二次函數綜合題解題分析與備考策略
——以南寧市中考數學二次函數題型為例

廣西南寧市上林縣西燕中學（530500）陸立明

近幾年南寧市中考數學二次函數綜合題基本上是函數與幾何綜合，是以坐標中動點問題為背景，融入了一次函數、二次函數、直角三角形、勾股定理、方程和相似等知識。此類題型題干表述簡單，問題設置有梯度，融入了動態幾何的變和不變，要求學生動中求靜、靜中思變。此類題型注重考查數形結合思想、分類討論思想和邏輯推理能力等。

一、常見題型

題型一：動點與直角三角形存在性問題、動點與線段（和）最值問題

［例1］（2017 年第26 題）如圖1，拋物線y=ax2-5ax+c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A(-3,0)，C(0,4)，點B在x軸上，AC=BC，過 點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN。

圖1

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標；

（3）試求出AM+AN的最小值。

分析：（1）因拋物線y=ax2-5ax+c方程含有2 個參數a，c，故需知兩點坐標A(-3,0)，C(0,4)，代入建立方程，可求拋物線解析式。因D，B的橫坐標相同，利用等腰三角形的性質得B(3,0)，可得D的橫坐標是3，然后代入二次函數方程可求得到點D縱坐標，即可得出點D的坐標；

（2）利用勾股定理計算出BC=5，設M(0,m)，則CM=BN=4-m，CN=5 -(4 -m)=m+1，數形結合可知∠MCN不可能是直角，因此分類討論直角頂點是M或N。根據相似三角形的判定方法，當∠CMN=∠COB=90°時，△CMN∽△COB，即；當∠CNM=∠COB=90°，時，△CMN∽△CBO，即然后分別求出m的值即可得到點M的坐標。

（3）線段和最小值問題，一般利用最短路徑知識和三角形三邊的關系進行求解，經分析AM+AN并不符合最短路徑問題，因此考慮以三角形三邊關系作為解題突破口，通過構造全等，利用全等變換改變線段的位置，使AM、AN共線，從而求解。連接DN，AD，先證明△ACM≌△DBN，則AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三邊的關系得到DN+AN≥AD（當且僅當點A，N，D共線時取等號），然后計算出AD即可。

題型二：動點與等腰三角形存在性問題、動點與線段（和）定值問題

［例2］（2018 年第26 題）如圖2，已知拋物線y=與坐標軸交于A，B，C三 點，其 中C(0,3)，∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N。

圖2

（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；

（3）證明：當直線l繞點D旋轉時均為定值，并求出該定值。

分析：（1）由點C(0,3)，可知-9a=3，由此可求得a的值，然后令y=0得到關于x的方程，解關于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸。

（2）利用特殊銳角三角函數值可求得∠CAO=60°，依據AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30°，然后利用特殊銳角三角函數值可求得OD=1，則可得到點D的坐標。設點P的坐標為依據勾股定理可求得AD，AP，DP的長，然后分為AD=PA，AD=DP，AP=DP三種情況列方程求解即可。

（3）因為AM是△AMD的邊，AN是△AND的邊，AE平 分∠BAC，所 以S△AMD+S△AND=S△AMN，如 圖3，過點D作DG⊥AC于點G，過 點M作MH⊥x軸 于點H，∵AE平 分∠BAC，DG⊥AC，DO⊥AN，∴DM=OD=1，

圖3

題型三：函數信息與是否存在直角三角形綜合

［例3］（2020 年第26 題）如圖4，在平面直角坐標系中，直線l1：y=x+1 與直線l2：x=-2 相交于點D，點A是直線l2上的動點，過點A作AB⊥l1交于點B，點C的坐標為（0，3），連接AC，BC。設點A的縱坐標為t，△ABC的面積為s。

圖4

（1）當t=2時，請直接寫出點B的坐標；

（2）s關于t的函數解析式為

（3）在l2上是否存在點A，使得△ABC是直角三角形？若存在，請求出此時點A的坐標和△ABC的面積；若不存在，請說明理由。

圖5

分析：（1）思路一：先根據t=2 可得點A(-2,2)，因為B在直線l1上，所以設B(x,x+1)，將y=2 代入y=x+1 可得點D的坐 標，在Rt△ABC中，利用勾股定理列方程可得點B的坐標。思路二：根據y=x+1與x軸正半軸夾角為45°來解答。

（2）問題的呈現與以往不同，以往是給出兩點坐標，求函數解析式，此題是通過觀察圖形、計算才能得出點的坐標代入求解，這是題目新穎的地方。先把(7,4)代入s=中計算得b的值，計算在-1 ＜t＜5 范圍內圖像上一個點的坐標值：當t=2 時，根據（1）中的數據可計算此時s=可得坐標代入s=a(t+1)(t-5)中可得a的值。

