立足數(shù)學關鍵能力 優(yōu)化教材中的素材

文∣陳志睿

一、現(xiàn)狀反思：教材習題的教學要著眼關鍵能力

2018年，江蘇省基于國家課程標準，制定了江蘇省數(shù)學學科學業(yè)水平測試，對四年級學生進行了學業(yè)水平測試。《學生學業(yè)質量監(jiān)測的全部中小學校學生學業(yè)質量監(jiān)測分析報告》于2020年發(fā)布，供省內學校參考，其中一題的數(shù)據(jù)分析引起了筆者的關注。

黃山風景區(qū)的門票價格是230元/人，暑假期間教師可以享受半價優(yōu)惠。31位教師在暑假期間去黃山旅游，3000元夠買門票嗎？請寫出估算過程。

表1 答題情況分析表

經統(tǒng)計，學生答題情況如表1所示，編碼21代表答案正確，但是估算過程有錯，或者估算過程沒有寫出來；編碼22代表估算過程正確，但是沒有結論或者結論錯誤；編碼23是通過精確計算得到的結果；編碼41是完全正確的作答；編碼71是用230元進行估算或計算；編碼72代表用精確計算解答，但計算出錯；編碼73代表其他錯誤；編碼99表示沒有作答。

從數(shù)據(jù)來看，本校和本區(qū)縣有50%左右的學生能夠運用估算正確解決這個問題；27%左右的學生通過精確計算能解決實際問題；11%左右的學生不能正確表述出估算過程。這樣類似的題學生都做了很多次，教師也講了很多次，但學業(yè)水平測試正確率卻只有50%，學生怎么就不會估了？我們要對數(shù)學核心素養(yǎng)要求的估算能力進行分析，如表2所示。

表2 數(shù)學估算能力水平劃分

反思我們的估算教學，設計的情境教學時常這樣提問：“估一估，帶的錢夠嗎？還要找回多少錢？”學生會提出：“肯定不夠，不然怎么會要你算找回多少錢呢。” 在教學中，學生看到題就習慣拿筆計算，因為題目里說了要“算一算”。由此可以看出，教師給定的練習題可能會給學生造成思維定式，反正是要算的，就不估了。所以，教師應該對教材里的素材稍加修改，如“估一估，怎樣走最近，說明你的理由”。引導學生學會根據(jù)解決問題需要，判斷是用近似答案還是精確答案，在開放的“設問”中，讓學生自主分析，選擇方法，做出判斷，解決問題，培養(yǎng)核心素養(yǎng)下的關鍵能力。

基于此次學業(yè)水平測試，我們重新審視教材習題教學，筆者認為應該立足于核心素養(yǎng)對估算教學進行優(yōu)化。

二、基于關鍵能力的教材學習素材優(yōu)化策略

數(shù)學素養(yǎng)所體現(xiàn)的關鍵能力是支持學生進一步學習的必備能力，同時又能深化學生對數(shù)學本質的理解，提高分析和解決問題的能力。我們的教學要立足關鍵能力，優(yōu)化教材中的學習素材，如教材的例題、習題、學習材料等。

(一)建構“生長”的認知結構，為關鍵能力奠定基礎

不同的數(shù)學知識承載了不同的關鍵能力，幫助學生構建可生長的認知結構，有利于其把握知識本質及知識之間的內在聯(lián)系，發(fā)展學生關鍵能力。

1.尊重認知起點，在思維碰撞中發(fā)展關鍵能力

尊重學生的認知原始經驗，找到知識的生長點，讓學生對新授知識產生親和感。教師可以在與學生的多維對話中，引導學生找到知識的生長點并加以突破，使其在探索新知生成的過程中提升對新知的感悟，培養(yǎng)學生的思維能力。以蘇教版四年級下冊的“乘法分配律”一節(jié)為例，教材以一個情境引入，然后解題列式，引導學生對比發(fā)現(xiàn)再應用同類題目，最后抽象出乘法分配律。在實際教學中，教師可以在教材的基礎上優(yōu)化教學內容。

