本原性問題驅動的初中數學教學探究
——以“反比例函數”第一課時教學為例

江蘇蘇州市吳江區教育局教研室（215200）錢建芬

本原性問題是數學教學中本質的、原始的問題，利用本原性問題開展數學教學能夠有效引導學生思考與探究，提升學生的數學思維能力。教師在數學教學過程中應該合理運用本原性問題引導學生學習。下面以八年級下冊“反比例函數”的教學為例進行分析探討，實際教學流程是以小學數學的學習經驗為出發點，圍繞“反比例關系”這個本原性問題，沿著“導入課題—構建概念—破解問題—遷移應用”這樣的路徑開展教學，有效幫助學生理解“反比例關系”，掌握反比例函數的知識，解決相關數學問題。

一、教學流程

本節課的教學內容是“反比例函數”，反比例函數是繼正比例函數、一次函數之后，二次函數之前的又一類函數。本節課的教學目的是讓學生認識反比例函數。理解反比例函數的概念。學好這節課內容的關鍵是厘清反比例關系，進一步體會函數是刻畫變量之間關系的數學模型，體會函數的模型思想。為此，本節課從反芻學生的生活經驗和學習經驗入手設計教學流程。一是引入生活中常見的情境——開車去公園野餐，并以此為導入點，全程依照“野餐準備、野餐進行時、戶外運動中的相關反比例數學問題”展開教學，讓學生感受到數學就在身邊，從而幫助學生深層次理解和掌握相關數學知識。二是在教學過程中，幫助學生回憶學過的相關知識，在原有的經驗上，幫助學生生長新經驗。本節課的主要教學流程如圖1所示。

圖1

二、教學實施

（一）創設情境，引發思考

創設“開車去公園野餐”這一生活情境，激發學生的學習興趣，增強學生學好本節課內容的信心，引導學生愉快地學習新知。

【教師引導，解決問題】

師：我計劃周末開車帶今天課堂學習最活躍的同學去勝地生態公園野餐，請同學們一起幫助我規劃一下周末的野餐活動。如果開車速度是80 km/h，那么路程s(km)與時間t(h)之間的表達式是什么？

生：s=80t。

師：若已經行駛了10 km，繼續以80 km/h 的速度行駛，那么總路程s(km)與時間t(h)之間的表達式如何？

生：s=10+80t。

師：若學校與公園相距15 km，開車速度是vkm/h，全程所用時間是t(h)。寫出t、v的函數表達式，填寫下表，并且思考幾個問題。

生：t=

【學生訓練，增長經驗】

（1）這個問題中的常量和變量分別是什么？

（2）對每一個給定的v，都有唯一的t與它對應嗎？

（3）時間t是速度v的函數嗎？

設計意圖：用實際問題引出現實中的反比例關系，為后續的反比例函數的意義教學做好鋪墊。創設問題情境，讓學生感受量與量之間的函數關系，體會實際問題中蘊含的函數關系，激發探究興趣。

（二）問題驅動，探索概念

在學生對三個量有了函數關系的初步認識之后，教師帶領學生設計后續野餐環節。通過對相關問題的討論，結合小學學過的“反比例關系”，并與當下學習的反比例函數產生關聯，學生深刻理解和全面認識了反比例函數。

