基本圖形的“威力”

文／江蘇省蘇州中學附屬蘇州灣學校陳鈺杰

雖然我們還沒有系統地學習過正方形，但我們在小學就知道正方形的4條邊相等，4個角都是直角，這些都為學習全等三角形提供了“天然條件”。最近，我又發現了一些關于它的有趣結論，證明過程有點難，都靠基本圖形幫的忙。

一、發現有趣結論

如圖1，已知正方形ABCD、正方形EFGC，連接BG、DE。結論1：若I是BG的中點，延長IC，交DE于H，則CH⊥DE；結論2：如果CH⊥DE，延長HC，交BG于I，則I為BG的中點。

圖1

二、回顧基本圖形

由余角、補角的定義，在圖2中有∠1+∠2=90°，在圖3中有∠3+∠4=180°。如圖4，我們在學習全等三角形時，遇到三角形中線（CI），常常延長CI至J，使JI=CI，連 接BJ。由“SAS”可 得△GCI≌△BJI，則有BJ=CG、∠J=∠ICG，進而有CG∥BJ，還可以得到∠JBC+∠BCG=180°等一連串的結論。

圖2

圖3

圖4

三、探討證明過程

結論1的思路：已知I是BG中點，在圖4的“喚醒”下，延長CI至J，使JI=CI，連接BJ（如圖5），得△GCI≌△BJI，則有BJ=CG、∠J=∠ICG、CG∥BJ、∠JBC+∠BCG=180°等結論。由圖3可知∠DCE+∠BCG=180°，所以得到∠JBC=∠DCE。由CE=CG，可知CE=BJ，還有BC=CD，所以由“SAS”得到△ECD≌△JBC，所以∠BCJ=∠CDE。因為∠BCD=90°，所以∠DCH+∠BCJ=90°，又因為∠BCJ=∠CDE，所以∠CHD=90°，即HI⊥DE。我們完成了結論1的探究之旅，接下來挑戰結論2吧！

圖5

因 為∠BCG+∠DCE=180°依 然 存在，同理可知∠BCJ+∠DCH=90°，結合CH⊥DE，得∠BCI=∠CDE，同 理 還 有∠GCI=∠DEC。因為△DCE與△CBI已有一邊一角對應相等，但不能證明它們全等，怎么辦？必須構造！面對∠BCG+∠DCE=180°，以及目標——求證的中點，在圖4的“喚醒”下，改變作輔助線的說法：過B作CG的平行線，交CI的延長線于J（如圖5）。因為BJ∥CG，所 以∠BCG+∠CBJ=180°，∠J=∠ICG，所以∠DCE=∠CBJ，由“ASA”證得△DCE≌△CBJ，易得BJ=CE。因為CE=CG，所以BJ=CG。由“AAS”可證得△CIG≌△JIB，得BI=IG，即I是BG的中點。

經過思維沖浪后，我發現，若無法直接證明三角形全等，則需要充分利用問題中的已知條件（有的不那么明顯，“藏”在基本圖形中）構造全等三角形，例如圖5中的“倍長中線”就是構造全等三角形的常作輔助線。

對于圖2，還可以“深加工”成圖6，我給它起了個名字叫作“三垂直”，以上兩個結論也可以用這個輔助線解決，小伙伴們試試吧！

圖6

總之，發現和運用基本圖形是解決復雜問題的關鍵，你們說是不是？

教師點評

小作者以一個經典的圖形為視角，剝離分解復雜圖形中的基本圖形，并充分運用已知條件或待證結論構造全等三角形，說明他具有較好的空間觀念與較強的邏輯推理能力。積累、發現、運用基本圖形是學好幾何的關鍵，同學們準備好了嗎？