峰回路“轉”，千變萬“化”
——從解一元二次方程說開去

文／濮 磊

一元二次方程是繼一元一次方程、二（三）元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程后，又一個常見的方程類型。如果說二（三）元一次方程組可以看成是一元一次方程在“元”上的推廣，那么一元二次方程則是一元一次方程在“次”上的推廣。解一元二次方程的基本策略是降次，即通過配方、因式分解等，將一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。

隨手翻開教材，摘抄一些熟悉的一元二次方程如下：

（1）x2=3；（2）（x+1）2=3；（3）x2+2x-2=0；（4）2x2-3x-4=0……

那么，當我們把它們放在一起的時候，你能看出它們之間的聯系嗎？原來，把方程（2）中的x+1看成x就變成了方程（1）；方程（3）雖然是一般形式，但移項、配方后，竟然就是方程（2）；方程（4）看起來系數不為1，但我們運用等式的性質，將方程兩邊同時除以2，然后再移項、配方，總可以變成方程（3）的形式……

大家一定感受到了這一點：方程（4）可以依次轉化成（3）（2）（1）的形式，也就是說，會解方程（1），就等于會了“所有”，因為我們可以轉化。

而我們又是怎樣看方程（1）的呢？可以根據平方根的定義，直接開平方后轉化為一次方程；也可以移項，得x2-3=0，于是，這樣一元二次方程也轉化成兩個一元一次方程，即，方程的解顯而易見。原來又是轉化。

暢想一下，你能借助轉化思想解決哪些更復雜的方程呢？

例1解方程：（1）x3-9x=0；（2）（x2-x）2-8（x2-x）+12=0。

（1）是一個三次方程，沒見過吧？不過，一定難不倒聰明的你。想到“轉化”，可以設法降次。對于方程（2），如果展開，那該變成4 次了。能不能不展開？觀察一下方程的特點，能借助解二次方程的方法來解決嗎？

解：（1）x3-9x=0。

x（x2-9）=0。

x（x+3）（x-3）=0。

x=0或x+3=0或x-3=0。

解得x1=0，x2=-3，x3=3。

（2）令m=x2-x，則原方程可寫為m2-8m+12=0。

所以（m-2）（m-6）=0，解得m1=2，m2=6。

當m1=2 時，x2-x=2，所以（x-2）（x+1）=0，解得x1=2，x2=-1；

當m2=6 時，x2-x=6，所以（x-3）（x+2）=0，解得x3=3，x4=-2。

綜上，方程的解為

x1=2，x2=-1，x3=3，x4=-2。

原來，“三次”也可以通過因式分解轉化到“一次”。把（2）中的x2-x看成一個整體，最大的妙處在于降低了原方程的次數，這是很重要的轉化方法。解決了上述問題，請試試解分式方程（）-6=0 吧。你一定能行！

轉化要注意一些什么呢？

例2解方程：

我們會解上述的一些高次方程，但是遇到根號就要格外小心。根號下含有未知數的方程叫作無理方程。相信大家一看見它的樣子，就聯想到可以將方程兩邊平方轉化為2x+3=x2的形式。但是，這又會帶來什么“隱患”呢？請大家小心“操作”，認真“思考”哦。

解：兩邊平方，得2x+3=x2。

所以（x-3）（x+1）=0，解得x1=3，x2=-1。

檢驗：x=-1是增根，舍去。

所以x=3是原方程得解。

原來，無理方程可以通過平方等方法轉化成我們熟悉的有理方程。但是，要注意增根的產生。例如上面的平方，可不是同解變換。細心的同學們一定發現了，例1 最后的練習，我們如果把當成一個整體，會出現分式方程，同樣需要檢驗。

最后，再讓我們換個視角看問題。

例3解方程

這是一個高次方程，我們未學過其解法，難以求解。如果我們換一個角度（“已知”和“未知”互換），即將看作“未知數”，而將x看成“已知數”，則原方程可整理成

理解了上述問題，請試試解方程：

綜上所述，方程的解為

轉化在數學解題中無處不在，說到底，轉化就是生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗，同學們試著感悟轉化的奧妙吧。