邂逅韋達定理

文／萬廣磊

法國數學家韋達（F.Vieta，1540—1603）第一次有意識地使用系統的代數字母與符號，以輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推進了方程論的發展，使代數成為一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應用更為廣泛，被稱為“代數符號之父”。

在研究一元二次方程的解法時，他發現了一元二次方程的根與系數之間存在的特殊關系，也就是我們學習的“韋達定理”。有趣的是，韋達在16 世紀就發現了這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻在1799 年才由高斯作出第一個實質性的論證。

韋達定理

已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數，a≠0）的兩個實數根分別為x1、x2，那么

下面我們用兩種方法證明。

證法一：

∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數，a≠0）的兩個實數根分別為x1、x2，

證法二：

關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數，a≠0）有兩個實數根分別為x1、x2，

將等式的左邊進行因式分解，得

進一步化簡等式右邊，得

對比等式兩邊，可得

同學們，你還有其他的證明方法嗎？請大膽挑戰一下，寫下來。