素養(yǎng)導(dǎo)向下開(kāi)放題的創(chuàng)新
——2021年數(shù)學(xué)高考題研究

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院（650500）陳坤美

一、高考數(shù)學(xué)開(kāi)放題的命制要求與分類

隨著素質(zhì)教育的逐步推進(jìn)和落實(shí)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》進(jìn)一步要求高考數(shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)計(jì)不僅要注重與“雙基”緊密聯(lián)系，還要突出對(duì)核心素養(yǎng)的考查。《新課標(biāo)》在“命題原則”中指明，“數(shù)學(xué)高考命題既要有一定數(shù)量的應(yīng)用問(wèn)題，還應(yīng)包括開(kāi)放性問(wèn)題和探究性問(wèn)題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過(guò)程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)；《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》則強(qiáng)調(diào)“高考命題要通過(guò)多種形式命制結(jié)論開(kāi)放、解題方法多樣、答案不唯一的試題，增強(qiáng)試題的開(kāi)放性和探究性，引導(dǎo)學(xué)生打破常規(guī)進(jìn)行獨(dú)立思考和判斷，提出解決問(wèn)題的方案，考查學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)”。

條件和結(jié)論是一個(gè)問(wèn)題最基本的兩個(gè)要素，一般將“條件明確，結(jié)論唯一”的問(wèn)題稱為封閉題，而將“條件明確，結(jié)論不唯一”“條件不明確，結(jié)論唯一”“條件不明確，結(jié)論不唯一”的問(wèn)題稱為開(kāi)放題。在《新課標(biāo)》與《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》的指導(dǎo)下，2021 年10 套數(shù)學(xué)高考卷中共設(shè)置了6 道不同程度的開(kāi)放題。

二、2021年高考數(shù)學(xué)開(kāi)放題例析

（一）條件明確，結(jié)論不唯一

［例1］（北京卷第14題）若P(cosθ,sinθ) 與關(guān)于y軸對(duì)稱，寫出一個(gè)θ的值_________。

解析：

圖1

評(píng)析：此題由于θ的多值性導(dǎo)致結(jié)論有無(wú)限多個(gè)，如果將所求改編為“θ的值為_(kāi)__________”，則題目就會(huì)成為一道封閉題，這對(duì)通過(guò)賦值試錯(cuò)找到答案的學(xué)生而言解決問(wèn)題的成功率將降低。這啟示我們?cè)诮虒W(xué)中可以嘗試將具有唯一標(biāo)準(zhǔn)答案的封閉題改編為答案不唯一的開(kāi)放題。這類開(kāi)放題的起點(diǎn)較低，適用于開(kāi)放題教學(xué)的初始階段，能讓不同思維水平的學(xué)生參與學(xué)習(xí)，同時(shí)獲得成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，從而增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

［例2］（新高考Ⅱ卷第14 題）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=___________。

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x) ＞0；③f′(x)是奇函數(shù)。

解析：

根據(jù)條件①給出的抽象函數(shù)性質(zhì)可以判斷f(x)是一個(gè)冪函數(shù)，即f(x)=x?（x是自變量，?是常數(shù)）。由條件②可知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，從而?＞0。依據(jù)條件③并結(jié)合“奇函數(shù)的原函數(shù)為偶函數(shù)”能確定f(x)為偶函數(shù)。容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)?是正偶數(shù)時(shí)都滿足要求，如x2，x4，x6等。若將?限制為正有理數(shù)，則有?=為非零同號(hào)的互質(zhì)整數(shù)），要使f(x)為偶函數(shù)，則p只能為奇數(shù)，q只能為偶數(shù)，于是等也滿足題意。兩類解可以綜合表示為f(x)=為非零同號(hào)的互質(zhì)整數(shù)且p為奇數(shù)，q為偶數(shù)）。

評(píng)析：首先根據(jù)條件②③猜想一個(gè)f(x)，再驗(yàn)證其是否滿足條件①能快速獲得答案，這能彰顯學(xué)生思維的靈活性，但沒(méi)有體現(xiàn)出思維的深刻性。要想獲得更完備的答案，學(xué)生需要綜合調(diào)用冪函數(shù)的定義與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)。在有限的考試時(shí)間內(nèi)學(xué)生很難達(dá)到這個(gè)要求，因此教師在平時(shí)的教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度、深層次地看待問(wèn)題。

例1 與例2 均屬于“條件明確，結(jié)論不唯一”的開(kāi)放題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，指向思維靈活性、創(chuàng)造性以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

（二）條件不明確，結(jié)論唯一

［例3］（新高考Ⅱ卷第22 題）已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b。

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，證明：f(x)有一個(gè)零點(diǎn)。

解析：

（1）當(dāng)a≤0 時(shí)，f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞) 上單調(diào)遞增；當(dāng)0 ＜a＜時(shí)，f(x) 在(ln 2a,0)上單調(diào)遞減，在(-∞,ln 2a)，(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a=時(shí)，f(x)在R 上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞時(shí)，f(x) 在(0,ln 2a) 上單調(diào)遞減，在(-∞,0)，(ln 2a,+∞)上單調(diào)遞增。