在教學乘法分配律時，教師讓學生說出自己認為的乘法分配律。

案例1：如何表示3個2加4個2等于7個2。

案例2：小紅周末陪媽媽去買水果，上午買了3個蘋果，下午買了4個蘋果，第二天重復第一天的方式購買蘋果。2天一共買了多少？列出算式。

案例3：計算圖1共有多少個小圓。

圖1

案例4：計算圖2的面積。

圖2

教師引導學生用不同的算式計算上面的案例，讓學生思考規(guī)律并用自己的理解去探究乘法分配律。在這樣以學生為中心的氛圍下，教師以“算式有什么相同的地方”為出發(fā)點，分開算與合起來算都是相等的數(shù)學本質，通過數(shù)形結合以及生活經驗，得出“(a+b)×c=a×c+b×c，即兩個數(shù)的和乘一個數(shù)就等于這兩個數(shù)分別乘這個數(shù)”的結論，發(fā)展學生演繹推理的能力。

2.數(shù)形結合，為發(fā)展關鍵能力提供支持

在傳統(tǒng)教學中，教師講解完數(shù)學結論以后，讓學生盡快運用結論去解題，鞏固練習。這樣容易導致學生機械重復地刷題，忽略知識的來龍去脈，不關注數(shù)學思想、方法的產生與發(fā)展。教師可以利用數(shù)形結合的方式，將過程與結果串聯(lián)起來，讓學生習得的一般性方法還能為未來的學習做鋪墊。通過數(shù)形結合的方式，可以強化過程與結果的關聯(lián)，對學生解決新的問題具有啟發(fā)作用，讓學生學會舉一反三，觸類旁通。

3.培養(yǎng)多元的思維，為關鍵能力創(chuàng)造可能

解決問題是發(fā)展關鍵能力的重要載體，從不同角度分析問題、多元的方法解決問題可以培養(yǎng)學生在探究過程中發(fā)展關鍵能力。在疫情居家學習中，學生有更多的時間去深度探究問題。教師設計以“雞兔同籠”問題為載體，讓學生用畫圖法、假設法、列表法、抬腿法、方程法解決問題(如圖3所示)。每種解決問題的方法既有聯(lián)系又有不同。在線上交流中，學生表達出自己對每種方法的理解，從直觀問題中抽象出數(shù)量關系，推理、分析并解決問題。多元思維為發(fā)展關鍵能力創(chuàng)造了更多的可能性。

圖3

(二)教材素材有效整合，整體把握關鍵能力

數(shù)學核心素養(yǎng)具有連續(xù)性和階段性的特點。因此，教材每一階段、每一單元、每一個數(shù)學知識點都有其對應的關鍵能力，不同階段所對應的關鍵能力表現(xiàn)也不同，知識、技能和關鍵能力是螺旋式上升的。如果某一階段的能力不能得到很好的發(fā)展，下一階段的能力發(fā)展也會受阻。在開展某一單元的教學時，教師首先要整體把握一個單元的知識技能，分析學生已經掌握了哪些知識和能力，將學習素材和學習內容根據(jù)學情進行整合，促進學生關鍵能力的發(fā)展。

1.基于學情的單元素材整合，聚焦關鍵能力

如果學生整體學習水平較高，教師就可以從聚焦關鍵能力的角度去整合教材。以蘇教版二年級下冊的“認識萬以內的數(shù)”為例。這一單元的基本結構如圖4所示。

圖4

根據(jù)課前測，教師了解到學生已經會用自己的方式直觀地表示數(shù)，這說明基于之前“100以內數(shù)的認識”，學生理解了數(shù)位的含義并具有計數(shù)單位意識，能借助直觀模型讀數(shù)、寫數(shù)。按照教材編排，先是“數(shù)數(shù)和千以內數(shù)的組成”，再學習“千以內數(shù)的讀、寫”，最后學習“萬以內的數(shù)”。這樣的設計沒有顯出思維的遞進。教師可以立足關鍵能力，重新審視教材，打開新的思路。

