下圖所示。

通過觀察可以看出，圖5的受力分析與圖6（b）的受力分析一樣，即表示圖6（b）的內(nèi)力圖與圖5的內(nèi)力圖完全一致。圖6的內(nèi)力圖即可利用前面介紹的整體疊加法繪制出來。根據(jù)整體疊加法繪圖步驟可知，要想繪制出DB段彎矩圖，需要利用前面求出的，再按照前面的步驟完成疊加過程即可。

圖5 DB區(qū)段受力分析

圖6 與DB區(qū)段對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)支梁

因此區(qū)段疊加繪制彎矩圖的作圖過程可以歸納為以下幾個(gè)步驟：

（1）確定區(qū)段疊加段。區(qū)分結(jié)構(gòu)中哪一區(qū)段可以利用疊加法繪制彎矩圖，結(jié)構(gòu)中某區(qū)段內(nèi)有均布荷載作用或某區(qū)段內(nèi)有一集中力作用，例如圖4中A右到D截面區(qū)段、DB區(qū)段可以利用區(qū)段疊加法。

圖4 在多個(gè)荷載作用的簡(jiǎn)支梁

（2）求控制截面彎矩[3]。結(jié)構(gòu)中荷載作用處及荷載發(fā)生變化處為控制截面，此時(shí)需要求的控制截面彎矩不包括各均布荷載段跨中及集中力作用截面處的彎矩值。

（3）分段畫彎矩圖。當(dāng)控制截面間無(wú)荷載時(shí)，根據(jù)控制截面的彎矩值，即可作出直線彎矩圖。當(dāng)控制截面間有荷載作用時(shí)，根據(jù)控制截面的彎矩值作出直線彎矩圖形后，還應(yīng)疊加這一段按簡(jiǎn)支梁求得的彎矩圖。

2.3 疊加法繪制彎矩注意事項(xiàng)

（1）滿足胡克定律、小變形條件。

（2）先繪制直線圖形再疊加簡(jiǎn)支梁求得彎矩圖；先繪制出的彎矩圖的直線作為輔助線，應(yīng)用虛線表示。

（3）疊加的方向應(yīng)與“疊加荷載”作用的方向一致。

3 關(guān)于彎矩圖中的極值問題

疊加法繪制彎矩圖也是需要借助規(guī)律法來完成最終的彎矩圖。但是當(dāng)梁在復(fù)雜受力狀況下，利用疊加法繪制彎矩圖可以使繪制彎矩圖變得求解便易，節(jié)約計(jì)算工作量，提高作圖效率。求解出彎矩圖后，剪力圖和軸力圖的問題也就隨之解決了[4]。但疊加法做彎矩圖也有不足的地方，不能直接計(jì)算出彎矩極值(在極值存在情況下)。由于未能判斷出此段彎矩是否存在極值，在連接兩端點(diǎn)及中點(diǎn)繪出的彎矩圖時(shí)，具有很大的隨意性、盲目性情況存在，導(dǎo)致彎矩圖出現(xiàn)不夠準(zhǔn)確[6]。如果確實(shí)需要求出極值的話，可以利用彎矩圖先求出剪力圖，然后再借助剪力圖，確定彎矩圖是否存在極值。若存在極值，可以根據(jù)剪力圖確定出極值所在的截面，然后再利用截面法求得該截面上的彎矩值，即為該曲線的極值。

4 結(jié)束語(yǔ)

疊加法是力學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方法，利用其基本理念和分析方法來解決問題，可以將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，同時(shí)還能培養(yǎng)我們深入分析問題繼而用更合適的方法來解決問題的能力，這種方法不僅僅用在繪制彎矩圖中，而且在求支座反力、變形、應(yīng)力和應(yīng)變等問題中都可以利用疊加法[5]，甚至在我們的工作中也可以利用疊加的原理思考問題。若要靈活運(yùn)用疊加法作結(jié)構(gòu)彎矩圖就要熟練掌握有關(guān)力學(xué)概念和適當(dāng)?shù)亩ㄐ苑治龇椒ǎ嘧龆嗑殻_(dá)到融會(huì)貫通。