單元整體教學設計研究
——以“全等三角形”教學為例

江蘇省鎮江實驗學校（212000）章再俊

對數學單元整體教學理論及模式的探討已成為近年教師討論的熱點話題，該教學模式旨在落實發展學生學科核心素養的培養目標。筆者積極嘗試運用該教學模式提高課堂教學效率與發展學生的學科核心素養。本文以蘇教版八年級上冊“全等三角形”的單元整體教學為例進行探究。

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型可從現實生活或具體情境中抽象出數學問題；建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律；等等。

數學單元整體教學是在整體思維指導下，以教材知識體系為基礎，通過教學團隊的合作，對相關教材內容進行適當統籌重組與優化，并將優化后的教學內容作為一個個相對獨立的教學單元，突出知識間的關聯和知識的循環理解及運用，突出對數學思想的理解總結，從而達到發展學生學科核心素養的目的。

一、感悟活動，了解模型

教師在設計單元整體教學時，應在常規教學的基礎上，設置相應問題，向學生逐步滲透主要的模型，如：有公共邊的兩個全等三角形如何重合？有公共角的兩個全等三角形如何重合？有三個角相等的兩個全等三角形如何重合？

比如，如圖1，若△ABC≌△DEF，沿著對應邊BC與EF所在直線相向平移。

圖1

問題1：這兩個三角形如何通過幾何變換實現重合？

問題2：你能從平移、翻折、旋轉的角度具體描述幾何變換的過程嗎？

問題3（在問題2 的基礎上繼續提問）：如圖2，若BC與EF所在的邊不共線，沒有公共點，這兩個三角形如何通過幾何變換實現重合？

圖2

又如，如圖3 和圖4，若△ABC≌△AEF，公共點為A。

圖3

圖4

問題1：這兩個三角形如何通過幾何變換實現重合？

問題2：你能從平移、翻折、旋轉的角度具體描述幾何變換的過程嗎？

問題3（在問題2 的基礎上繼續提問）：若△AEF是由△ABC繞著點A旋轉60°得到的，給出△ABC你能畫出△AEF嗎？

問題4（在問題3 的基礎上繼續提問）：你能求出線段BC與EF所在的直線的夾角嗎？

通過思考及解決以上問題可讓學生對這些模型有一個初步的了解。

二、操作活動，理解模型

教師在設計本單元整體教學時，可以讓學生剪兩個全等的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，設計的問題可圍繞：將有公共邊的兩個全等三角形進行重合實驗；將有公共角的兩個全等三角形進行重合實驗；將一條直線上有三個角相等的兩個全等三角形進行重合實驗。

比如，如圖5，若△ABC≌△AEF，∠A為公共角。

圖5

問題1：如何操作可使這兩個三角形重合？

問題2：這兩個三角形在重合實驗過程中是關于哪條線翻折的？

問題3：你還發現了哪些三角形是全等的？

又如，若△ABC與△DEF，滿足∠B=∠E，AB=DE，AC=DF（邊邊角結構，形狀不確定）。

問題1：這種情況合理嗎？

問題2：如果不能確定是否全等，大家能畫出相應的圖形嗎？（學生作出圖6和圖7）

圖6

圖7

問題3：三組角相等能確定三角形全等嗎？

問題拓展：你能用直尺與圓規畫“邊邊角”不全等的三角形嗎？

教師引導學生說出兩個三角形具體經過幾步能夠重合，嘗試把中間的每一步變換的情況畫出來或演示出來。

三、探究活動，深化模型

（一）設計問題串，促進新知生成

比如，如圖8 所示是兩個全等的銳角△ABC與△AEF。

圖8

問題1：你能在圖上畫出對稱軸嗎？

問題2：圖上有幾組全等三角形？

問題3：將其中一個三角形繞公共A點旋轉60°，分別連上對應點，圖中存在幾個等邊三角形？

問題4（在問題3 的基礎上繼續提問）：兩組對應點連線的夾角是多少？

問題5（在學生學習相似三角形時繼續提問）：圖中有相似三角形嗎？若有，請證明。

（二）探究單元整體教學涉及的常見模型

關于一條邊重合的兩個全等三角形：探究關于這條邊所在直線翻折、探究關于這條邊的中垂線翻折、探究關于這條邊的中點旋轉180°。

關于一個角重合的兩個全等三角形：探究關于這個角的角平分線翻折、探究關于角的頂點旋轉。

關于兩個相等的角共線的兩個全等三角形：探究一線三角的關系及這兩個三角形經過怎樣的操作重合。

“一線三等角”模型的探究：

例如，如圖9，點C為線段AB上的一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN與MC交于點E，直線BM與CN交于點F。

