甘油連續生物歧化過程的狀態反饋最優控制

徐恭賢,王雨竹,李竹茜

(渤海大學 數學科學學院， 遼寧 錦州 121013)

0 引言

1,3-丙二醇在化工、食品、化妝品和制藥等行業中具有廣泛的應用[1-3]。目前，國內外研究人員主要以羅伊氏乳桿菌、克雷伯氏桿菌、脫氮假單胞菌、丁酸梭菌等歧化甘油的微生物發酵法來生產1,3-丙二醇。Menzel等[4]指出，克雷伯氏桿菌歧化甘油生產1,3-丙二醇過程中存在著明顯的振蕩、抑制等非線性現象。Zeng等[5]，修志龍等[6]和Sun等[7]先后應用過量動力學模型描述了甘油生物歧化過程中的過量代謝特性、多態現象以及酶催化與基因調控動力學。通過應用代謝工程原理與方法，文獻[8-11]提高了產物1,3-丙二醇的生產強度。針對生物系統存在的參數與模型不確定性問題，徐恭賢等[12]和Zhu等[13]分別應用H∞與μ分析方法，研究了甘油連續微生物發酵系統的魯棒控制，取得了較好的控制效果。Xu等[14]和Paranhos等[15]給出了甘油生物歧化過程過量動力學系統、酶催化系統以及基因調控系統的非線性優化模型與求解算法，取得了良好的應用效果。為了推斷克雷伯氏桿菌歧化甘油過程的代謝目標，徐恭賢等[16]和Xu等[17]提出了多層規劃模型，并給出了有效的求解算法。應用表明，該類方法可以獲得更好的計算結果。Yuan等[18]研究了甘油生物歧化系統的最優控制問題，但該項研究工作沒有給出控制變量與系統狀態(或輸出)變量之間的閉環關系，因此最優控制屬于開環控制。貝泓涵等[19]研究了微生物連續發酵生產1,3-丙二醇過程的線性反饋最優控制，但其給出的方法與計算結果存在如下問題：① 未能給出高質量的最優解，主要體現在目的產物1,3-丙二醇的濃度最優值較低，見本文結果分析與比較部分的表3；② 設計的反饋控制不在約束范圍內，見文獻[19]的圖1，原因是在尋找最優反饋控制參數時沒有考慮控制變量的有界性。因此有必要給出新的反饋控制模型與方法。基于以上分析，提出適于甘油連續生物歧化過程的狀態反饋最優控制模型及其有效求解算法，取得了較好的應用效果。

1 甘油連續生物歧化過程的數學描述

基于文獻[20]，應用如下非線性常微分方程系統描述甘油連續生物歧化過程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

t∈[0,T]

(11)

MX(0)=MX0

(12)

MS(0)=MS0

(13)

MPD(0)=MPD0

(14)

MHAc(0)=MHAc0

(15)

MEtOH(0)=MEtOH0

(16)

式(1)—(16)中：MSF為進料甘油的濃度，mmol·L-1；d為稀釋速率，h-1；MX為生物量，g·L-1；MS為反應器中甘油的濃度，mmol·L-1；MPD為產物1,3-丙二醇的濃度，mmol·L-1；MHAc為產物乙酸的濃度，mmol·L-1；MEtOH為產物乙醇的濃度，mmol·L-1；MX0、MS0、MPD0、MHAc0和MEtOH0為初始濃度；t為時間，h；T為終端時刻，h；μX為比生長速率，h-1；qS為比消耗速率，mmol·g-1·h-1；qPD、qHAc和qEtOH為產物的比生成速率，mmol·g-1·h-1。

2 最優控制模型

針對甘油連續生物歧化的非線性常微分方程系統(1)—(16)，以最大化終端時刻t=T時目的產物1,3-丙二醇濃度MPD(T)為優化性能指標，以稀釋速率d和進料甘油濃度MSF為控制變量，提出了如式(17)—(35)所示的最優控制模型。其中，式(29)—(33)是MX、MS、MPD、MHAc和MEtOH的取值范圍；式(34)—(35)是控制變量d和MSF的取值范圍，式(34)的引入是為了防止反應過程發生“洗出”現象。

maxMPD(T)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

t∈[0,T]

(23)

MX(0)=MX0

(24)

MS(0)=MS0

(25)

MPD(0)=MPD0

(26)

MHAc(0)=MHAc0

(27)

MEtOH(0)=MEtOH0

(28)

0.001≤MX≤10

(29)

0≤MS≤2 039

(30)

0≤MPD≤939.5

(31)

0≤MHAc≤1 026

(32)

0≤MEtOH≤360.9

(33)

0.05≤d≤0.5

(34)

100≤MSF≤2 039

(35)

3 狀態反饋最優控制

在甘油連續生物歧化過程的非線性常微分方程系統(1)—(16)中，影響目的產物1,3-丙二醇形成的主要因素有2個，1個是控制變量稀釋速率d和進料甘油濃度MSF，另1個是生物量MX和反應器中甘油濃度MS。因此，設計如下狀態反饋控制：

(36)

式(36)中，K∈R2×2為反饋增益矩陣，可表示為

其中，反饋參數k11、k12、k21和k22的取值范圍為

將式(36)代入式(17)—(35)中得動態優化問題(記為DOP1)：

maxMPD(T)

(k11MX+k12MS)MEtOH

式(23)—(33)中:

