基于核心素養理念下“圖形的變化”數學教學實踐探索

文∣張碧鏗

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出，學生發展核心素養是黨的教育方針的具體化、細化。教師應在教學實踐中不斷探索，將數學學科核心素養的培養貫穿教學活動的全過程，本文以初中數學內容“圖形的變化”教學為例進行探究。

初中數學“圖形的變化”涵蓋平移、軸對稱、旋轉、相似、投影等五大內容，貫穿七年級至九年級的教材，是數學學習的重要內容。“圖形的變化”內容較多涉及圖形的動態變化，比較抽象，學生對于這部分內容的學習存在一定困難。如何在“圖形的變化”的教學中激發學生的探究熱情，培養學生的想象能力，鍛煉學生的思維能力，從而培養學生的數學核心素養?

一、在數學建模應用中，激發學生的探究熱情

在“圖形的變化”各章節的教學內容中，不少內容與現實生活、經濟、科技等方面有關，解決這些實際問題，對學生來說是難點。激發學生的探究熱情，引導學生從實際問題中抽象出數學模型，可以從以下三個方面進行實踐。

(一)直接建模應用培養興趣

“圖形的變化”在生活中的應用有很多，在進行每個知識點教學之前，教師應充分挖掘教材的內容，聯系生活的實際，讓學生感受數學知識與生活的密切聯系，如傳送帶的運輸、電梯的平移、摩天輪及風力發電機的轉動等，用圖片、案例引入數學知識的學習，引發學生的興趣，激發他們學習的熱情，把實際的場景畫面直接轉化為數學的平移模型、旋轉模型、軸對稱模型等。

教師也可在圖片中，適當引入相關的知識，培養學生學習的興趣。例如：以風力發電機為例引入旋轉模型，向學生介紹風力發電的情況。風力發電在芬蘭、丹麥等國家很流行，在我國西部地區得到大力發展，風力發電沒有燃料問題，也不會產生輻射或空氣污染，是一種特別環保的發電方式。風力發電的原理是利用風力帶動風車葉片旋轉，再通過增速機將旋轉的速度提升，來帶動發電機發電。通過教師對一些課外知識的介紹，學生學習數學的興趣和熱情也得到了不斷提高。

(二)簡單建模應用激發求知動力

有些實際應用問題在建立數學模型后，還需要運用較簡單的數學知識進行解決，這樣才能讓學生充分感受數學的建模思想，以及運用數學知識解決問題的奇妙。

例如在實際生活中，有些求不規則圖形的面積問題，通過對某些圖形的平移或軸對稱或旋轉就能得到比較規則可求面積的圖形，繼而再求出相應的面積。由此能讓學生感受到通過平移、軸對稱、旋轉等解決問題的巧妙之處。同時學生也意識到掌握好了知識，才能在恰當的時候快速運用知識來解決實際問題；更易激發學生的求知欲，提升他們的應用能力。

(三)深層建模應用引導鉆研探究

有些實際應用問題需要引導學生根據實際應用的各種背景，建立相應的數學模型，再運用數學深層次的知識進行解決，這種問題對學生的能力要求比較高。例如人教版八年級上冊的“最短路徑”內容。“牧馬人飲馬”“造橋選址”問題中，如何選擇“飲馬”“造橋”的位置使得路徑最短，需要學生在充分理解圖形軸對稱性質的基礎上，建立數學模型；能明白為什么所選的位置就是路徑最短，綜合性較強。

對于實際應用中出現的各種不同層次的問題，教師應關注教材中的案例，關注生活中信息，把這些案例和信息融入數學課堂的教學中；再通過建立不同層次的數學模型，解決實際問題，激發學生的探究熱情，進一步提升學生的應用能力。這樣學生對數學建模解決問題的認識也更加深刻，課堂內容更加豐富多彩，也能更好地培養了學生數學建模核心素養。

二、在圖形的學習中，培養學生的想象能力

在“圖形的變化”中，圖形總是千變萬化的；變化前后的圖形之間又存在著一定的聯系。但圖形的變化對于學生來說都比較抽象，如何讓學生對圖形有更好的“圖感”，讓他們能想象圖形經過變化后的狀態？教師可以從以下三個方面進行實踐。

(一) 重視畫圖操作，培養直觀圖感

在“圖形的變化”教學過程中，涉及平移、軸對稱、旋轉、相似、位似等畫圖的教學內容，教師要重視這些畫圖操作的教學，在課堂上安排充足的時間，引導學生進行畫圖，通過畫圖加強學生對圖形變化的熟悉，從而培養學生幾何直觀想象能力。

例如在教學中，教師出示例題，引導學生畫圖。

圖1

【例題】如圖1，在直角△ABC中，以直角三角形一邊為邊畫一個等腰三角形，使它的第三個頂點在直角三角形的其他邊上。

教師讓學生動手畫圖解決問題，學生的答案會出現多種符合條件的圖形，如圖2。教師讓學生逐一展示，充分感受等腰三角形的對稱性質。同時引導其加強對線段垂直平分線的性質和判定的理解，對于解決直角三角形和等腰三角形相結合的題型會有更好的直觀圖感，感受和體會分類討論的思想。

圖2

(二) 熟悉基本圖形，挖掘基本模型

在“圖形的變化”教學過程中，基本圖形的概念、性質、畫圖等教學需要扎實開展。綜合的幾何圖形中大都包含著多個簡單的基本圖形的平移、軸對稱、旋轉，只有落實好每一個基本圖形的變化教學，學生才能比較直觀看到各種基本圖形的組合。

