基于特征值高階矩的頻譜感知增強技術

李 賀，趙文靜，金明錄，*

（1.大連理工大學信息與通信工程學院，遼寧 大連 116024；2.電子科技大學信息與通信工程學院，四川 成都 611731）

0 引 言

隨著物聯網等技術的快速發展，大量無線設備接入導致對頻譜資源的需求呈爆炸性增長。固定頻譜分配策略對頻譜資源使用效率低，難以滿足日益增加的頻譜需求［1-4］。因此，未來無線通信需通過擴展通信頻譜范圍（至毫米波頻段）及動態頻譜共享技術（認知無線電技術）解決頻譜資源匱乏及頻譜利用率低的問題［5-9］。

認知無線電技術通過頻譜復用或頻譜共享提高頻譜利用率。在認知無線電網絡中，當主用戶沒有利用其授權頻譜時，認知用戶可以通過該頻譜進行通信。為了實現該目的，認知用戶需要對主用戶的授權頻段的占用狀態進行確認，即檢測主用戶信號存在與否，該過程稱為頻譜感知。當主用戶正在使用當前授權頻段時，為了不對主用戶產生干擾，認知用戶需要以較高的檢測概率判斷主用戶的激活狀態，并在一定的時間內清空信道或降低傳輸功率。因此，設計高效可靠的頻譜感知技術一直是實現認知無線電技術的重中之重［10-14］。

目前，頻譜感知方法主要分為最優檢測、半盲檢測及盲檢測方法3類。這些方法在不同的實現條件及要求下具有不同的性能。眾所周知，匹配濾波方法是最優檢測的代表。然而，其最優性能是以每一個認知用戶滿足同步，且已知主用戶和噪聲的先驗信息為先決條件，這些因素限制了該方法在實際場景中的應用［15-17］。

與最優檢測算法相比，半盲檢測算法只需已知噪聲功率。能量檢測（energy detection，ED）算法是典型的半盲檢測算法［18-21］。ED算法不需要主用戶的先驗信息且易于實現。ED算法對于獨立同分布信號具有最優的檢測性能，但對于相關信號的檢測性能下降。在實際場景中，信號功率由于多徑衰落及遮蔽現象產生波動，造成信噪比低，進而導致ED算法的性能嚴重退化。此外，實際噪聲隨時間不斷變化，產生噪聲不確定性問題，使得ED算法的虛警概率大幅提高。

為了解決這些問題，一些不依賴于信號和噪聲先驗信息的全盲檢測算法被相繼提出。例如，基于特征值的檢測算法通過利用信號間的相關性提高了檢測概率［22-23］。典型的特征值檢測算法包括最大最小特征值（maximum-minimum eigenvalue，M ME）檢測算法［22］、最大特征值 算術平均值（maximum eigenvalue to the arithmetic mean，ME-AM）檢測算法［24-25］、最大特征值 幾何平均值（maximum eigenvalue to the geometric mean，ME-GM）檢測算法［26］等。由于協方差矩陣的特征值能夠較好地捕捉信號的相關性及噪聲特性，這幾種算法在低信噪比下具有較好的檢測性能，且能克服噪聲不確定問題。

這些基于特征值的檢測算法設計依賴于隨機矩陣理論和樣本協方差矩陣的特征值特性［27］。文獻［28］及其參考文獻表明，使用特征值的高階矩可以提供額外的鑒別信息進而能夠改善統計推斷問題的性能。Sedighi等基于分離函數估計測試框架，利用樣本協方差矩陣特征值的高階矩，提出了兩個全盲特征值檢測器［29］。Huang等基于隨機矩陣理論，提出了一種特征值矩比（eigenvalue moment ratio，EMR）的頻譜感知方法［30］。這些算法均表明利用特征值的高階矩有利于提高信號檢測問題的性能。

本文將從經典的ME-AM 算法開始，研究了基于特征值高階矩的新的檢測算法設計問題。利用所有特征值的p階矩，本文提出了新的基于特征值高階矩的頻譜感知增強算法，并給出了虛警概率和判決門限的解析表示，通過仿真實驗分析了特征值高階矩冪次p的變化對檢測性能的影響，仿真結果表明了新的基于特征值高階矩的頻譜感知增強技術的有效性。

1 系統模型

圖1展示了多天線認知無線電網絡中的典型場景，其中有P個單天線主用戶（primary user，PU），1個配有M個接收天線的認知用戶用于感知主用戶是否存在。圖中還包含次用戶（secondary user，SU）。

