基于多維協(xié)方差矩陣和PMU動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計(jì)算法

楊 召 徐姣新

1(商丘工學(xué)院 河南 商丘 476000) 2(商丘學(xué)院 河南 商丘 476000)

0 引 言

相量測(cè)量單元的應(yīng)用能夠改善廣域測(cè)量系統(tǒng)的監(jiān)測(cè)、保護(hù)和控制[1-2]。智能電網(wǎng)中PMU的覆蓋率逐年上升[3-4]，增強(qiáng)了電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的規(guī)模、復(fù)雜性、不確定性[5-7]。采用同步相量技術(shù)來(lái)估計(jì)電力狀態(tài)，并開(kāi)發(fā)可靠的操作程序，能夠更好地管理電網(wǎng)。狀態(tài)估計(jì)方法一般可分為兩類：基于模型的估計(jì)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)下的估計(jì)?；谀Ｐ偷墓烙?jì)是傳統(tǒng)的估計(jì)方法，文獻(xiàn)[8]提出了基于冪函數(shù)雅可比逆矩陣最大奇異值的統(tǒng)計(jì)狀態(tài)估計(jì)指標(biāo)。基于此，文獻(xiàn)[9]確定了大規(guī)模電力系統(tǒng)中潮流控制的不可行性。文獻(xiàn)[10]給出電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的等效節(jié)點(diǎn)分析，根據(jù)特征值、特征向量和功率流雅可比矩陣預(yù)測(cè)系統(tǒng)特性。然而，這些估計(jì)難以滿足對(duì)動(dòng)態(tài)變化的電力系統(tǒng)監(jiān)測(cè)的穩(wěn)定、大規(guī)模、復(fù)雜性和不可預(yù)測(cè)行為的要求。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)可以在電網(wǎng)參數(shù)或拓?fù)湮粗那闆r下進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)[11-14]。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于SVD的PMU數(shù)據(jù)功率狀態(tài)估計(jì)方法，但由于計(jì)算量大，其方法難以在大型電力系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)估計(jì)。此外，高維PMU數(shù)據(jù)的線性特征值統(tǒng)計(jì)量(Linear Eigenvalue Statistic,LES)被用于電力系統(tǒng)的態(tài)勢(shì)感知和校正分析[14]。利用高維隨機(jī)矩陣的漸近性質(zhì)，基于LES的方法利用單個(gè)窗口截?cái)嗟腜MU數(shù)據(jù)提供了魯棒的功率狀態(tài)估計(jì)。本文利用PMU數(shù)據(jù)的高維統(tǒng)計(jì)特性來(lái)表示狀態(tài)估計(jì)。

同步PMU的大規(guī)模應(yīng)用使?fàn)顟B(tài)估計(jì)研究需要考慮如何以電力系統(tǒng)的連續(xù)學(xué)習(xí)方式表示海量PMU數(shù)據(jù)流、如何從海量PMU數(shù)據(jù)流中估計(jì)實(shí)時(shí)狀態(tài)、如何把PMU大數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)據(jù)供實(shí)際使用、如何在不假設(shè)數(shù)據(jù)的參數(shù)分布的情況下進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)、是否存在維數(shù)大和樣本大小靈活的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)狀態(tài)評(píng)價(jià)指標(biāo)。文獻(xiàn)[15]基于似然比(Likelihood Radio，LR)檢驗(yàn)提出了高維協(xié)方差矩陣檢驗(yàn)。在樣本量大于數(shù)據(jù)維數(shù)的情況下，LR檢驗(yàn)對(duì)正態(tài)分布數(shù)據(jù)有很好的效果。文獻(xiàn)[16]將LR檢驗(yàn)擴(kuò)展到非正態(tài)分布，文獻(xiàn)[17]考慮了數(shù)據(jù)維度范圍很廣的情況下LR檢驗(yàn)的修正(Correction of the LR,CLR)。這些檢驗(yàn)都基于樣本協(xié)方差矩陣可以直接代替總體協(xié)方差矩陣的假設(shè)，但由于基于樣本協(xié)方差矩陣的估計(jì)具有不必要的項(xiàng)，這些項(xiàng)在維數(shù)較高時(shí)大大減慢了收斂速度[18-20]。與直接估計(jì)種群協(xié)方差矩陣不同，文獻(xiàn)[20]提出了合理的距離來(lái)估計(jì)種群間的差異，但工作計(jì)算量大且集中在兩個(gè)子種群的差異上，不適合在海量PMU數(shù)據(jù)流中進(jìn)行實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)。