“數(shù)的認識教學”旨在培養(yǎng)學生從具體事物中抽象出數(shù)與形的能力并形成數(shù)感。因此，教師可以引導學生從知識技能層面理解“十進制”，同時培養(yǎng)學生數(shù)感，以這兩個角度為切入點，進行單元整合，將千以內的數(shù)和萬以內的數(shù)進行整合。

在數(shù)數(shù)的過程中，讓學生感受產生新的計數(shù)單位的必要性。千以內數(shù)的認識和萬以內數(shù)的認識均使用了“小方塊”，并做如下優(yōu)化。

教師出示小方塊，讓學生一個、一個地數(shù)，10個“一”是一個“十”。出示圖5中的(b)。

十個、十個地數(shù)，十個“十”是一百。出示圖5中的(c)。

一百、一百地數(shù)，十個“一百”是“一千”。出示圖5中的(d)。

一千、一千地數(shù)，十個“一千”是“一萬”。

(a) (b) (c) (d)圖5

讓學生在數(shù)直觀模型的基礎上認識計數(shù)單位，同時理解計數(shù)單位十進制的關系。教師進一步利用黃豆引導學生了解1000、10000的規(guī)模，再通過圖片讓學生直觀感受萬人會場的容量，培養(yǎng)學生的數(shù)感；將認識千、萬串聯(lián)起來，幫助學生整體感知計數(shù)單位之間的關系，為學生認識更大的數(shù)做鋪墊，讓其關鍵能力持續(xù)發(fā)展。

2．基于過程方法的教材素材重組，強化關鍵能力

數(shù)學學習的過程與方法也是形成關鍵能力的重要載體。在研究教材的單元目標時，我們發(fā)現(xiàn)，有時一個單元的探究學習過程與方法相似并不斷深化的。因此，根據(jù)探究的過程與方法，教師將一個單元的教學內容進行重組，深化學生對過程方法的理解與掌握，推進關鍵能力發(fā)展。以蘇教版四年級下冊的“運算律”單元為例，圖6為單元的結構。

圖6

此單元加法和乘法都有交換律、結合律，教材的編排按照加法和乘法兩個板塊來教學，由“加”到“乘”，教學內容有梯度地逐漸加深。但是從單元過程與方法目標“在探究運算律的過程中，培養(yǎng)比較和分析、抽象和概括、歸納和類比等能力”來看，教師可以將單元內容進行重組，將加法交換律和乘法交換律進行整合來研究“結合律”，通過類比讓學生了解“結合律”在加法和乘法中都適用。課堂中教師不斷引導學生進行比較、分析、歸納等思維活動，深化學生的推理能力，強化關鍵能力的發(fā)展。

(三)指向關鍵能力的教材學習素材改造路徑

教師要創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富的學習素材。教材、習題不是拿來就用，教師要將教材、習題進行合理、適當?shù)母脑欤寣W生的關鍵能力落地生根。

1.改問題，從淺顯走向深入

通過分析學業(yè)水平測試的試題，我們發(fā)現(xiàn)，學業(yè)水平測試的試題非常靈活；題目條件雖然不多，但很難一眼就看出方法或答案。水平測試考查的知識點不難，但是需要學生準確提取對應的知識點，這就對學生的關鍵能力提出了要求。反觀我們平時的練習題，幾乎是直接指向知識點的淺顯提問，機械、重復的訓練對關鍵能力的提升起不到促進作用，反而還可能限制學生的思維。所以教師要對習題作相應的改編，將一眼就能看出方法或知識點的題改編為指向關鍵能力的深度思考習題。下面以練習冊的一道題目改編為例。