【教師引導，解決問題】

師：我們需要準備一些野餐時要用的蛋糕、雞翅、草莓、野餐布等，請同學們思考以下問題，用函數表達式表示下列問題中兩個變量之間的關系。

（1）老師計劃用300 g 面粉做千層蛋糕，蛋糕的層數y（層）隨每層面粉質量x（克）的變化而變化。

（2）買雞翅花了60 元，購買數量y（個）隨雞翅單價x（元）的變化而變化。

（3）質量為5 kg 的草莓需要清洗，所花時間t(min)隨清洗速度v(kg/min)的變化而變化。

（4）長方形野餐布總面積是4 m2，長a(m) 隨寬b(m)的變化而變化。

學生通過獨立思考，寫出了自己的答案，教師請幾位學生在黑板上寫出自己的答案。

師：現在請大家思考一下，前幾位同學寫出的函數表達式y=有什么共同特征？

生1：它們好像都是成反比例關系。

師：說得很好，你能不能用當下學習的函數術語表述它們的特征呢？

生2：因變量和自變量之間成反比例關系。

師：對，這位同學很棒！我們所研究的這些函數表達式的因變量和自變量都呈現反比例關系，而這種具有反比例關系的函數就叫作反比例函數。

教師趁熱打鐵引入反比例函數的定義：

一般地，形如y=（k為常數，k≠0）的函數叫作反比例函數，其中x是自變量，y是x的函數，k是比例系數。自變量x的取值范圍是x≠0。

【學生訓練，增長經驗】

師：請大家用自己的“火眼金睛”識別一下，在下列函數中哪些是反比例函數，并說出其比例系數。

通過習題練習，學生進一步理解了反比例函數的定義，同時對比例系數有了明確的認識。在此基礎上，教師對反比例函數的三種表達形式進行總結

（三）體悟關聯，完善概念

通過對反比例函數定義的學習，學生對因變量、自變量、比例系數等關鍵因素有了初步的認識。但是，在一些細節問題上可能還有待進一步深化，比如自變量的取值范圍等。

【教師引導，解決問題】

師：雖然我們已經準備好了野餐的相關食材和工具，但是還有一些問題涉及反比例函數，老師想請大家幫助破解。

用函數表達式表示下列問題中兩個變量之間的關系，并根據實際情況寫出自變量的取值范圍。

（1）帳篷放在一個長方體盒子里，盒子的體積為32 dm3，盒子的高為2 dm，寬b（dm）隨長a(dm)的變化而變化。

（2）堆在餐布上的飲料總重30 N，它們對地面的壓強p(N/m2)隨它與地面的接觸面積S(m2)的變化而變化。

（3）12 寸比薩約重500 克，每人吃到的比薩質量y（克）隨人數x（個）的變化而變化。

【學生訓練，增長經驗】

師：我們一起來檢測一下大家的學習效果。

問題：圖2 中有一面圍墻（可利用的最大長度為100 米），現打算沿墻圍一個面積為120 平方米的長方形花圃。設花圃的一邊AB=x（米），另一邊為y（米），求y與x的函數表達式，并指出其中自變量的取值范圍。

圖2

通過對實際問題的分析，讓學生明白：自變量的取值范圍還應滿足實際背景和意義。教師強調確定自變量的取值范圍時應將實際問題和數學關系相結合，進一步強化學生對反比例函數的自變量取值范圍的認識。

（四）學以致用，拓展提升

學生用學到的數學知識解決實際問題，提升思維品質，增長經驗。

【學生訓練，增長經驗】

師：野餐結束后，還有一些戶外運動。在這個過程中，也有一些反比例函數的相關知識，老師想請大家一起探討。

用函數表達式表示下列問題中兩個變量之間的關系，并寫出比例系數。

（1）一個菱形的風箏，總面積是80 cm2，較短的對角線n(cm)隨較長的對角線m(cm)的變化而變化。

（2）小巧騎自行車行了2000 m，自行車車輪旋轉的周數n隨車輪直徑D(m)的變化而變化。

在學生解決了上述問題的前提下，教師布置課后作業，以提升學生的數學思維能力，同時鞏固學生的學習效果。

已知函數y=y1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x=1 時，y=4，x=2 時，y=5，求y與x的函數關系式。

通過創設開車去公園野餐的情境，激發學生的學習熱情，并以野餐的相關環節為線索，引導學生學習反比例函數，引導學生思考探究，加深學生對反比例函數的認識。上述教學從本原性問題出發，激發學生的學習興趣，引導學生理解與掌握相關知識并解決相應的數學問題，這樣的教學有助于提升學生的自主學習能力。

三、教學反思

（一）注重情境創設，提升學生興趣

基于本原性問題開展數學教學，實際上是從數學問題的本質出發，創設學生熟悉的生活情境，把枯燥的符號運算與生動的生活場景結合起來，讓學生在解決實際問題的過程中學習數學知識。這樣既能提升學生的學習興趣，又能加深學生對數學問題的理解。本節課以開車去公園野餐為教學主線，針對野餐過程中的種種情境“追根溯源”，讓學生感到數學知識就在身邊，提升了學生的學習興趣，同時使學生在探索活動中感悟數學的本質。

（二）加強問題驅動，引導學生思考

解決問題的過程就是思考的過程，在實際教學中，教師要用學生感興趣的問題驅動學生學習，讓學生在解決問題的過程中提升自己的學習能力和思維能力，形成自己獨特的思維方式。本節課全程都是以問題為導向，無論是蛋糕的制作問題，還是風箏面積問題的解決，都比較通俗易懂，能夠引發學生思考，并有利于學生將學到的知識用于解決實際問題，形成自己的思維方式。

（三）注重邏輯引領，挖掘學生潛力

數學是一門邏輯性很強的學科，在知識的傳授過程中，要注重傳授方法的科學性和合理性，尤其要注重知識傳授的邏輯性，且要以一種學生樂于接受的方式進行。本節課以開車去公園野餐為主線，以“野餐準備—野餐進行時—戶外運動”這樣的順序開展教學，讓學生能夠較好地把握事件發生的脈絡。同時，在知識的傳授上，由淺入深、層層遞進，按照“反比例函數的定義—比例系數—自變量—反比例函數知識運用”的順序進行教學，這樣有助于學生理解掌握并運用所學知識。在本節課的最后，還設置了類比正比例函數的學習，并引導學生思考：還要繼續研究哪些反比例函數問題？這樣的問題無疑給學生留下了很大的思考空間，讓學生感悟知識的生長，體會數學的魅力。