“講”行軍故事，“話”全等三角形

文／周晶晶

相傳甲、乙兩軍交戰，因不知河寬，甲軍大炮很難瞄準對岸敵營。一個聰明的甲軍士兵站在正對敵營的河岸邊，調整帽檐，使視線恰好擦著帽檐看到對面乙軍軍營，然后他轉過身，保持剛才的姿態，這時視線通過帽檐落在了自己所在河岸的某一點上，則該點與士兵的距離為兩軍之間距離。這個士兵的判斷正確嗎？

如圖1，我們把這個實際問題轉化成數學問題。其中，PO表示士兵身高，是△POA與△POQ的公共邊。因士兵保持姿態不變轉身，則視線和身高的夾角不變，即∠OPA=∠OPQ，且其身體與地面垂直，則∠POA=∠POQ=90°，根據“ASA”可得△POA≌△POQ，則有OA=OQ，所以這個士兵的判斷正確。

圖1

忙活半天的士兵口渴了，把一個口徑似圓柱狀的水壺里的水喝完。如果他想知道喝了多少水，怎么辦？

士兵想知道飲水量，即求水壺體積。水壺接近圓柱體，由圓柱體積公式V=πr2h可求，故而還需要求水壺的內徑和高。高易測量，但水壺內徑怎么求？如圖2，聰明的士兵找來兩根木條，確定它們的中點，并把中點固定于點O，木條可以繞中點轉動，然后放到水壺的底部，只要量出水壺外面的木條兩端之間的距離CD即可。理由：因為CO=BO，DO=AO，∠COD=∠BOA，根據“SAS”可得△COD≌△BOA，則有DC=AB。

圖2

回顧故事中的數學，我們學會先用數學的眼光看世界，把實際問題轉化成數學問題；然后用數學的思維思考世界，思考該用什么樣的數學知識來解決問題。無論是測河的寬度還是壺的內徑，其實都是在解決同一個問題——測不能直接測量的兩點間的距離。我們運用數學的知識轉化后再測量，構造全等三角形解決問題，這就是用數學的語言來表達世界。