0.05≤k11MX+k12MS≤0.5

100≤k21MX+k22MS≤2039

4 求解方法

為敘述方便，設

x=(x1,x2,x3,x4,x5)T=

(MX,MS,MPD,MHAc,MEtOH)T

y=(y1,y2,y3,y4)T=

(k11,k12,k21,k22)T

f(x(T),y,T)=x3(T)

g1(x,y)=μXMX-(k11MX+k12MS)MX

g2(x,y)=(k11MX+k12MS)·

(k21MX+k22MS-MS)-qSMX

g3(x,y)=qPDMX-(k11MX+k12MS)MPD

g4(x,y)=qHAcMX-(k11MX+k12MS)MHAc

(k11MX+k12MS)MEtOH

g(x,y)=(g1(x,y),g2(x,y),g3(x,y),

g4(x,y),g5(x,y))T

p1(x,y)=y1x1+y2x2

p2(x,y)=y3x1+y4x2

x0=(MX0,MS0,MPD0,MHAc0,MEtOH0)T

則動態優化問題DOP1可表示為如下形式(記為DOP2)：

maxf(x(T),y,T)=x3(T)

x(0)=x0

x≤(10,2 039,939.5,1 026,360.9)T

x≥(0.001,0,0,0,0)T

0.05≤p1(x,y)≤0.5

100≤p2(x,y)≤2 039

yl≤y≤yu

t∈[0,T]

由于問題DOP2中含有復雜的狀態方程dx/dt=g(x,y)，故基于有限元配置形式先將其離散化。

將[0,T]劃分為m個有限元

[ηi,ηi+1],i=1,2,…,m

其中，0=η1<η2<…<ηm<ηm+1=T。則dx/dt=g(x,y)在有限元[ηi,ηi+1]上的解可近似表示為

其中：xLx(t)為拉格朗日多項式，xLx(tij)=xij；Lx表示[ηi,ηi+1]上狀態變量x(t)的配置點個數。將xLx(t)代入dx/dt=g(x,y)中，可得

(37)

令tik=ηi+Δηiδk，Δηi=ηi-ηi+1，δk∈[0,1]，則式(37)可進一步化為

根據以上推導與分析，將動態優化問題DOP2轉化為如下非線性規劃問題(記為NLP1)：

maxf(x(T),y,T)=x3(T)

i=1,2,…,m；k=1,2,…,Lx

x10=x0

xLx(tij)≤(10,2 039,939.5,1 026,360.9)T

i=1,2,…,m；j=0,1,…,Lx

xLx(tij)≥(0.001,0,0,0,0)T

i=1,2,…,m；j=0,1,…,Lx

0.05≤p1(tij,xij,y)≤0.5

100≤p2(tij,xij,y)≤2 039

yl≤y≤yu

非線性規劃問題NLP1是一個具有多變量和約束條件的大規模優化問題，為了有效求最優解，提出如下算法對其進行求解。

算法1：

步驟1給定計算次數n。令迭代次數w=1;

步驟2在第w(w≥1)次迭代，隨機產生初始可行點，應用內點法求解非線性規劃問題NLP1，令最優解為u(w)，目標值為f(w)；

步驟3若w=n，則停止迭代，轉步驟4；否則令w=w+1，轉步驟2；

采用多初始點策略可以有效解決內點法初始點難以確定的問題，改善內點法的求解效率。

5 結果與比較

在甘油連續生物歧化過程的狀態反饋控制中，各物質的初始濃度分別取為MX0=0.1 g·L-1，MS0=400 mmol·L-1，MPD0=0 mmol·L-1，MHAc0=0 mmol·L-1和MEtOH0=0 mmol·L-1；終端時刻取為T=100 h；反饋控制參數的取值范圍取為

0≤k11≤1 000

0≤k12≤1 000

0≤k21≤1 000

0≤k22≤1 000

通過算法1可得目的產物1,3-丙二醇濃度的最優值為MPD(T)=546.121 499 mmol·L-1，相應的最優反饋控制參數如表1所示。表2給出了終端時刻T=100 h時各控制變量以及各物質濃度的最優值。

表1 最優反饋控制參數

表2 T=100 h時變量的最優值

表3為本文算法與文獻[19]方法的計算結果比較，其中各物質的初始濃度分別取為MX0=0.1 g·L-1，MS0=400 mmol·L-1，MPD0=0 mmol·L-1，MHAc0=0 mmol·L-1和MEtOH0=0 mmol·L-1；終端時刻取為T=100 h。可見，本文獲得的目的產物1,3-丙二醇的濃度為546.121 499 mmol·L-1，是文獻[19]方法結果的1.279 463倍，說明本文方法具有更好的尋優性能。

表3 本文方法與文獻[19]方法的計算結果

在狀態反饋控制器的作用下，各控制變量以及各物質濃度隨時間的變化曲線如圖1—7所示，從圖中可以看出，各變量均在給定的約束范圍內。

圖1 控制變量(稀釋速率d)曲線

圖2 控制變量(進料濃度MSF)曲線

圖3 生物量(MX)曲線

圖4 甘油濃度(MS)曲線

圖5 1,3-丙二醇濃度(MPD)曲線

圖6 乙酸濃度(MHAc)曲線

圖7 乙醇濃度(MEtOH)曲線

6 結論

研究了甘油連續生物歧化過程的狀態反饋最優控制。以最大化終端時刻目的產物1,3-丙二醇濃度為優化性能指標，提出了最優控制模型。通過設計線性部分狀態反饋控制器，將最優控制模型轉化為含反饋控制參數的動態優化問題，并提出有效算法對其進行求解，實現了甘油連續生物歧化過程的狀態反饋最優控制。本文算法獲得的產物1,3-丙二醇濃度的最優值為546.121 499 mmol·L-1，是已有方法結果的1.279 463倍，說明本文方法具有更好的尋優性能。