【例題1】某地去年最后四個月的降水量如圖7所示，該地九至十二月平均降水量為( )毫米。

A.147 B.98 C.96 D.86

圖7

【改編題1】某地去年最后四個月的降水量如圖7所示，該地九至十二月中，最接近這四個月平均降水量是( )月。

A.九 B.十 C.十一 D.十二

比較這兩種考查方式，相同點都是考查平均數(shù)，第一種出題方式淺顯地指向知識技能的平均數(shù)計算。而第二種出題方式不是讓學生直接算平均數(shù)，是要在理解平均數(shù)的基礎上，根據(jù)數(shù)據(jù)分布的特點來估算。

諸如此類的習題改編還有很多。只要教師著眼于核心素養(yǎng)下的關鍵能力，練習便自然從淺顯走向深入。

2.重過程，從低階思維走向高階思維

低階思維是缺少辨析與判斷或者識別的思維，在數(shù)學上主要有記憶、領會、運用，高階思維主要是分析、評價、創(chuàng)造。在數(shù)學學習中，培養(yǎng)高階思維指向的是能借助對數(shù)據(jù)的描述進行簡單的判斷、解釋。在日常教學中，我們發(fā)現(xiàn)很多學生超前學習，已經掌握了知識和技能，那我們的教學目標如何制定呢？那就從低階思維走向高階思維，讓關鍵能力進一步發(fā)展。

以蘇教版六年級上冊的“整數(shù)除以分數(shù)”為例，教師在課上出示例題2。學生都知道除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，并且會運算，顯然這還處于記憶、運用的低階思維。

圖8

在觀察學生解題的過程中，教師發(fā)現(xiàn)學生能夠正確列出算式，熟練使用“整數(shù)除以幾分之一等于整數(shù)乘幾分之一的倒數(shù)”計算結果。但畫圖時就出現(xiàn)了問題，有些學生不畫圖直接寫答案，更有些學生不知道圖該從何畫起。這說明學生仍處于只能讀出數(shù)據(jù)所含簡單信息的水平。如果繼續(xù)這樣教學生，他們的思維和能力得不到提升。故教師對教材作了如下改進。

【改編題2】結合下面四道題，先畫圖分析，再把你的思考或計算過程記錄下來。

解題時，學生自己創(chuàng)設直觀圖形分析算式，描述算理。例如改編題2的④，學生作了如下探討。

教師的目標定位在哪里，教學就走向哪里。關鍵能力的培養(yǎng)與推進可以讓學生的思維提高得更快。

3.設變式，從單一到豐盈

從關鍵能力的視角研讀教材習題，思考題目的意圖，是用好教材的第一步。在此基礎上，教師如果挖掘到題目內涵，找到關聯(lián)，結合課外練習題，擴充題組，可以豐富學生對同一問題的認識，積累活動經驗，更好地發(fā)展關鍵能力。

以蘇教版六年級下冊的一道習題為例(如圖9)。該題的基礎模型是“方中圓”，圓占正方形面積的78.5%。“方中圓”還可以繼續(xù)變化，如圖10。

如右圖,兩個正方形的邊長都是6厘米。(1)圓的半徑各是多少厘米?(2)兩個正方形里圓的面積各是多少?各占正方形面積的百分之幾?(3)如果像這樣在正方形里畫9個相同的盡量大的圓,這9個圓面積的和占正方形面積的百分之幾?你發(fā)現(xiàn)了什么?

圖10

我們可以利用教材，設計變式習題，豐富學生的素材積累，讓學生學會舉一反三。

三、結語

考試不僅僅是得到一個分數(shù)，它能真實地反映學生數(shù)學核心素養(yǎng)下的關鍵能力水平。考試的目的不是通過分數(shù)把學生分成一、二、三檔，而是促進教師反思自己的教學，如何讓核心素養(yǎng)下的關鍵能力培養(yǎng)落實在教學中，讓每一個學生的數(shù)學關鍵能力都得到相應發(fā)展。因此，教師要對教材里的學習素材多研究，探索立足關鍵能力的教材學習素材的優(yōu)化方法。