基于GeoGebra的中職數學教學可視化設計
——以《函數》章節為例

◇宿遷職業技術學院 王榮亮

針對中職數學函數教學存在的概念抽象等問題，本文提出基于GeoGebra的中職數學《函數》全過程可視化設計。首先提出函數可視化設計的五個原則，其次總結函數教學的具體內容和教學設計的思路，最后分別對“函數的概念”、“函數的表示方法”、“函數的性質”和“函數知識應用”四個模塊進行可視化設計。

函數是中職數學重要內容之一，函數基礎知識在數學和其它學科中都有著廣泛的應用，也與后續內容，如代數式、方程、不等式、導數等有著密切關系。函數也是中職數學的主體內容，起著承上啟下的作用，是初等數學和高等數學的紐帶。在初中階段，主要是通過運動變化的觀點對函數進行定義，雖然直觀，但是未能真正揭示函數的本質。同時，中職學生基礎相對薄弱，自主學習能力不強以及函數內容本身的抽象、綜合和應用性強等特點給中職函數教學帶來了極大的難度。

顯而易見的是，數學可視化教學有利于知識呈現、學生接受和師生互動。楊海麗[1]指出可視化方式主要有文本表格、圖式和視頻等；廖彩云[2]將可視化工具分為外在表征工具和心理表征工具，其中心理表征工具包括背景、故事、模擬實驗等通用工具和數學史、數學實驗等專門工具；司業佳[3]借助GeoGebra構造了輔助函數教學三個案例，有助于學生概念理解。周后卿、徐幼專[4]將MATLAB引入復變函數教學，通過大量的代碼，實現了復變函數可視化教學，促進學生對知識的深入理解；李昌志等人[5]運用MATLAB和幾何畫板構建了函數和幾何兩個模塊的教學案例，提升課堂趣味性，引起學生的興趣，提高課堂效率；努爾色曼·買買提[6]編寫了相對應代碼，展示了MATLAB在函數及其極限中的應用；高芹[7]將GeoGebra貫徹在備課設計、課上設計和測試反饋三個環節，對中職課堂教學優化顯著；王潔丹[8]利用GeoGebra對數學概念教學進行深化設計；張茜[9]將MATLAB應用到高等數學原理探究、數值計算和數學三大模塊，提升了學生學習效果；袁蘭蘭[10]利用GeoGebra進行數學問題、數學猜想和數學概念可視化設計，更利于學生理解概念，實現知識遷移。韋美成[11]指出GeoGebra具有功能齊全、操作方便、動態交互、易安裝、網上直接使用等優點，也開展了數學教學探究，顯著提高了學生的及格率、優秀率。

可見，MATLAB輔助數學教學可視化對編程要求較高，而GeoGebra具有交互性能，更易于操作。同時，以往的教學可視化主要是集中某個模塊或某個知識點，這樣會割裂知識結構間的邏輯關系和內在聯系，不利于教學的連貫性。本文基于GeoGebra對中職數學《函數》[12]章節進行可視化設計，將GeoGebra融入《函數》章節教學全過程，保持可視化的連貫性。

1 設計原則

1.1 直觀性

由于函數內容本身所具有的抽象特點，以及中職學生抽象思維水平的不足，本章節的教學可視化設計應該堅持“直觀領路、抽象跟進”的原則，即在概念或者原理講解之前，應首先通過文字、圖片等形式向學生呈現相關實例，并對實例進行探究，然后引導學生歸納出所授的概念或原理，進入抽象層面的表述和研究。

1.2 主體性

在教學可視化設計過程中要突出學生主體性的原則。興趣是學習最好的動力，影響學生獲得正常學習成就的最主要原因就是學生對所學知識沒有興趣。突出學生主體性，就是在教學可視化設計過程中讓學生參與教學，與學生產生互動，將課堂交還學生，營造一個學生主動參與、獨立思考的環境，培養學生學習知識的興趣。

1.3 探究性

為了鼓勵學生參與教學過程，就得堅持探究性原則。探究性原則就是根據所教內容，選擇符合中職學生特點的案例，站在整體和全局的高度進行有意識的設計局部探究，逐步推進，讓學生完整的經歷數學學科探究全過程。

