享受思維“沖浪”逐層認識“全等”

文／姜鴻雁

經過七年級的學習，同學們一定對一些平面幾何圖形有了初步認識，比如線段、角、三角形、平行線等，也初步明白了幾何研究的對象是圖形，知道了既要研究圖形的定義、性質、判定和應用，還要研究圖形與圖形之間的數量關系、位置關系等。這些是幾何學習的“原材料”。我們在發現全等、證明全等、應用全等、圖形變換、構造全等的思維沖浪過程中，將逐步深入認識全等三角形。

一、發現全等——識圖能力的考驗

識圖能力的培養從我們進入幾何大門的那一刻便已開始。全等三角形的學習，對同學們識圖能力的要求隨之提高。例如，如圖1，點C在線段AB上，且CE=CA，CF=CB，∠ACE=∠FCB=60°，連接AF、BE相交于點P，分別交CE、CF于點M、N。

圖1

同學們能看出圖中有幾對全等三角形嗎？怎樣識圖不易遺漏呢？首先，我們要會給線段或角找到“家”，也就是一條線段或一個角是哪個或哪些三角形中的元素。比如，線段AC既在△ACE中，還在△ACF、△ACM中；∠1既在△ACF中，又在△ACM中。其次，要關注“深藏”的等角或等邊。比如，本題中“藏著”的∠ACE=∠MCN=∠FCB=60°。最后，你一定遇到過公共角、對頂角、直角（都相等）、公共邊、線段中點（平分線段）等這些全等的“自然資源”吧？

識圖不僅在數學內部，對生活中的一些現象，也要能抽象成數學圖形。比如，在生活中，我們常常看到人們用大拇指指尖和中指指尖測量兩點間的距離，這個距離叫作“拃”（如圖2）。你看到其中的幾何圖形了嗎？同學們要慢慢學會用數學的眼光看世界。

圖2

二、證明全等——推理能力的提升

歐幾里得的巨著《幾何原本》，是從五個公理出發，通過一個個嚴密的推理建成幾何的大廈，體現了推理的力量，彰顯了數學的理性。因此，僅在復雜的圖形中發現全等三角形還不夠，我們還需要運用全等三角形的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）加以證明，才具有說服力。例如，在圖1中，用“SAS”證得△ACF≌△ECB，由它生發的∠1=∠2是△ACF≌△ECB的一個性質，也是△ACM≌△ECN的判定條件之一，其他全等三角形的證明也水到渠成。

生活中，人們為什么能用“拃”測量兩點之間的距離呢？看了圖3，相信你一定會恍然大悟！學習是“知其然，知其所以然”的過程，同學們要慢慢學會用數學的思維思考世界。

圖3

三、應用全等——應用意識的覺醒

全等三角形的對應邊相等、對應角相等、面積相等……這些性質是證明兩條線段相等、兩個角相等的有力“武器”，同時，也是進一步學習其他重要幾何定理的保障。例如，在圖1中，只有先由△ACF≌△ECB證得∠1=∠2，才能證明△ACM≌△ECN。本題還可以通過求∠EPA證明CM=CN，動手試試，相信你一定行！

根據圖1中的已知條件，結合小學的經驗，你一定能猜到△ACE、△CBF是等邊三角形。但是它們為什么是等邊三角形？依據什么定理？未來，同學們將以全等三角形為依托，學習與等邊三角形有關的定理，所以說，全等三角形是幾何大廈中的一塊重要的“奠基石”。

在實際生活中，全等三角形也有廣泛的運用。同學們要慢慢學會用數學的“語言”（比如，圖形及圖形之間的關系）表達世界。

四、圖形變換——靜中見動的智慧

平移、翻折、旋轉改變的是圖形的位置，不變的是形狀與大小，變換前后的兩個圖形全等。因此，我們看到的一對對全等三角形是靜止的，但也是靈動的。

例如，在圖1中，CA、CE是等邊△ACE的兩條邊。我們既可以把CA看成繞點C順時針旋轉60°，得到CE，也可以把△ACF看成繞著點C順時針旋轉60°，得到△ECB。你還能看出其他全等三角形的變換方式嗎？以后我們還將學習以平面直角坐標系為依托，從“數”的角度刻畫“形”的變換。

未來，我們還要學習只改變圖形大小，不改變圖形形狀的變換——相似變換。例如，在圖1中，我們可以認為等邊△ACE是繞著點C順時針旋轉120°，并按一定比例縮小得到等邊△FCB。全等是相似的特例，學好全等可以為未來學習相似奠定基礎。

五、構造全等——從無到有的創見

再看圖1，連接PC，你能證明PC平分∠APB嗎？顯然∠APC、∠BPC無論放在哪兩個三角形中，都沒有全等，怎么辦？構造全等！如圖4，作CH⊥AF、CG⊥BE，垂足分別為H、G。CH、CG還可以看成△ACF、△ECB對應邊AF、BE上的高（又是識圖能力的考驗），相信同學們一定能想到用“HL”證明Rt△PHC≌Rt△PGC。因此，構造全等是基于對已知條件、待求目標以及全等變換等因素綜合分析的結果。

圖4

發現、證明、應用、變換、構造，由淺到深的思維歷程不僅僅是我們學習全等三角形所要經歷的，也是認識、研究其他幾何圖形需要經歷的。同學們，你們將從全等三角形這章開始，插上幾何學習騰飛的翅膀！