本文考慮PMU數(shù)據(jù)流不同采樣周期協(xié)方差矩陣的變化，結(jié)合多維協(xié)方差矩陣檢驗(yàn)，提出一種基于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的功率狀態(tài)估計(jì)算法。首先介紹了海量PMU數(shù)據(jù)流的數(shù)學(xué)表征方法，提出一種利用多維協(xié)方差矩陣檢驗(yàn)的功率狀態(tài)估計(jì)方法。然后，通過(guò)主成分分析和冗余消除提高了計(jì)算效率。最后，通過(guò)算例研究，分析了所提狀態(tài)估計(jì)指標(biāo)的性能。結(jié)果顯示本文方法可以聯(lián)合顯示系統(tǒng)事件的相對(duì)大小、持續(xù)時(shí)間(或所謂的清除時(shí)間)和位置；無(wú)須指定PMU數(shù)據(jù)的參數(shù)分布，應(yīng)用范圍廣；實(shí)現(xiàn)了高維PMU數(shù)據(jù)的漸近性質(zhì)，提高了測(cè)試統(tǒng)計(jì)量的魯棒性。

1 海量PMU數(shù)據(jù)流建模

大型電力系統(tǒng)的暫態(tài)特性可以用一組微分和代數(shù)方程來(lái)表示[21-22]：

(1)

0=g(x(t),u(t),h(t),w)

(2)

式中：x(t)∈Cm×p為功率狀態(tài)變量，如轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和動(dòng)態(tài)負(fù)荷；u(t)為系統(tǒng)輸入?yún)?shù)；h(t)為代數(shù)變量，如母線電壓幅值；w為系統(tǒng)非時(shí)變參數(shù)；t∈R、m和p分別是采樣時(shí)間、系統(tǒng)變量數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)。基于模型的狀態(tài)估計(jì)[9]著重于非線性方程的線性化：

(3)

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的狀態(tài)估計(jì)[11-14]可以在電網(wǎng)參數(shù)或拓?fù)湮粗闆r下進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。然而，這些估計(jì)都是基于對(duì)單個(gè)窗口截?cái)嗟腜MU數(shù)據(jù)的分析，本文提出一種能夠從大量的PMU數(shù)據(jù)流中連續(xù)學(xué)習(xí)的方法。首先，將大的高維PMU數(shù)據(jù)流轉(zhuǎn)化為PMU數(shù)據(jù)段。圖1為大規(guī)模PMU數(shù)據(jù)流的示意圖，其中p表示整個(gè)電網(wǎng)中可用PMU的數(shù)量，每個(gè)PMU提供m個(gè)測(cè)量值。在第i次采樣時(shí)，采集了zi等k=p×m個(gè)測(cè)量值。對(duì)于每個(gè)PMU，測(cè)量可以包含電壓大小、功率流和頻率等m種類型的變量。假設(shè)每種類型的測(cè)量是獨(dú)立的，進(jìn)行PMU數(shù)據(jù)分析。假設(shè)在第i次數(shù)據(jù)采集中，在每一輪分析中，采樣頻率kHz，給定T秒的q時(shí)間周期，設(shè)ng=T×K和n分別為窗口大小和采樣數(shù)。隨機(jī)矩陣序列為：

(4)

由于電壓幅值是電力系統(tǒng)中最常用的測(cè)量值之一，此基礎(chǔ)上已有大量的研究工作，且在電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知的情況下，可以得到電壓幅值，因此，本文采用母線電壓幅值作為狀態(tài)數(shù)據(jù)。

2 電壓穩(wěn)定性估計(jì)

2.1 多維協(xié)方差矩陣檢驗(yàn)