本質上，頻譜感知問題是對主用戶信號的檢測，不失一般性，對于主用戶的感知問題可以轉化為如下的二元假設檢驗問題：

式中：H0表示主用戶信號不存在；H1表示主用戶信號存在；sj為第j個主用戶發送的信號，w m（n）為噪聲，其服從均值為0，方差為的高斯分布，即w m（n）～CN（0）；hmj為認知用戶的第m個接收天線與第j個主用戶之間的信道響應；D p為信道階數。

第n個采樣時刻的數據表示為

接收向量可以表示為矩陣形式：

考慮N個采樣序列，接收信號的樣本協方差矩陣可以表示為

2 基于特征值高階矩的頻譜感知算法

本節首先簡單介紹幾種典型的基于特征值的頻譜感知方法，然后利用特征值檢測的優勢提出了新的特征值檢測方法。

2.1 經典的頻譜感知方法

全盲檢測算法因不依賴于信號和噪聲功率信息而受到廣泛關注，其中ME-AM 和ME-GM 檢測方法是兩種典型的盲感知方法。

（1）最大特征值與特征值的算術平均方法

針對噪聲功率及信道未知情況，文獻［24］利用廣義似然比準則（general likelihood ratio test，GLRT）推導了基于特征值的檢測算法，其檢測統計量表示為

式中：λi表示樣本協方差矩陣的特征值；λmax為最大特征值。仿真實驗表明ME-AM檢測方法在瑞利衰落信道下具有比MME等方法具有更好的檢測性能。

（2）最大特征值與特征值的幾何平均方法

ME-AM算法是在假設信道狀態服從瑞利分布條件得出的，當該條件不滿足，其性能受到影響。對此，為了提高認知用戶在其他信道狀態下對主用戶信號的檢測能力，一些檢測方法應運而生。例如，文獻［18］針對Nakagami-m衰落信道設計了ME-GM方法。ME-GM檢測方法的檢測統計量表示為

（3）基于特征值矩的典型方法

文獻［29-30］提出了基于特征值矩的檢測算法，其檢驗統計量表示如下：

2.2 基于特征值高階矩的頻譜感知增強技術

使用特征值的高階矩可以提供額外的鑒別信息來改善統計推斷問題的性能。因此，本文考慮基于特征值的p次冪的檢測算法，稱為MEp-AM檢測算法，其檢驗統計量為

式中：0＜p＜∞。

在H0假設下，式（10）中的檢測統計量理論上趨于1，而在主用戶信號存在時，式（10）中的統計量大于1。因此，可以利用式（10）中的統計量判斷主用戶信號存在或不存在。

從式（10）可以看出，MEp-AM檢測算法是ME-AM 檢測算法的擴展形式，當p＝1時，MEp-AM 算法為ME-AM檢測算法。

所提算法的具體過程如下：

（1）根據式（4），計算樣本協方差矩陣。

（2）求解R r（N）的特征值λi（R r（N）），并計算特征值的p次冪。

（3）基于式（10）計算檢測統計量，并將其與門限進行比較判斷主用戶信號是否存在：當檢測統計量大于門限時，則表示H1成立，即主用戶處于激活狀態；否則，表示H0成立。

下文主要分析所提統計量TMEp-AM的統計分布，進而推導所提算法的檢測概率、虛警概率和門限的解析表達式。從式（10）可知，MEp-AM檢測算法的檢測統計量依賴于樣本協方差矩陣特征值的p次冪。當p為正整數時，文獻［30］基于隨機理論給出了特征值p次冪的漸近分布。當p為分數時，樣本協方差矩陣的特征值任意p次冪的漸近波動很難確定，目前沒有文獻給出特征值分數次冪的統計分布。因此，本文利用廣義極值分布擬合所提統計量的統計分布。

三參數的廣義極值分布函數表示如下：

其中，μ，σ和κ分別為廣義極值分布的位置參數、尺度參數和形狀參數。

廣義極值分布的累積分布函數表示為

圖2給出了當p分別為0.25，1，2，4時的所提統計量的經驗分布與擬合的廣義極值分布。從圖2可以看出，經驗分布與擬合分布幾乎重疊，這說明了廣義極值分布可以較好地近似所提統計量的統計分布。

圖2 檢驗統計量的經驗分布與擬合分布Fig.2 Empirical distribution and fitting distribution of test statistics

