小學數學推理意識形成中數學經驗的再生

文∣夏常明

邏輯推理是學生的核心素養之一，是指從一些事實和命題出發，依據規則推理出其他命題的能力。《義務教育數學課程標準(2022年版)》將邏輯推理細分為推理意識、推理能力、邏輯推理素養，意在不同學段建立結構性體系，凸顯推理的心理來源，細化推理的心理傾向性的萌生過程和推理能力的培養路徑。 推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，就是在判斷一個命題的真假時會自覺或者不自覺地使用的一種心理傾向性，建立在經驗感悟之上，是推理能力的基礎。[1]推理意識有助于學生形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養科學態度與理性思維，增強交流能力。小學數學推理意識的形成，需要學生在數值定向、模式識別、假設形成和模式抽象四個認知過程中感受數學對象不同及數學信息之間的量性特征，掌握數學模式所內含的因果關系。

史寧中教授指出，數學推理的本質是思維過程和邏輯推理體現在所涉及命題內涵之間的傳遞性,包括關系傳遞性和性質傳遞性，并且用數學的語言和符號確切地表述這兩種傳遞性。[2]同時，學生在“經歷和感悟了數學歸納推理和演繹推理后積淀下的思維模式”，即為數學基本活動經驗。[3]數學經驗再生，指學習者經歷數學知識“量化模式”形成過程，以“量化模式”為操作感知對象，通過動手操作與交流反思等活動，在思維方式與量化模式及其體驗之間所建立的聯系。[4]推理意識形成中的數學經驗再生，就是學生在已有經驗基礎上，通過歸納、類比、猜想或者發現，進一步體驗數學從一般到特殊的論證過程，在數學思維與邏輯推理之間建立深度理性聯系。只有形成推理意識，促進經驗再生，升華思維品質，學生邏輯推理素養才能得到發展。

一、數值定向中的數學經驗再生

數值定向是推理意識的起始階段，即對輸入信息的各個對象、形式結構，各個對象的相同點或差異等進行比較分析、編碼并抽取特征，達到對問題的初步理解。[5]數值定向過程是學生經歷觀察分析,獲取個體數值信息并抽取屬性特征的推斷過程。觀察和分析是學生運用相關工具，手腦結合，在數學思維活動參與下進行的推斷活動。學生以特定的個體數值信息作為推理對象，通過直觀觀察與操作分析，獲取豐富的量化屬性特征，進行信息分析編碼，尋找數值之間差異，抽取數值個性特征。為了促使學生自然萌發推理意識，教師應鼓勵學生深度挖掘日常生活中的推理素材，通過問題情境巧妙設問，并鼓勵學生在數學問題的引領下參與數學觀察、 發現以及論證等過程，有效幫助學生獲取數學的基本活動經驗。學生對于個體數值信息進行獲取、編碼、加工和抽取的過程，也是數學經驗不斷重組再生的過程。與此同時，數學經驗的再生，也為推理意識的生成奠定基礎。

學生3：規律是指循環往復出現的周期現象，第一種思路不正確，只是滿足了其中一組特征，沒有出現更多的數來進行驗證，況且項數只能是3的倍數，如果項數不是3的倍數，規律無法進行下去。

二、模式識別中的數學經驗再生

模式識別是推理意識的生成階段，即通過對新信息與已有的知識庫中存貯的信息之間的匹配來達到。通過對特殊的考查而產生規則，建構新的模式，抽取對象間的數量關系的意義并應用新規則做出預測，確定下一個是什么。體會新信息和已有經驗之間存在著聯系狀態是推理意識發展的重要基礎，也是有序開展推理的前提保證。從一般到特殊，從個性中發現共性，是數學推理的重要動力。教師應引導學生依據已有的數學知識經驗，組合共同屬性，概括本質特征，抽取數量關系建構新模式過程，實現數學經驗再生。推理意識生成中，數學經驗遵循內在脈絡，建立結構連續，溝通方法聯系，實現循環上升，再生思維邏輯線索。學生推理意識逐步生成過程是數學經驗提高再生過程，同時也是學生邏輯推理素養逐步提升過程。