采用隨機(jī)矩陣流{Z1，Z2，…，Zq}來(lái)表示一個(gè)采樣周期內(nèi)的海量PMU數(shù)據(jù)流。本文對(duì){Z1，Z2，…，Zq}的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行綜合分析，而不是分析單個(gè)窗口截?cái)嗟腜MU數(shù)據(jù){Zg}g=1,2,…,q。以Σi作為第i次PMU測(cè)量的協(xié)方差矩陣，檢驗(yàn)假設(shè)：

H0:Σ1=Σ2=…=Σq

H1:?j,ks.t.Σj≠Σk

(5)

假設(shè)式(5)是多元統(tǒng)計(jì)分析[15]中常用的檢驗(yàn)假設(shè)，通過(guò)共享一些相同分布的樣本，使用每個(gè)種群中的一個(gè)樣本來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)。樣本總體的協(xié)方差矩陣相等。

2.2 所提檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

LR檢驗(yàn)[15]和CLR檢驗(yàn)[17]是式(5)最常用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，可以通過(guò)用樣本協(xié)方差矩陣Yg替換總體協(xié)方差矩陣Σg理解。用Yg直接替換Σg，對(duì)正態(tài)分布數(shù)據(jù)具有不變性和良好的測(cè)試性能[15]。測(cè)試統(tǒng)計(jì)量V2可能不適用于高維數(shù)據(jù)[18]。此外，當(dāng)PMU數(shù)據(jù)的維數(shù)較高時(shí)，估計(jì)量V3有不必要的項(xiàng)，大大減慢了收斂速度[19]。此時(shí)，跟蹤準(zhǔn)則[19]更適合于檢驗(yàn)。不直接估計(jì)總體協(xié)方差矩陣，而是利用數(shù)據(jù)流{Z1，Z2，…，Zq}之間的差異定義距離度量，即Σs和Σt之間基于軌跡的距離度量是：

(6)

式中：tr(·)是跟蹤算子。

(7)

(8)

測(cè)量Σs和Σt距離的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

Vst=As+At-Cst

(9)

所提檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可表示為：

(10)

當(dāng)p,ng→∞，式(9)的漸近正態(tài)性在定理1中給出。

1) 對(duì)于任意k和l∈{s,t}，tr(ΣkΣl)→∞和tr{(ΣiΣj)(ΣkΣl)}=O{tr(ΣiΣj)tr(ΣkΣl)}；

2) 對(duì)于i=1,2,…,ng，Z(i)是獨(dú)立同分布的p維向量，具有有限的8階矩。

在上述條件下：

對(duì)于任何q≥2，當(dāng)p,ng→∞時(shí)，所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量V1滿足：

(11)

PFAR=P(R>α|H0)=

(12)

PDR=P(R≥Q(α)|Hi)

(13)

2.3 電力系統(tǒng)的連續(xù)學(xué)習(xí)

本節(jié)在式(10)的基礎(chǔ)上，提出一種連續(xù)表示狀態(tài)估計(jì)的方法。整個(gè)訓(xùn)練周期表示為：

假定電力系統(tǒng)在Ttrn期間處于正常運(yùn)行狀態(tài)。當(dāng)i=1,2,…,n時(shí)，采集的PMU數(shù)據(jù)流為：

{Zi1,Zi2,…,Ziq}

連續(xù)學(xué)習(xí)步驟為：

1) 估計(jì)系統(tǒng)事件的相對(duì)大小和持續(xù)時(shí)間：使用式(10)，當(dāng)系統(tǒng)事件指標(biāo)滿足要求時(shí)，可以用幾個(gè)PMU數(shù)據(jù)樣本識(shí)別系統(tǒng)事件：

|V1-μ|≥γ

(14)

式中：μ、γ=3σ是系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)，可從歷史PMU數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)。系統(tǒng)事件的相對(duì)大小等于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量V1。假設(shè)系統(tǒng)事件發(fā)生在采樣周期Ttest中，對(duì)于j=1,2,…,c，檢驗(yàn)數(shù)據(jù)流為{Zi1，Zi2，…，Ziq}，事件的持續(xù)時(shí)間為：

