基于ARIMA-TR 模型的世界馬鈴薯單產潛力分析

蔡承智 張 林

馬鈴薯單產潛力一直是農學界關注的重點和熱點之一。例如：賈立國等（2015）預測得出，內蒙古陰山北麓地區馬鈴薯的光合生產潛力為82503kg/ha，光溫生產潛力為65620 kg/ha，平均降水生產潛力為47 898 kg/ha；Haverkort A.J 等基于生產函數模型研究了荷蘭馬鈴薯單產潛力及其受氣候變化的影響；Svubure O 等運用LINTUL-POTATO 模型研究了津巴布韋不同農業生態區馬鈴薯的光能獲取、利用及單產潛力；Kleinwechter U 等運用SUBSTOR 模型對秘魯所有地區（溫帶、亞熱帶及熱帶）不同馬鈴薯品種單產進行了系統評估；田豐等研究指出馬鈴薯塊莖最高理論產量時的最優組合為純N 肥173 kg/ha、PO肥112 kg/ha 和KO 肥68 kg/ha，密度60000 株/ha；間作使馬鈴薯葉綠素含量降低，光合速率下降，從而導致單株生產力下降；套作（玉米）改變了馬鈴薯的光合特性，并顯著降低了馬鈴薯塊莖產量；在整個生育期內，馬鈴薯光合性能（蒸騰速率、氣孔導度和光合速率）均呈先增后減的變化規律；持續弱光脅迫使馬鈴薯葉片光合速率顯著下降，對強光的利用能力減弱；在開花期，與單作相比，（燕麥）間作馬鈴薯葉片的凈光合速率、氣孔導度、蒸騰速率顯著降低，胞間CO濃度顯著提高；增加CO濃度可顯著增加馬鈴薯植株的葉面積、葉片凈光合速率和胞間CO濃度；中國東北三省地區已進入氣候暖干化階段，在今后的馬鈴薯生產中應通過適時調整播期、培育或引進適應氣候變化的新品種等科學農田管理措施，充分利用氣候資源提高馬鈴薯生產力水平，等等。

以上可見，迄今為止，學界對于馬鈴薯單產（潛力）的研究，以育種、栽培及生理方面為主，主要基于實驗、試驗方法。運用計量模型、從宏觀（趨勢）上進行馬鈴薯單產研究相對少，尤其在“時間序列” 模型運用方面鮮見報道。

作為世界上最重要的糧食及蔬菜作物之一。隨著世界人口增長和農田減少，馬鈴薯單產的提高越來越受到重視。所以，預測分析世界馬鈴薯單產潛力對指導該作物生產以及幫助解決未來糧食安全問題具有一定現實意義。

一、材料與方法

（一）材料

基于1961-2020 年世界馬鈴薯平均單產和最高（國家）單產數據，預測分析2025 年前單產潛力。

如表1 所示，1961-2020 年世界馬鈴薯平均單產比最高單產上升稍慢、但更平穩。

表1 世界馬鈴薯1961-2020 年平均單產和最高單產（kg/ha）

（二）方法

ARIMA-TR 模型即ARIMA（自回歸單整移動平均）模型與TR（趨勢回歸）模型的組合。

ARIMA 模型的簡易形式為ARIMA (p,d,q)。其中：p 為自回歸項數、d 為時間序列成為平穩序列時所做的差分次數、q 為移動平均項數。ARIMA 模型的完整數學表達式如公式（1）：

公式（1）中L、? (L) 和θ (L) 分別為滯后算子、平穩的自回歸算子和可逆的移動平均算子，d∈z（目標變量）。

基于1961-2020 年期間歷年統計值預測2021-2025 年未來值，邏輯步驟如下：首先，為了消除異方差對變量的歷史數值取對數，再檢驗該對數序列的平穩性，通過平穩性檢驗時進入下一步，不能通過平穩性檢驗時進行差分使序列平穩再進入下一步；其次，基于變量的“平穩序列” 建立5 種基礎模型：ARMA (1,2)模型、ARMA (1,1) 模型、AR (1) 模型、MA(2) 模型和MA (1) 模型；再次，同時運用這5種基礎模型擬合變量1961-2020 年期間歷史數值，根據擬合度最優的基礎模型構建ARIMA(p,d,q) 預測模型——本研究中選用RMSE（均方根誤差）判斷基礎模型擬合優度；最后，運用ARIMA (p,d,q) 模型預測變量2021-2025 年未來值。

