立足結構識概念掌握模型會應用

文／諸士金

現實生活中，許多問題中的數量關系可以抽象為方程或不等式。我們在學習一元二次方程之前已經學習了一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程組以及分式方程、不等式等知識。類比前面知識的學習，我們可以認識到，從實際問題中抽象出數量關系，列出一元二次方程，求出它的解并解決實際問題是本章學習的主線。因此，在學習中，我們需要從方程的建立出發，識別方程的結構特征，并能結合這樣的結構特征進行方程的同解變形來求解，再基于此形成解決實際問題的一般模型。在這個過程中，我們可以進一步認識數學三大思想，即抽象思想、推理思想和模型思想，也能進一步培養我們的推理能力、運算能力和建模能力，發展我們的應用意識。

一、關注一元二次方程的概念學習，學會搭建從數學外到數學內的橋梁

在一元二次方程概念的學習中，我們要緊密聯系實際，借助豐富的實例來感受一元二次方程學習的必要性，展現一元二次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。與前面學習的方程類似，我們需要從實際生活中理解數量的意義，并借助數量的意義建立數量關系，借助符號和字母表示出這些數量關系，形成具有同一未知量的二次關系。

例1如何用方程描述下面情境中數量之間的關系？

（1）正方形桌面的面積是2m2。設該正方形桌面的邊長是xm。

（2）如圖1，矩形花園一面靠墻，另外三面所圍柵欄的總長度是19m，花園的總面積是24m2。設花園靠墻部分的長度是xm。

圖1

（3）某校圖書館藏書在兩年內從5 萬冊增加到9.8 萬冊。設圖書館的藏書平均每年的增長百分率是x。

（4）如圖2，長5m 的梯子斜靠在墻上，梯子底端與墻的距離比梯子頂端與地面的距離多1m。設梯子底端與墻的距離是xm。

圖2

同學們可以通過這一組問題，理解這些問題中數量之間的意義，并建立方程：

（1）x2=2，

（2）x（）=24，

（3）5（1+x）2=9.8，

（4）x2+（x-1）2=25。

在建立的方程中，我們能感受到這些方程的結構共性——“二次”，進一步認識到這些“二次”的共性特征可以反映到ax2+bx+c=0（a≠0）這一結構上。這就是一元二次方程的一般形式，也搭建了實際問題中數量之間二次關系的橋梁。

這部分知識的學習，一方面需要同學們打牢整式概念的基礎，要能夠對不同結構的整式進行化簡整理，準確分析出其本質；另一方面，從數學外到數學內的橋梁，不是從一元二次方程才開始的，更不會到此就結束，我們構建函數模型也需要這樣從數學外看到數學內的眼光。

二、關注一元二次方程的解法學習，學會關聯從數學內到數學內的算理

在學習一元二次方程的解法前，同學們已經學習了一元一次方程的解法，知道可以利用運算律、等式的基本性質，通過去分母、去括號、移項、合并同類項等變形得到方程的解；對于三元一次方程組、二元一次方程組，我們可以通過消元等將三元一次方程組、二元一次方程組轉化為一元一次方程，這里的算理就是“轉化”思想。知識內部之間的關系讓我們能夠轉新為故，也讓我們能夠采用從特殊到一般、從具體到抽象的方法來研究新的方程如何解決。

對于一元二次方程的解法學習，我們可以從x2=a、（x+m）2=n的結構來分析如何轉化。在注意到“降次”是我們轉化的目的之后，可歸納得到直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法四種方法，以及掌握這些方法之間的內在聯系，通過適度的練習加深理解，尋求方程解法的優化。

例2（1）如何解一元二次方程呢？請你寫出幾個一元二次方程，并嘗試解一解。

（2）如何探索方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）的解法呢？寫出你的想法。

這里我們以例2的兩個問題作為參考來探索一元二次方程解法的一般路徑，明確解決問題的方法，積累解方程的活動經驗。同學們可以類比前面方程解法的學習，從特殊形式入手進行思考，比如：如何解方程ax2+c=0（a≠0）呢？可以舉具體的例子，如：x2-1=0，2x2-1=0，x2+1=0。通過這些例子歸納出將一元二次方程轉化為一元一次方程的主要方法，即因式分解法和直接開平方法。利用這兩種方法可以將ax2+c=0（a≠0）降次，轉化為一元一次方程；在解決這組問題時還會發現方程無實數解的情形，進而討論得到當-時方程有兩個實數解的一般結論。例2 雖然能讓我們感受到用直接開平方法和因式分解法來進行降次，但為了更好地幫助我們理解因式分解法可以降次得到一元一次方程，我們不妨再看下面的例3。

例3（1）如何解方程ax2+bx=0（a≠0）？

（2）如何解方程x2-2x=0？

（3）如何解方程2x2+x=0？

我們借助類似例2 這樣的例子，發現在解方程的過程中，一些方程獨特的結構特征可以利用因式分解進行降次。當然這里需要對結構變形，形成（x+a）（x+b）=0的形式。

在解法的探究學習中，立足方程的結構，關注方程根的情況與系數關系，根與系數的關系的研究看似是我們解方程中的一個“節外生枝”，其實是探尋解法中的必然研究。同時，也是為我們今后繼續學習一元二次方程的應用以及二次函數做好準備。

三、關注一元二次方程的應用學習，學會建構從數學內到數學外的模型

用一元二次方程解決實際問題的學習是用方程解決實際問題的重點，也是難點。與用一元一次方程解決實際問題、用二元一次方程組解決實際問題等類似，我們要學會在掌握基本數量關系的基礎上對復雜情境進行分析，梳理出其中的“二次”關系，得到對應的方程模型。在這一過程中，我們可以借助表格、線段示意圖等工具找出問題中的已知量、未知量，分析其中數量之間的聯系，體現“算兩次”的思想，找到關鍵詞并由此確定等量關系。我們要形成良好的思維習慣，培養直觀分析題意的能力，對于實際問題要形成檢驗、解釋合理性的意識，理解所得方程及其根的實際意義等。

總之，一元二次方程是初中重要的數學模型之一，有豐富的實際背景。在學習中，我們要通過豐富的情境來培養建立一元二次方程模型解決實際問題的能力；要體會數學與現實世界的聯系，發展應用意識；要重視與之相關的知識聯系，建立合理的邏輯關聯，突出解方程的基本策略，在學習概念、解法和應用的過程中發展發現和提出問題、分析和解決問題的能力。