賞析考題 變式探究

江蘇省張家港市沙洲中學（215600）許秋峰

每年的高考真題都具有一定的典型性和創新性，認真研究高考真題的命題來源、一題多解、變式探究、引申推廣等非常重要。教師不僅要讓學生會做高考真題，還要引導學生賞析高考題的設計精妙之處，感悟命題者的獨具匠心。對高考題進行變式探究，可拓寬學生的解題思維，提高學生的綜合運用能力，提升學生的數學學科核心素養。

一、考題賞析

（2021 年高考數學新課標Ⅰ卷第15 題）函數f(x)=|2x-1|-2 lnx的最小值為___________。

綜上，必有f(x) ≥1，當且僅當x=1 時不等式取等號，故所求函數f(x)的最小值為1。

優解：（放縮法）根據對數函數切線不等式lnx≤x-1（當且僅當x=1 時不等式取等號），可得-2 lnx≥2 -2x（當且僅當x=1時不等式取等號）。

又因為|2x-1|≥2x-1（當且僅當2x-1≥0時不等式取等號），所以將這兩個同向不等式相加可得|2x-1|-2 lnx≥2x-1+2 -2x=1，即f(x) ≥1，當且僅當即x=1 時不等式取等號，故所求函數f(x)的最小值為1。

解題反思：當函數解析式涉及絕對值時，一般需要先去掉絕對值符號，再通過分析、利用函數的單調性，從而求出函數的最值，據此極易想到上述通解。

求解函數的最值時，若解析式涉及自然對數lnx，可考慮對數函數切線不等式lnx≤x-1（當且僅當x=1 時不等式取等號）在解題中的靈活運用，據此可獲得上述優解。

整體來看，本題設計較好，具有創新之意——構造函數解析式時，有意將熟悉的絕對值函數與對數函數綜合在一起，體現了新高考考試大綱的理念，即在知識點交匯處命題，著重考查考生分析問題和解決問題的能力以及綜合運用能力。

二、變式探究

常用的切線不等式有以下四個：①lnx≤x-1（當且僅當x=1 時不等式取等號）；②lnx≤當且僅當x=e 時不等式取等號）；③ex≥x+1（當且僅當x=0 時不等式取等號）；④ex≥ex（當且僅當x=1 時不等式取等號）。可結合如下圖像（如圖1和圖2）進行形象理解和準確記憶。

圖1

圖2

需要關注兩點：一是最基本的絕對值放縮：|x|≥x（當且僅當x≥0 時不等式取等號），|x|≥-x（當且僅當x≤0 時不等式取等號）；二是根據“同向不等式可相加”這一理論求解最值時，必須具體分析不等式中的“等號”能否真正取到。

結合上述理論知識，參考2021 年高考數學新課標Ⅰ卷第15題，可靈活設計如下變式題。

變式1：函數f(x)=|x-2|-e lnx的最小值為__________。

解法一（分類討論法）：當x≥2 時，因為f(x)=x-2 -e lnx，所以f′(x)=從而可知：當x＞e 時，f′(x) ＞0；當2 ≤x＜e 時，f′(x) ＜0。于是，函數f(x)在[)2,e 上單調遞減，在(e,+∞)上單調遞增。

當0 ＜x＜2 時，因為f(x)=2 -x-e lnx，所以f′(x)=故函數f(x)在(0,2)上單調遞減。

又注意到函數f(x)的圖像在x=2 處連續，所以可知：函數f(x)在(0,e)上單調遞減，在(e,+∞)上單調遞增，故所求函數f(x)的最小值為f(e)=-2。

解法二（放縮法）：根據對數函數切線不等式lnx≤x-1,lnx≤（當且僅當x=e時不等式取等號），可得-e lnx≥-x（當且僅當x=e時不等式取等號）。

又因為|x-2|≥x-2（當且僅當x-2 ≥0 時不等式取等號），所以將這兩個同向不等式相加可得||x-2 -e lnx≥x-2 -x=-2，即f(x) ≥-2，當 且僅當即x=e 時不等式取等號，故所求函數f(x)的最小值為-2。