趨勢回歸（TR）模型直接以 “時間”（年份的序數）作為自變量、世界馬鈴薯單產作為因變量，基于1961-2020 年期間歷年統計值進行（指數函數、線性函數、對數函數、多項式函數和冪函數）五種趨勢回歸建模。選擇決定系數最高的趨勢回歸模型，預測2021-2025 年未來值。

最后，對ARIMA 預測模型和TR 預測模型進行RMSE 比較，選擇其中較小者作為ARIMA-TR模型預測值。

二、結果與分析

（一）世界馬鈴薯2025 年前平均單產的ARIMA-TR 模型預測

1.世界馬鈴薯2021-2025 年平均單產的ARIMA 模型預測

1961-2020 年世界馬鈴薯平均單產的 “時間序列” 平穩性檢驗表明：其對數值序列未能通過平穩性檢驗（ADF 單位根檢驗的t 統計量-1.706449 大于1%水平檢驗臨界值-4.130526）；對該對數值序列進行一階差分后，通過平穩性檢驗（ADF 單位根檢驗的t 統計量-9.626551 小于1%水平檢驗臨界值-3.552666）。為此，基于變量對數值的一階差分平穩序列建立世界馬鈴薯1961-2020 年平均單產擬合基礎模型，其RMSE 值分別為ARMA (1,2) 模型的959.9255、ARMA (1,1) 模型的888.3164、AR (1) 模型的1083.376、MA (2)模型1093.172 的和MA (1) 模型的1099.333。為此，基于ARMA (1,1) 基礎模型構建ARIMA(1,1,1) 預測模型如下：

公式（2）中，“ayp” 代表世界馬鈴薯平均單產。

基于該ARIMA(1,1,1)模型預測的2021-2025年世界馬鈴薯平均單產分別為：20617 kg/ha、20806 kg/ha、20996 kg/ha、21188 kg/ha 和21382 kg/ha。

2.世界馬鈴薯2021-2025 年平均單產的TR模型預測

世界馬鈴薯1961-2020 年平均單產變化趨勢回歸模型的決定系數分別為：指數函數的0.8638、線性函數的0.8456、對數函數的0.6343、多項式函數的0.8963 和冪函數的0.6942；5 種趨勢回歸模型中，多項式函數的決定系數最高。為此，建立公式（3）多項式函數（RMSE=757.6642）回歸模型預測世界馬鈴薯2021-2025 年平均單產。

公式（3）中，x 代表年份（序數）、y 代表世界馬鈴薯平均單產。

基于該TR 模型預測的2021-2025 年世界馬鈴薯平均單產分別為：21095 kg/ha、21350 kg/ha、21610 kg/ha、2187 4kg/ha 和22142 kg/ha。

3.世界馬鈴薯2021-2025 年平均單產的ARIMA-TR 模型預測

根據世界馬鈴薯2021-2025 年平均單產的ARIMA 模型和TR 模型的RMSE 值，取較小者作為ARIMA-TR 模型預測結果。即：世界馬鈴薯2021-2025 年平均單產的ARIMA-TR 模型預測值分別為21095 kg/ha、21350 kg/ha、21610 kg/ha、21874 kg/ha 和22142 kg/ha。

