看山不是山，看山還是山
——談一元二次方程的學習

文／徐 峰

一、學習一元二次方程的必要性

方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。我們已經學習了一元一次方程、二元一次方程（組）、可化為一元一次方程的分式方程等知識，感受了方程模型的作用和價值，也積累了一些利用方程解決實際問題的經驗。一元二次方程實際上是以前學過的方程知識的延續和深化。下面，我們通過具體例子來感受一下一元二次方程與之前學習的方程的聯系及區別。

例1如圖，矩形花圃一面靠墻，另外三面由柵欄圍成。

（1）若柵欄總長度為19m，長比寬多4m，求圍成的矩形面積。

（2）若圍成的矩形長比寬多4m，面積為45m2，求柵欄總長度。

（3）若圍成的矩形面積為45m2，柵欄總長度為19m，求長比寬多多少。

【分析】很顯然，這三個問題圍繞“柵欄總長度、矩形的面積及長與寬的關系”三者設置，典型的“知2求1”問題。對于問題（1），可以直接列出算式，得寬為（19-4）÷3=5，從而面積為5×（5+4）=45；還可以設AB=x，則BC=x+4，可列方程2x+（x+4）=19，解得x=5，再得出面積。從解決問題的過程來看，可以列算式解決，也可以用一元一次方程解決。這里再一次感受“能用一元一次方程解決的問題都可以用列算式的方法解決”，而用方程來解決問題顯得更簡潔明了，那是因為未知數參與了運算。

對于問題（2），設寬AB=x，則BC=x+4，可列方程x（x+4）=45。對于這個不熟悉的方程暫且可不解，但借助因式分解的知識，大多數同學可以得到x=5 或x=-9（舍去）。

對于問題（3），設AB=x，接下來有兩種方法解決。

方法1：由柵欄總長度為19，可表示出BC=19-2x，可得方程x（19-2x）=45。

方法2：由面積為45，可表示出BC=，可得方程2x+=19。

這兩個方程暫且都不求解。

【點評】上述三個問題都是基于長與寬的關系、柵欄總長度、面積三者而設置，符合人們對實際問題的認知規律。三個問題的解決過程，都是利用前面學習的用方程解決問題的基本經驗，即：

問題（1）列出的是一元一次方程，而問題（2）、問題（3）列出來的是一元二次方程或可化為一元二次方程的分式方程。雖然列出的方程不熟悉，但在解決問題過程中借鑒了已有的解決問題的經驗，體現了數學知識與方法的一脈相承。

二、一元二次方程的解法

問題（2）和問題（3）中分別出現了一元二次方程x（x+4）=45 和x（19-2x）=45，可分別將其化為一般式，得x2+4x-45=0 和-2x2+19x-45=0，如何解這類方程呢？我們必須學習一元二次方程的4種主要解法：直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法。對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0），究竟選擇哪種解法更合適呢？

①b=0 時，宜用直接開平方法；②c=0 時，宜用因式分解法，其本質是降次；為偶數時，可選用配方法，也可用公式法；④公式法為通用方法，可解任何一元二次方程。我們可結合系數特征選用合適的解法，如x2+4x-45=0 既可用配方法，也可用公式法，還可以用因式分解法。同學們可以自己先嘗試用不同的解法來感受，再試一試-2x2+19x-45=0的不同解法。

三、根的判別式及根與系數的關系

由于一元二次方程的求根公式是用方程的系數a、b、c來表達的，即x1=，所以根與系數有天然的聯系。

在探索含x1、x2的代數式與系數關系時，應該有無數種可能的情況，如x1+x2，2x1+x2，x1+2x2，x12+x2，x1+x22，x1x2，……那么為什么偏偏只研究x1+x2和x1x2呢？究其原因，是由于求根公式中x1、x2互為有理化因式，而兩數和與兩數積的形式，也是我們七年級學習乘法公式時頻繁遇見的老面孔，即a+b、a-b、ab以及a2-b2的“知2求2”問題。

綜上，在無數個含x1、x2的代數式中，x1+x2=-這兩個式子不僅結果簡潔明了，還兼有承上啟下之功，是數學之美的一種體現。

當然，我們還可以借助方程的根的定義去理解根與系數的關系。

設方程ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0）的兩根為x1、x2，則方程可化為a（xx1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0。對比系數，得-a（x1+x2）=b，ax1x2=c，即x1+。特別地，當a=1 時，x1+x2=-b，x1x2=c。

例2關于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數根。

（1）求m的取值范圍；

（2）若x1、x2是x2+2x+2m=0 的兩個根，且x12+x22=8，求m的值。

【分析】（1）由判別式大于0，即可解決問題。

（2）由根與系數的關系及完全平方公式變形代入即可。

解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數根，

∴b2-4ac＞0，即4-8m＞0，

故m的取值范圍為。

（2）由根與系數關系，得

四、一元二次方程的應用

數學學習是為解決實際問題服務的。從本章內容來看，也是基于這一目的展開的。我們經歷了建立模型、學習概念、探究原理、知識應用這一完整的學習過程，這既是知識發生發展的過程，也是我們探究新知的一般思路。分析問題、解決問題的策略在學習一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程時已充分熟知了。因此，用一元二次方程解決實際問題，其本質還是用未知量參與運算，是用方程解決問題的又一特例而已。

在本章中，我們應充分感受到一元一次方程與一元二次方程的形成區別：一次方程為含未知數的一次項加一次項，可表達為A+B=C的形式；二次方程為含未知數的一次項乘一次項，可表達為A×B=C的形式。理解了這一點，本章中常見的平均增長率、每……每、利潤、形積等問題的解決也就不難了。