（2）若選①，結(jié)合（1）可知f(x)的最大值為f(0)，最小值為f(ln 2a)。根據(jù)f(0)=b-1，f(ln 2a)=2a(ln 2a-1) -a(ln 2a)2+b以及a，b的取值范圍通過(guò)適當(dāng)放縮可證明f(0)和f(ln 2a)均大于0。因此，若f(x) 有零點(diǎn)，則只可能在(-∞,0) 上，于是在(-∞,0)上取特殊值并計(jì)算因?yàn)樗詅(x)在上存在零點(diǎn)，又因?yàn)閒(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。

若選②，由（1）可知f(x)的最大值為f(ln 2a)，最小值為f(0)。此時(shí)f(0)和f(ln 2a)均小于0，因此若f(x)有零點(diǎn)，則只可能在(0,+∞)上，于是在(0,+∞) 上取特殊值a+1 并計(jì)算f(a+1)，因?yàn)閒(a+1) ＞0，f(0)＜0，所以f(x)在(0,a+1)上存在零點(diǎn)，又因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。

評(píng)析：第（2）小問(wèn)供選擇的兩個(gè)條件均給出a的取值范圍以及2a與b的大小關(guān)系，選擇不同的條件卻得到同一結(jié)論，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)。這從側(cè)面說(shuō)明兩個(gè)備選條件具有等價(jià)性，而兩種解答思路也展現(xiàn)出相似性，因此對(duì)選擇①或②的考生而言相對(duì)公平，這也是高考公平的一種表現(xiàn)。同時(shí)此題延續(xù)傳統(tǒng)命題風(fēng)格，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)設(shè)置為壓軸題，一方面以開(kāi)放題形式呈現(xiàn)，容易對(duì)考生造成更大的心理壓力，另一方面又能較好地區(qū)分不同考生的能力，對(duì)高考人才選拔有積極作用，這種命題趨勢(shì)值得師生關(guān)注和重視。本題突出對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的深入考查。

（三）條件不明確，結(jié)論不唯一

［例4］（北京卷第16 題）已知在△ABC中，c=2bcosB，C=

（1）求B的大小；

（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求BC邊上中線的長(zhǎng)度。

圖2

解析：

評(píng)析：此題沒(méi)有給圖形，為了使解題更加直觀高效，需畫出正確的圖形，借助圖形來(lái)分析問(wèn)題，優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程。這要求學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)以及識(shí)圖、畫圖、用圖能力。

［例5］（全國(guó)甲卷第18 題·理科）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立。

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③a2=3a1。

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分。

評(píng)析：試題以等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)、Sn與an的關(guān)系等知識(shí)為背景，聚焦數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的考查，涉及分類討論、函數(shù)思想、方程思想等思想方法，學(xué)生自主提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和獨(dú)立思考提供了廣闊空間。三種選擇方案既尊重學(xué)生思維的差異性，又能探明學(xué)生思維的靈活性和對(duì)等差數(shù)列知識(shí)本質(zhì)的理解與掌握程度。若選①②證③，學(xué)生的難點(diǎn)在于根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)寫出2a2=a1+a3和并經(jīng)歷兩次開(kāi)方運(yùn)算得到結(jié)論；若選②③證①，學(xué)生需學(xué)會(huì)用已知的“數(shù)列是等差數(shù)列”去證未知的“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”，還要能理解一次函數(shù)與等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及定義的關(guān)系。相對(duì)而言，選①③證②是一個(gè)最優(yōu)解。

例4、例5屬于“條件不明確，結(jié)論不唯一”型開(kāi)放題，各條件之間相互獨(dú)立，選擇不同的條件將得到不一樣的結(jié)論。在解決此類題型時(shí)，學(xué)生可以根據(jù)自身的知識(shí)儲(chǔ)備和數(shù)學(xué)能力構(gòu)建最適合自己的解題方案，這為問(wèn)題解決提供更多的可能性。

三、思考與啟示

縱觀上述分析可以發(fā)現(xiàn)，2021 年高考數(shù)學(xué)試卷中的開(kāi)放題圍繞主干知識(shí)命制，以填空題或解答題的形式呈現(xiàn)，突出對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、探究性和創(chuàng)新性的考查要求，對(duì)立德樹(shù)人、人才選拔以及引導(dǎo)教學(xué)都具有積極的意義。從中筆者可以得到如下啟示：

1.教師教學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)應(yīng)放在學(xué)生“四基”“四能”的掌握和提升上，關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，讓學(xué)生不僅能“知其然”“知其所以然”還能明白“何由以知其所以然”。

2.教師在備考過(guò)程中應(yīng)適時(shí)進(jìn)行開(kāi)放題的專題教學(xué)，與學(xué)生一起辨析不同題型，歸納總結(jié)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和素養(yǎng)要求，為學(xué)生解決開(kāi)放題提供正確的指導(dǎo)。

3.教師應(yīng)將《新課標(biāo)》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》等文件作為教學(xué)指南，以教科書中的開(kāi)放題為切入點(diǎn)，讓學(xué)生有序地認(rèn)識(shí)、熟悉、探索三類開(kāi)放題，挖掘其中的思維價(jià)值，提升學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性、批判性、深刻性和靈活性，拓展學(xué)生思維的廣度與深度。