“倍長中線”的“源”點(diǎn)
——中點(diǎn)

文／武益燕

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等這一性質(zhì)，決定了全等三角形是轉(zhuǎn)化線段、角的有力“武器”。可在解決問題的過程中，常常事與愿違——沒有全等三角形。那我們?nèi)绾无D(zhuǎn)化呢？

例如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線。求證：AB+AC＞2AD。

圖1

【分析】要證“AB+AC＞2AD”，我們?nèi)菀茁?lián)想到“三角形兩邊之和大于第三邊”。而AB、AC、AD不是同一個(gè)三角形的邊，因此，我們可以轉(zhuǎn)化線段，將它們集中到同一個(gè)三角形里面。由“AD為邊BC上的中線”可知，BD=CD。我們可以嘗試延長AD，構(gòu)造對(duì)頂角，則有一組邊和一組角相等，再適當(dāng)構(gòu)造一組相等的邊或角，全等就在眼前！比如，如圖2，延長AD到點(diǎn)E，使得DE=AD，無論是連接BE還是CE，都能得到“八字形”全等，從而構(gòu)造出我們要求的三角形。

圖2

把結(jié)論中的三邊集中到同一個(gè)三角形，構(gòu)造全等是解決本題的關(guān)鍵！怎么想到作輔助線？唯一的條件“中線”就是突破口。“中線”代表一組邊相等，延長中線，便出現(xiàn)對(duì)頂角，延長中線一倍，便構(gòu)造出“八字形”全等。我們不妨把這種方法叫作“倍長中線”，以便理解和記憶。

變式訓(xùn)練如圖3，AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，則（）。

圖3

A.BE+CF＞EFB.BE+CF=EF

C.BE+CF＜EF

D.BE+CF與EF的大小關(guān)系不確定

【分析】若按照例題的方法，我們能構(gòu)造出全等三角形，但無法轉(zhuǎn)化線段BE、CF、EF，故此構(gòu)造無效。因此，我們需要理解本題的本質(zhì)。其中D是中點(diǎn)，則BD=CD，若轉(zhuǎn)化CF，應(yīng)延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG，如圖4。根據(jù)兩次全等：△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，便能實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)化，最終在△BEG中運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決問題。

圖4

相信你能想到也可以構(gòu)造全等轉(zhuǎn)化BE，殊途同歸！抓住本質(zhì)，合理構(gòu)造，就如“倍長中線”的本質(zhì)不是“中線”，而是“中點(diǎn)”一樣。