圖9

（1）求證：AN=BM；

（2）求證：△CEF為等邊三角形。

問題1：圖中還有哪些特殊的三角形？

問題2：圖中的全等三角形有哪幾組？

拓展問題：若AN與BM的交點為O，則AN與BM的夾角∠MON的度數是多少？

追問：△OFN與△CFB全等嗎？

探究1：求△CMN的外接圓半徑的最小值。

探究2：△ACM，△CBN是等邊三角形，AB長度確定，點C是動點，如何求△CMN的面積的最值？

“共頂點雙子型”模型的綜合探究：

例如，如圖10，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F為AB延長線上的一點，點E在BC上，且AE=CF。

圖10

（1）求證：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度數。

變式1：如圖11，已知△ABC，以AB，BC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE，CD。證明AE=CD。

圖11

變式2：如圖12，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE。連接BE，CD。BE與CD有什么數量關系？簡單說明理由。

圖12

在變式2的探究中，可以設計如下小問題：

（1）設CD與BE的交點為O，圖中的全等三角形有哪幾組？CD與BE的夾角度數是多少？

（2）如何判斷OA是∠DOE的角平分線？（可通過等面積法，判斷OA為∠DOE的角平分線）

（3）如圖13，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長。

圖13

全等三角形的分類還有很多，這里不再一一列舉。

教師在滲透模型思想時，需思考模型構造的特征及其合理性，設計引導學生探究的環節。

四、師生互動，生長模型

在教學過程中，學生既是教學的對象，又是學習的主體，無論是獲取知識還是提高能力，都要學生通過自身的積極思考和實際活動，而他們學習的主動性和質量都有賴于教師的指導，教師的教也只有通過調動學生的學習主動性，才能取得較好的效果。

在本單元整體教學設計時，教師在認真研讀教材、思考學生認知結構的基礎上，不僅要判斷學生按教材學習時產生的階段性困難，還要判斷本單元對學生后續學習的影響，探究學生產生困難的原因，從而處理學生產生的認知困難、應用困難。

例如，部分學生對“一線三等角的兩個三角形全等或相似”的結構認識有困難，對此，在學習全等三角形時，教師可以引導學生剪兩個直角三角形，把它們相等的一組邊設計為共線。然后再提問：你能說出圖14中兩個三角形的關系嗎？

圖14

設計情境復雜的探究題（在直角坐標系中探討雙子型模型）：如圖15，直線AB交x軸于點A(4,0)，交y軸于點B(0,4)。

圖15

問題1：若點C的坐標為(-1,0)，且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，試求點P的坐標。

問題2：在問題（1）的條件下，連接OH，求證：∠OHP=45°。

問題3：若點D為AB的中點，點M為y軸負半軸上一動點，連接MD，過點D作DN⊥DM交x軸于點N，當點M在y軸負半軸上運動的過程中，式子S△BDM-S△ADN的值是否發生改變？如發生改變，則直接寫出該式子的值的變化范圍；若不改變，則直接寫出該式子的值。

在問題1的探究中，可設計如下小問題：

（1）若△OBC繞點O旋轉60°，∠CHA還是90°嗎？

（2）你能畫出相應的圖形嗎？

（3）對應邊所在直線的夾角與什么有關？

在問題3的探究中，可設計如下小問題：

（1）連接OD，分別作x軸與y軸的垂線段，點D處有多個直角，你能圍繞點D，發現全等三角形嗎？

（2）你能描述雙子型全等模型的特點嗎？

綜合探究：輔助線作法之“截長補短法”。

截長法：在第三條線段上截下一段使其等于兩條線段中的一條，再證明剩余部分與另一條線段相等。

補短法：把兩條線段中的一條補到另一條線段上去，證明所得新線段與第三條線段相等。

比如，如圖16，已知AD∥BC，AE，BE分別平分∠DAB和∠ABC，點E在CD上。

圖16

求證：AB=AD+BC。

教師可設計這樣的問題：

（1）你打算用什么方法解決本題？（截長補短法）

（2）如何補呢？（延長AE與BC的延長線相交于點F，證明△ADE與△FCE全等，△BEA與△BEF全等）

（3）還可以怎么補？（延長BE與AD的延長線相交于點F，證明△BCE與△FDE全等、△AEB與△AEF全等）

（4）如何截呢？（在AB上截取AF=AD，證明BF=BC，證明△AED與△AEF全等、△BEC與△BEF全等）

（5）還可以怎么截呢？（在AB上截取BF=BC，證明AF=AD，證明△BEF與△BEC全等、△AED與△AEF全等）

還可以進一步在動態幾何中探究全等三角形。

在師生共同探究的過程中，學生能感悟模型的變化過程。通過圖形的運動，以及運用演繹推理法給出證明，將合情推理與演繹推理相結合，可促使學生發現三角形全等與相似的本質。

總之，教師必須要加強對基于數學模型思想的單元整體教學設計的深度探究，通過不斷重組教學內容與優化教學設計，構建新的更加突出知識間的關聯和知識的循環理解及運用的單元教學內容，幫助學生理解和領悟，掌握新知、習得技能，從而有效實現課堂教學目標，讓數學學科核心素養落地開花結果。