（3）主要考查分類討論，方法比較多。

當A是直角頂點時，有以下思路：利用等腰直角三角形兩腰相等建立方程求解；利用一次函數解析式yAC與直線l2交點求解，此時AC∥BD；利用平行四邊形對邊相等建立方程求解；利用勾股定理AC2+AB2=BC2建立方程求解，得出點A坐標后代入對應解析式求面積s。

當C是直角頂點時，有以下思路：利用A(-2,t)表 示AC2=t2-6t+13，BC2=(t2-10t+29)／2，AB2=(t2+2t+1)／2，用勾股定理建立方程求出t的值，得出點A坐標后代入對應解析式求面積s，或求出點B坐標(t-3／2,t-1／1)，同理可求出；用A(-2,t)表示出直角形一線三等角兩直角三角形含t的邊長，利用相似對應邊成比例求出t的值，得出點A坐標后代入對應解析式求面積s。

題型四：實際問題與二次函數綜合

［例4］（2021年第24題）2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情。如圖6 是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1：y=近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O正上方4 米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：c運動。

圖6

（1）當運動員運動到離A處的水平距離為4 米時，離水平線的高度為8 米，求拋物線C2的函數解析式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍。

分析：（1）考查待定系數法，根據題意將點(0,4)和(4,8)代入C2：y=中求出b，c的值即可寫出C2的函數解析式。

（2）考查用坐標表示線段長，設運動員運動的水平距離為m米時，運動員與小山坡的豎直距離為1 米，依題意得：1，解出m即可。

（3）考查利用二次函數解析式求解實際問題，求出山坡的頂點坐標為根據題意即再解出b的取值范圍即可。

二、二次函數綜合題設計原理與特征

二次函數綜合題一般由三個問題來構成。

第一個問題一般涉及求二次函數解析式或函數參數或關鍵點坐標或直線解析式，主要考查待定系數法、方程思想等，分值3分左右。

第二個問題涉及動點或線段、面積最值、折疊問題等，結合圖形變化，綜合考查函數知識與幾何知識，分值為4分左右。

第三個問題一般是引入特殊幾何圖形（如等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、菱形等），設置開放性問題或探索動點存在性問題，用函數知識探究圖形變化中的數量關系，分值為4分左右。

三個問題由淺入深、層層推進，考點涵蓋坐標知識、圖形（三角形、四邊形、圓）的性質、圖形變化（對稱、平移、旋轉、相似、三角函數等）知識、不等式知識，重點考查待定系數法、數形結合思想、方程與函數思想、數學建模思想、轉化思想、分類討論思想等。

三、二次函數綜合題備考策略

（一）教會學生應試技巧

二次函數綜合題的第一問主要考查基礎知識，只要平時基礎知識扎實，運算技能過關，拿下第一問對考生來說不難。若考生第一問做出來，可以利用第一問結論去解決第二問。在平時教學中，教師應要求學生在審題時要看清所有條件及問題，從整體上把握題目特點與結構，這有利于方法的選擇與解答設計。若第三問太難，學生沒有解題思路，找不到突破口，可先擱下，先做好其他題目，若有時間再思考。

（二）抓好解題的著重點

1.明確“攻擊點”。點的坐標可表示線段長（注意：上減下，右減左）、圖形的高或底，可以是函數方程的解。

2.巧設“著手點”。利用函數解析式巧設點坐標，用含有x的作為橫縱坐標，向坐標軸作垂線，尋找相關線段，利用圖形關系、勾股定理、平行線分線段成比例、相似三角形、三角函數等知識用橫、縱坐標式子表示線段長。

3.抓住“關鍵點”。利用坐標關系式表示線段邊長、面積、周長，通過相似、勾股定理、三角函數等知識構建方程或函數關系式進而求解參數。

4.突破“難點”。利用兩點間線段最短（共線）或軸對稱知識解決最短路徑問題。

5.注意對存在性問題中的特殊圖形按點或邊分類討論。

（三）善于總結解題經驗

教師在講評時要善于總結解題經驗。分析試題的命題立意，主要考查的知識點、數學核心素養、數學思想方法。教師還應引導學生思考如何從復雜圖形或整體中找到解題模型，在分類討論時應該注意什么。

總之，在核心素養背景下，中考數學試題對函數知識的考查趨向靈活多樣，并且更加注重對函數本質和內涵的考查，特別是“動點問題”，立意比較新穎，既考查學生對函數基礎知識的掌握情況，又考查學生的數學思維水平和數學學科核心素養。二次函數綜合題靈活性和綜合性強，沒有固定的解決方法，教師重在培養學生科學審題，挖掘題目隱含條件，靈活運用數學思想方法找尋解題思路的習慣。