在教學蘇教版小學五年級上冊“多邊形的面積”時，有學生提出，將平行四邊形轉化為長方形，三角形和梯形轉化為平行四邊形，由已知圖形面積計算公式推導出未知圖形面積計算公式。有學生認為，在長方形、平行四邊形、三角形和梯形面積公式推導過程中，無論是拼接，還是割補，都采用了轉化的策略。教師適時點撥學生：可以從梯形的面積計算公式推導出其他多邊形的面積計算公式嗎？

學生1提出，把平行四邊形看成上、下底相等的梯形，平行四邊形面積=底×高=(上底+下底)×高÷2。

學生2提出，把三角形看成上底是0的梯形，三角形面積=底×高÷2=(0+下底)×高÷2。

學生3提出，把長方形看成上下底邊相等且鄰邊互相垂直的梯形，長方形面積=長×寬=(上底+下底)×高÷2。

學生4提出，多邊形圖形的面積計算公式之間是相互關聯的，在一定條件下，長方形、平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式可以整合成一個面積計算公式，多邊形面積=(上底+下底)×高÷2。

經驗具有一定連續性和方向性，每一種經驗都取之于以往經驗，同時也以某種方式改變或重組以后經驗。學生充分調動已有數學經驗，將長方形、平行四邊形、三角形與梯形面積計算公式進行匹配，應用抽取組合方式對多邊形面積計算公式進行推理驗證，多維呈現問題解決成果。只有對多邊形本質特征以及各種圖形之間內在關聯深刻把握，學生才會靈活運用轉化策略解決問題，實現數學經驗再生。當學生再生推導多邊形的面積公式時，都是采用轉化的數學經驗；學生再生不同多邊形的面積計算公式可以轉化為一個通用面積計算公式的數學經驗。學生從“組合”的視角溝通梯形與長方形、三角形、平行四邊形面積計算公式之間的意義聯系，感悟圖形面積計算公式之間的關聯，生成完善的推理意識。師生強調轉化數學思想的體會運用，注重數學經驗再生，為推理意識的發展做好了準備。

三、假設形成中的數學經驗再生

假設形成是推理意識的發展階段，即對規則進行調整修正，溝通差異，通過不斷反饋而找到猜想。猜想是學生在學習過程中依據已有知識經驗和現有情境信息，運用聯想和轉化方式，充分發揮想象和創造,對所要解決的問題提出初步設想。猜想建立在科學理論和客觀事實的邏輯推理上，對解決問題的方案提供了預測方向,為信息分析和運用勾勒了清晰模式。學生不斷選擇、反思、完善，論證推理猜想過程，就是針對數學現實問題，科學地選取探究方法，優化再生數學經驗，從而實現推理意識發展過程。教師需要給學生提供調動已有知識經驗進行驗證的機會，讓學生經歷發現問題、尋找支持、證據反駁、修改觀點等推理過程，在猜想過程中掌握數學對象的模式關系。