【例題】 如圖3，正方形ABCD的邊長為1， ⊙O經過點C，CM為⊙O的直徑，且CM=1。過點M作⊙O的切線分別交AB,AD于點G、H，BD與CG、CH分別交于點E、F，⊙O繞點C在平面內旋轉(始終保持圓心O在正方形ABCD內部)，求四邊形CGAH的面積的最大值。

圖3

這道綜合題包含直角三角形、正方形、圓形等基本圖形 ，是動態變化的題目。

對于綜合題題型，教師應挖掘基本圖形，提煉基本模型，利用平移、軸對稱、旋轉的知識解決問題，達到逐步培養學生圖形的直觀想象能力，提升學生解決問題的能力。

(三)借助信息媒體，培養直觀想象

結合教學內容，教師還可以適當借助計算機畫圖軟件來輔助教學。通過作出一些圖形繞某一點旋轉后的圖形，或沿某一條直線翻折后的圖形，展示滿足一定條件的運動軌跡等；這些教學活動的展示都能培養學生幾何圖形直觀想象力。教師應注重信息技術與數學課程的適度融合，通過信息化的手段讓學生去感受圖形的變化，優化課堂設計，為學生解決問題提供直觀資料的幫助，為學生理解知識而創設背景，為學生探索規律提供啟發思路。

教師可借助各種教學手段，讓學生多進行畫圖操作，讓學生熟練掌握基本圖形的知識點。在綜合題型中，挖掘或構建基本模型，借助信息技術與學科教學的融合等都能較好實現培養學生幾何直觀想象能力核心素養。

三、在邏輯推理訓練中，鍛煉思維能力

邏輯推理是學生學習數學的基本能力,指根據已知推出新結論的一種能力。邏輯推理能力的培養是一個漫長的過程，“圖形的變化”各章節的學習對于學生邏輯推理能力的培養是非常好的契機。圖形的平移、軸對稱、旋轉三種變化中，圖形只是改變了位置，變化前后的圖形是全等的，三種變化是兩個圖形全等的特殊情況。而相似是圖形的大小發生了改變，全等是相似的特殊情況，位似也是相似的特殊情況。在教學過程中，教師可以通過承上啟下、類比推理、猜想論證等提升學生的思維能力。

(一)以舊帶新，承前啟后

教學時，充分分析新知識構建需要哪些舊的知識作為鋪墊，在熟悉舊知識的前提下推出新的知識，讓學生充分感受到邏輯推理的重要性。

例如人教版九年級下冊第二十七章“相似”教學中，相似的判定方法，都是先通過構造兩個全等三角形，再進一步證明相似，在四個相似方法的推導證明中，教師要引導學生復習全等的證明方法，再認真思考如何證明相似三角形。在引導學生運用三角形相似的判定方法時，要注意從多方面考慮，構造邊角關系。通過這些推理證明，以舊帶新，承前啟后，訓練學生的邏輯推理能力和思維能力，同時在推理過程中將所運用到的邏輯思維遷移到后續學習中。

(二)類比推理，螺旋上升

對于有些問題的推理論證，教師需要在簡單問題的基礎上一步一步地推導，運用得到的結論和推導的方法進一步探究新背景下問題解決的策略與方法。這種類比推理的過程，能讓學生收獲成功的喜悅。

以人教版九年級上冊第二十三章的習題為例。

【例題】如圖4，過菱形對角線交點的一條直線，把菱形分成了兩個梯形，這兩個梯形全等嗎？為什么？

圖4

教師引導學生發現，兩個梯形關于對角線交點中心對稱，所以這兩個梯形全等。

教師進一步展示下一道例題。

【例題】如圖5，有一張紙片，若連接EB，則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD。請你畫一條直線把這張紙片分成面積相等的兩部分，并說明理由。

圖5

矩形FABE是中心對稱圖形，菱形EBCD也是中心對稱圖形，所以經過它們中心的直線把圖形分成全等的兩部分，直線l既經過矩形FABE的中心，又經過菱形EBCD的中心，所以直線l把紙片分成了面積相等的兩部分。

類比推理是鍛煉學生邏輯推理能力的重要方法。在教學中，教師可以把內容相似、知識點相關的題型組合在一起進行練習；通過練習，讓學生找相似、找關聯、找不同。這些做法都能較好地發展學生的邏輯推理能力，讓他們的思維能力得到螺旋式的提升，邏輯推理的核心素養得到培養。

(三)猜想論證，拓展思維

教師在“圖形的變化”教學實踐中，應注重幫助學生認識并掌握數學思考的基本方法，如歸納、類比、轉化、猜想與論證，對于一些問題的結論可以進行大膽的猜想，再根據猜想結果，進行推理和論證，最后解決問題。在此過程中，讓學生養成“推理有據”的習慣。

關注學生邏輯推理能力的培養，是鍛煉和提升學生思維能力的關鍵。邏輯推理能力的提升,能夠讓學生的學習能力得到發展；這不僅有助于提升學生的數學認知水平,更能培養學生的數學核心素養。

在“圖形的變化”各章節的教學實踐中，教師可以充分利用教材的內容，結合生活的實際應用，選擇合適的專題，對課堂教學進行研究和實踐。經過多年的教學實踐，每學期結束，筆者都會對學生掌握“圖形的變化”知識點情況進行統計分析。結果顯示，學生對“圖形的變化”內容的掌握、理解、解決問題的能力，均能達到理想效果。在日常數學學習的活動中，學生的表現和反應能呈現出學科核心素養較好的養成態勢。