（二）世界馬鈴薯2025 年前最高單產的ARIMA-TR 模型預測

1.世界馬鈴薯2021-2025 年最高單產的ARIMA 模型預測

1961-2020 年世界馬鈴薯最高單產的 “時間序列” 平穩性檢驗表明：其對數值序列未能通過平穩性檢驗（ADF 單位根檢驗的t 統計量-4.127338 大于1%水平檢驗臨界值-4.942314 ）；對該對數值序列進行一階差分后，通過平穩性檢驗（ADF 單位根檢驗的t 統計量-10.59063 小于1%水平檢驗臨界值-3.552666）。為此，基于變量對數值的一階差分平穩序列建立世界馬鈴薯1961-2020 年最高單產擬合基礎模型，其RMSE值分別為ARMA (1,2) 模型的3331.687、ARMA(1,1) 模型的3488.832、AR (1) 模型的4421.182、MA (2) 模型的3628.972 和MA (1) 模型的4230.405。為此，基于ARMA (1,2) 基礎模型構建ARIMA (1,1,2) 預測模型如下：

公式（4）中，“typ” 代表世界馬鈴薯最高單產。

基于該ARIMA (1,1,2) 模型預測的2021、2022、2023、2024 和2025 年世界馬鈴薯最高單產分別為：55020 kg/ha、55486 kg/ha、55957 kg/ha、56432 kg/ha 和56910 kg/ha。

2.世界馬鈴薯2021-2025 年最高單產的TR模型預測

世界馬鈴薯1961-2020 年最高單產變化趨勢回歸模型的決定系數分別為：指數函數的0.7920、線性函數的0.7875、對數函數的0.7383、多項式函數的0.7934 和冪函數的0.8056；趨勢回歸模型的決定系數低于平均單產，表明同期平均單產的變化趨勢更明顯。5 種趨勢回歸模型中，冪函數的決定系數最高。為此，建立公式（5）冪函數（RMSE=757.6642）回歸模型預測世界馬鈴薯2021-2025 年最高單產。

公式（5）中，x 代表年份（序數）、y 代表世界馬鈴薯最高單產。

基于該TR 模型預測的2021、2022、2023、2024 和2025 年世界馬鈴薯最高單產分別為：50213 kg/ha、50355 kg/ha、50494 kg/ha、50632 kg/ha 和50768 kg/ha。

3.世界馬鈴薯2021-2025 年最高單產的ARIMA-TR 模型預測

根據世界馬鈴薯2021-2025 年最高單產的ARIMA 模型和TR 模型的RMSE 值，取較小者作為ARIMA-TR 模型預測結果。即：世界馬鈴薯2021-2025 年最高單產的ARIMA-TR 模型預測值分別為50213 kg/ha、50355 kg/ha、50494 kg/ha、50632 kg/ha 和50768 kg/ha。

（三）世界馬鈴薯2025 年前單產潛力

“最高單產”可視為“平均單產”的潛力極限。

根據以上預測結果，2021-2025 年世界馬鈴薯平均單產將分別是最高單產的38.34%、38.48%、38.62%、38.76%和38.91%。即：世界馬鈴薯2021-2025 年平均單產將 “緩慢追趕” 最高單產，但前后二者比率低于50%，意味著世界馬鈴薯平均單產提升尚有巨大空間。

三、討論與結論

（一）討論

與常用的作物 “生產函數” 預測模型不同，本研究所采用的ARIMA-TR 模型不需考慮馬鈴薯單產的影響因素（光、溫、水、肥、氣），不需分析生產投入變量（灌溉、肥料、農藥、農機動力等），因為這些投入變量理論上都是隨著時間（年）不斷改進的，可以通過“時間序列” 來集中反映 “影響因素” 及 “投入變量” 的變化趨勢。一般而言，預測時段越短，結果信度越高。時間序列模型預測中，樣本實際值波動越小，歷史數據時段越長，變化趨勢越明顯，預測結果信度越高；反之越低。理論上，樣本覆蓋范圍越廣，統計數據越接近實際值，預測結果信度越高。相比之下 “時間序列” 方法通常更適合于宏觀預測，而考慮多因子的 “生產函數” 模型更適合于微觀預測，二者并行不悖、相互補充。

（二）結論

本研究表明：就2025 年前世界馬鈴薯生產而言，平均單產提升尚有巨大空間，總產提高應主要依靠保持高產國家優勢。