1.4 漸進性

對函數概念的理解、性質的學習是不斷漸進的過程。要充分認識《函數》章節只是一個起點，后續冪函數、指數函數以及對數函數等會進一步幫助學生理解本章出現的概念和性質。在教學可視化設計過程中，要充分考慮到知識學習是漸進的過程，不能脫離知識認知規律，超出學生當前的學習能力。

1.5 可操作性

可操作性原則是保證設計的案例能被教師移植、學生參與的一個重要原則。在教學可視化設計過程中，要在保證邏輯性和正確性的基礎上，充分考慮案例是否能被其他教師所用，是否易于學生接受并參與操作。

2 課程內容與思路

《函數》章節的主要內容包括函數的概念、函數的表示方法、函數的單調性、函數的奇偶性和函數的實際應用等。每個章節的可視化設計的具體思路如圖1所示。

圖1 課程內容和設計思路

3 案例可視化設計

《函數》章節可視化設計主要包括“函數的概念”、“函數的表示方法”、“函數的性質”和“函數知識應用”等四個教學模塊。其中，可視化設計主界面如圖1所示。通過主界面點擊對應的按鈕，然后進入對應的教學模塊，每個教學模塊都設置“返回主界面”按鈕，通過“返回主界面”按鈕返回主界面。

下面以函數的概念和函數的性質（奇偶性）兩個教學模塊為例，介紹下GeoGebra輔助函數教學應用效果。

圖2 可視化設計主界面

3.1 “函數的概念”教學模塊設計

“函數的概念”教學模塊主要包括三個案例和函數概念及概念對比等部分，如圖3所示。案例1通過某城市一天的氣溫變化圖和三個問題引導學生觀察隨時間的變化，氣溫也發生變化，且每個時間點都有與之相對應的溫度，形成氣溫與時間之間的函數關系。案例2以“秋天的奶茶”為生活背景，引導學生在表格區輸入購買的數量，在界面中顯示購買的數量和對應的報價，函數圖象也增添對應的點，從而將生活中直觀或具體的關系抽象為函數關系。

圖3 “函數的概念”教學模塊設計

通過案例1和案例2，幫助學生回顧在中學時代函數的定義—“如果在一個變化的過程中有兩個變量x,y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一確定的值與它對應，那么我們就稱y是x的函數”。

以狄利克雷函數作為案例3，指出中學階段函數的定義很難描述這個函數，從而引出用集合語言描述的函數概念—“設A是一個非空集合，如果對于集合A內的任意一個數x，按照某個確定的法則f，有唯一確定的數y與之對應，那么這種對應法則f就稱為集合A上的函數”。

3.2 “函數的性質”教學模塊設計

“函數的性質”教學模塊包括函數的單調性和奇偶性兩個部分，以奇偶性為例介紹GeoGebr輔助函數的性質教學。

（1）函數的奇偶性。

通過點擊“下一張圖片”按鈕，展示圖4(a)、圖4(b)兩張圖片，幫助學生回憶中學階段學習的軸對稱圖象和中心對稱圖形。然后再點擊“問題探究”按鈕，探究圖4(c)中所示函數的對稱性，總結出函數圖象對稱軸為y軸。然后拖拽圖象上的G1點，觀察關于y軸對稱點G4，探究這兩個點坐標之間的關系。在探究基礎上，點擊“偶函數”按鈕，如圖4(d)所示，首先總結探究發現的規律，再給出偶函數的定義。

在奇函數教學過程中，首先點擊“問題探究”，如圖4(e)所示，引導學生觀察函數圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點。然后拖拽函數圖象上的H1點，觀察H1關于原點中心對稱的點H2，探究這兩個點坐標之間的關系。通關“旋轉演示”按鈕，控制旋轉角度，當旋轉角度為180°時，兩個函數圖象重合。在探究基礎上，點擊“奇函數”按鈕，如圖4(f)所示，首先總結探究發現的規律，再給出奇函數的定義。

教學帶了極大的挑戰。本文針對制約中職數學函數教學的因素，設計了基于GeoGebra函數教學可視化，通過案例探究、背景創設等環節，讓學生也能輕松使用開發的案例，使得學生全過程參與數學學科的探究，直觀的呈現函數教學過程中的概念、性質等內容，實現知識的遷移。