基于廣義極值分布，推導分析了所提算法的虛警概率、檢測概率和門限的解析表示。

虛警概率表示為

式中，μ0，σ0和κ0為H0下的估計參數。

利用虛警概率與門限的關系，可以得出門限的解析表達式：

類似于虛警概率推導，檢測概率表示為

式中：μ1，σ1和κ1為H1下的估計參數。

3 實驗結果及分析

本節通過仿真實驗驗證了所提MEp-AM算法的有效性。本文的一些仿真參數的設置與已有文獻類似，假設每個主用戶獨立發送二進制相移鍵控（binary phase shift keying，BPSK）信號，認知用戶接收天線數為4，采樣點數設為100，在每個設定的信噪比下進行10-000次蒙特卡羅仿真。

以p＝0.1，0.25，1，2為例，首先驗證了所給出的理論虛警概率和檢測概率的解析表示的正確性，結果如圖3所示。從圖3可以看出，理論計算與仿真結果差異較小，這說明了式（13）～式（15）給出的理論計算的正確性。

圖3 所提算法的理論虛警概率、檢測概率與仿真虛警概率、檢測概率的比較Fig.3 Comparison between theoretical false alarm probability and simulational results of the proposed algorithm.

因為ME-AM算法和ME-GM算法分別在瑞利平坦衰落和Nakagami-m平坦衰落信道上顯示出檢測優勢［31］，下面分別考慮這兩個信道場景進行仿真。仿真實驗中考慮復高斯白噪聲。虛警概率設為0.1，其是WRAN 802.22工作組規定的最大許可值。為保證比較的公平性，仿真中判決門限均根據虛警概率仿真確定。特征值的p次冪設置為p＝｛0.1，0.25，0.5，1，1.5，2，4，10｝。

3.1 瑞利平坦信道下的仿真

本文主要與文獻［29-30］中的基于特征值高階矩算法、ME-GM 和MME 算法進行對比。圖4～圖7 中SFET1、SFET2和EMR分別代表由式（7）、式（8）和式（9）的檢驗統計量設計的檢測算法。

首先，針對1個主用戶的場景下的檢測概率隨信噪比變化情況進行了仿真，結果如圖4所示。從圖4的結果可以看出，這些算法的檢測性能相差不大。但放大的子圖表明MEp-AM算法在p＝0.25時檢測性能最好，其次是ME-GM和ME-AM算法。此時，高階矩的其他算法沒有顯示出優勢。

圖4 1個主用戶時算法在瑞利衰落信道下的檢測性能比較Fig.4 Detection performance comparison of several algorithms for the scenario with one primary user and Rayleigh fading channel

圖5給出了3個主用戶場景下的仿真結果。當主用戶個數為3時，經典的高階矩檢測算法顯示出檢測優勢，其次是ME-GM檢測算法和MEp-AM 檢測算法。因為在此場景下，接收信號樣本協方差矩陣的特征值出現了分散，因此利用所有特征值的經典高階矩檢測算法顯示出其檢測優勢。

圖5 3個主用戶時算法在瑞利衰落信道下的檢測性能比較Fig.5 Detection performance comparison of several algorithms for the scenario with three primary users and Rayleigh fading channel

3.2 Nakagami-m平坦信道下的仿真

對于Nakagami-m平坦衰落信道，其信道系數h服從如下分布：

式中：m為信道衰落系數，設為1；Ω為平均信噪比。

圖6給出了1個主用戶場景下的仿真結果。與瑞利平坦信道情況類似，此時MEp-AM（p＝0.1，0.25）、ME-GM和ME-AM算法比經典高階矩檢測算法檢測性能略顯優勢。

圖6 1個主用戶時算法在Nakagami-m衰落信道下的檢測性能比較Fig.6 Detection performance comparison of several algorithms for the scenario with one primary user and Nakagami-m channel

當主用戶個數為3時，幾種算法的檢測概率隨信噪比變化情況如圖7所示。與瑞利平坦衰落情形類似，經典的高階矩檢測算法顯示出其檢測優勢，其次是ME-GM 檢測算法、MEp-AM（p＝0.1）檢測算法和ME-AM檢測算法。

圖7 3個主用戶時算法在Nakagami-m衰落信道下的檢測性能比較Fig.7 Detection performance comparison of several algorithms for the scenario with three primary users and Nakagami-m channel

4 結 論

基于特值的檢測算法設計依賴于使用隨機矩陣理論和樣本協方差矩陣的不同特征值性質。本文從經典的ME-AM算法出發，提出了新的基于特征值高階矩的頻譜感知增強算法，基于隨機矩陣理論，推導了所提算法的虛警概率和判決門限的解析表示，通過仿真研究了特征值高階矩冪次的變化對檢測性能的影響，仿真結果表明了所提算法的有效性。因為樣本協方差矩陣的特征值任意p次冪的漸近波動很難確定，MEp-AM 的檢測性能還不能從理論上進行分析，這也是今后的研究課題。