變式2：函數f(x)=|2x+1|-2 ln(1 +x) 的最小值為________。

又注意到函數f(x)的圖像在x=處連續，所以可知：函數f(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，故所求函數f(x)的最小值為f(0)=1。

解法二（放縮法）：由對數函數切線不等式得ln(1 +x) ≤(1 +x) -1，即ln(1 +x) ≤x（當且僅當x=0 時不等式取等號），所以-2 ln(1 +x) ≥-2x（當且僅當x=0時不等式取等號）。

又因為|2x+1|≥2x+1（當且僅當2x+1 ≥0時不等式取等號），所以將這兩個同向不等式相加可得|2x+1|-2 ln(1 +x) ≥2x+1 -2x=1，即f(x) ≥1，當且僅當即x=0 時不等式取等號，故所求函數f(x)的最小值為1。

變式3：函數f(x)=|2x-1|+2ex的最小值為_______。

又注意到函數f(x)的圖像在x=處連續，所以可知：函數f(x) 在(-∞,0) 上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，故所求函數f(x)的最小值為f(0)=3。

解法二（放縮法）：根據指數函數切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0 時不等式取等號），可得2ex≥2x+2（當且僅當x=0時不等式取等號）。

又因為|2x-1|≥1 -2x（當且僅當2x-1 ≤0時不等式取等號），所以將這兩個同向不等式相加可得|2x-1|+2ex≥1-2x+2x+2=3，即f(x) ≥3，當且僅當即x=0 時不等式取等號，故所求函數f(x)的最小值是3。

變式4：函數f(x)=|x-2 |+ex-1的最小值為________。

解法一（分類討論法）：當x≥2 時，因為f(x)=x-2+ex-1，所以f′(x)=1+ex-1＞0，所以函數f(x)在[2,+∞)上單調遞增。

當x＜2 時，因為f(x)=2 -x+ex-1，所以f′(x)=-1+ex-1，從而可知：當1 ＜x＜2 時，f′(x) ＞0；當x＜1時，f′(x) ＜0。于是，函數f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,2)上單調遞增。

又注意到函數f(x)的圖像在x=2 處連續，所以可知：函數f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，故所求函數f(x)的最小值為f(1)=2。

解法二（放縮法）：根據指數函數切線不等式ex≥ex（當且僅當x=1 時不等式取等號），可得ex-1≥x（當且僅當x=1時不等式取等號）。

又因為|x-2 |≥2 -x（當且僅當x-2 ≤0 時不等式取等號），所以將這兩個同向不等式相加可得|x-2 |+ex-1≥2 -x+x=2，即f(x) ≥2，當且僅當即x=1 時不等式取等號，故所求函數f(x)的最小值為2。

變式5：函數f(x)=的最小值為________。

解析：本題是絕對值、指數函數、對數函數的綜合應用，不便于運用分類討論法進行求解，從而需要考慮應用放縮法。

根據指數函數切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0 時不等式取等號），可得3ex≥3x+3（當且僅當x=0時不等式取等號）①。

根據對數函數切線不等式得ln(1 +x) ≤(1 +x) -1，即ln(1 +x) ≤x（當且僅當x=0 時不等式取等號），所以-4 ln(1 +x) ≥-4x（當且僅當x=0 時不等式取等號）②。

三、備考策略

處理函數問題時，一方面要學會靈活運用函數的性質解題，具體包括構造函數，利用導數分析函數的圖像與性質，運用函數的圖像與性質分析、解決有關最值、值域問題以及參數的取值范圍問題等；另一方面要學會綜合運用切線不等式、基本不等式、不等式的性質等知識解題。

綜上，賞析考題的設計精妙之處，有助于教師拓寬命題思路，設計具有交匯性質的創新試題；關注考題的優解，有助于學生簡捷求解，達到“秒殺”效果。當然，讓學生體驗解析過程的精妙之處，還能激發他們的解題靈感，培養他們的思維能力。