在學完乘法分配律后，教師引導學生思考除法中是否存在分配律。

學生1：36÷3+36÷9中，采用36÷3+36÷9計算，結果是16,采用36÷(3+9)計算，結果是3，除法中不存在分配律。

學生2：42÷7+14÷7=(42+14)÷7=56÷7=8中，無論42÷7+14÷7，還是(42+14)÷7，結果都是8，除法中存在分配律。

教師引導：同樣是除法算式，為什么出現不同的猜想？

學生3：除數不同，平均分的份數就不同，先分后合或先合后分，結果不同；除數相同，平均分的份數就相同，先分后合或先合后分，結果相同。

學生4：除法中要區分被除數和除數是否相同，以及先分后合還是先合后分，來靈活選擇分配律。

在除法里是否存在分配律的探究中，學生通過調動自身已有知識經驗，敏銳地形成除法中存在兩種不同的猜想，為推理的開展指明了方向。除法分配律猜想的形成，拓展了分配律原有的范圍，將互為逆運算關系的乘法與除法進行相互轉化，實現運算性質有效傳遞。針對除法分配律真假兩個命題，學生不斷辯證理解算理。假設形成時，學生再討論除法中除數不同時，先合后分和先分后合結果完全不同的數學經驗。推理驗證時，學生再討論某種條件下除法與乘法可以相互轉化的數學經驗。猜想可能正確、錯誤、零散、模糊，但也是推理意識發展必不可少環節。學生能夠在體驗推理猜想嚴密性中感受猜想可靠，再生數學經驗，逐步發展推理意識。

四、模式抽象中的數學經驗再生

模式抽象是推理意識的完善階段，是把所有經驗事例與想象事例當作一個整體加以考查，舍棄那些不可重疊的可變部分，而保留那些可重疊的不變部分，以形成“全局性假設”的認知過程。[6]隨著被感知的數學信息量增加，數學對象普適性規律逐漸顯現，從而形成以抽象結構為特征的量化模式。如果學生學會應用普適性規律對數學問題進行邏輯驗證，感受到推理的條理與嚴謹，有效呈現數學模式，這表明學生在具體應用中感受到邏輯推理的價值，真正形成了推理意識。學生主動將外在數學信息組成量化模式，再生全局性假設的模式抽象經驗。在模式抽象和再生經驗相輔相成過程中，推理意識得到全局性發展。

在教學蘇教版小學五年級下冊“2、3、5倍數的特征”時，師生探討2、3、5的倍數是否具有相同特征。

學生1：2和5的倍數根據個位上的數進行判斷，3的倍數根據各數位上的數字之和進行判斷，2、3、5的倍數特征不具有一致性。

教師引導：各數位上的數字之和指的是什么意義？

學生2：如281=200+80+1=2×100+8×10+1=2×(99+1)+8×(9+1)+1=2×99+2+8×9+8+1=(2×99+8×9)+(2+8+1)，(2+8+1)中的2、8、1是各數位上表示的數除以3之后的余數。各數位上的數字之和，其實指的是各數位上表示的數除以3之后的余數之和。

學生3：2和5的倍數也可以根據余數之和的方法來進行判斷。如281=200+80+1=2×100+8×10+1=2×100+0+8×10+0+1=(2×100+8×10)+(0+0+1)，0、0、1是各數位上表示的數除以2或5之后的余數。

學生4：一個多位數除以2或5的余數都是0，采用余數之和方法計算時，0忽略不計，只需判斷個位上的數即可。2、3、5的倍數具有相同“看余數之和”特征。

2、5和3的倍數需分別根據個位上的數和各數位上的數字之和進行判斷，是學生對倍數特征的感性認識。這種感性認識是局部的，只是根據倍數特征一致性關系的局部印象形成的，沒有在精確區分倍數結構性特征基礎上進行。學生根據“位值制”，依據運算定律把多位數進行轉化和改寫，經歷了2、3、5的倍數特征需看各數位余數之和的推理過程，抽象了不同的倍數普適性數學模式，再生倍數特征本質是各數位上表示的數除以這個數之后的“余數之和”數學經驗，形成了關于倍數知識全局性認識。

學生能夠在體驗模式抽象嚴密性中，合理運用“位值制”原理，逐步完善推理意識。在這個過程中，學生再從具體表象中抽象出結構模式的數學經驗，在思維深度上發展邏輯推理素養。

數學推理意識的形成是一個長期過程，教師需要在實際教學過程中，引導學生經歷數值定向、模式識別、假設形成和模式抽象四個認知過程，依次再生觀察操作、組合概括、轉化假設和抽象結構數學經驗。學生在由已知向未知的推理過程中，形成科學的推理品質，再生運用推理解決問題的經驗，發展邏輯推理核心素養。