(15)

式中：

(16)

式中：參數(shù)N=q×ng，k=rlogp，r是Z(j)的秩。

對(duì)于l=1,2,…,p，可以構(gòu)造兩個(gè)用于并行數(shù)據(jù)分析的展開(kāi)矩陣：

(17)

將A1l和A2l數(shù)據(jù)替換為式(10)中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，樣本時(shí)間T1內(nèi)最敏感的PMU數(shù)據(jù)(loc表示)的位置可以表示為:

(18)

3 算例分析

所提狀態(tài)估計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由IEEE 30、118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、波蘭2383節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[23]和實(shí)際34 PMU系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)。合成數(shù)據(jù)、導(dǎo)納矩陣和潛在的電力系統(tǒng)狀態(tài)由MATPOWER生成。測(cè)量噪聲為不相關(guān)的高斯分布或伽馬分布，電壓的每個(gè)分量的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.05[22]。

3.1 測(cè)量噪聲對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響

在穩(wěn)態(tài)條件下運(yùn)行時(shí)，PMU提供高精度的測(cè)量(包括電壓、電流相量和頻率)。然而，在暫態(tài)條件時(shí)，測(cè)量中會(huì)出現(xiàn)明顯的誤差。假設(shè)電力系統(tǒng)在正常狀態(tài)下運(yùn)行，首先，利用合成數(shù)據(jù)研究測(cè)量噪聲和窗口大小對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響。采用式(3)的線性化模型生成多維數(shù)據(jù)模型進(jìn)行式(10)的檢驗(yàn)。設(shè)z0為電力系統(tǒng)的初始狀態(tài)。數(shù)據(jù)波動(dòng)和參數(shù)q分別設(shè)置為5%和10。對(duì)于i=1,2,…,ng，本文考慮隨機(jī)向量z(i)有兩種情況：

1)z(i)是p維正態(tài)隨機(jī)向量，具有均值z(mì)0和方差0.05z0。

p∈{30，118，2 383}，樣本窗口大小ng∈{30，100，300，1 000，2 500}。結(jié)果表明，所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)維數(shù)與樣本大小沒(méi)有任何限制?；? 000個(gè)獨(dú)立的蒙特卡羅模擬，所獲結(jié)果如表1、表2所示?？梢钥闯觯瑱z測(cè)率DR隨維數(shù)和樣本量的增大而增大，在高斯分布噪聲(GSN)和Gama分布噪聲(GMN)兩種情況下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的DR都接近于1。此外，所提方法FAR很快收斂到標(biāo)稱5%，GSN的FAR收斂到標(biāo)稱水平的速度比GMN慢。另一方面，LR檢驗(yàn)不適用于p≥ng，CLR檢驗(yàn)的收斂速度慢于所提出的檢驗(yàn)，該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在很寬的維數(shù)和分布范圍內(nèi)具有更高的準(zhǔn)確度和魯棒性，而LR檢驗(yàn)和CLR檢驗(yàn)易受數(shù)據(jù)維數(shù)和噪聲分布變化的影響，即所提出的檢驗(yàn)是漸進(jìn)的和非參數(shù)的。

表1 GSN下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的DR和FAR

表2 GMN下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的DR和FAR

3.2 參數(shù)q對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響

考慮GSN、GMN兩種測(cè)量噪聲，圖2中Guess-30和Gama-30表示所采用的測(cè)量噪聲分別為GSN和GMN，PMU數(shù)目p=30，類似定義了Gauss-118、Gama-118、Gauss-2383和Gama-2383。將數(shù)據(jù)大小q×ng設(shè)為600，得到圖2(a)，可見(jiàn)DR隨q的增加而減小。將窗口大小ng設(shè)為100，得到圖2(b)，可見(jiàn)DR隨q的增加而增加。在其余的算例中，將參數(shù)q設(shè)為5。

圖2 參數(shù)q對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響

3.3 基于綜合數(shù)據(jù)的電力系統(tǒng)在線狀態(tài)估計(jì)

利用IEEE 30節(jié)點(diǎn)、IEEE 118節(jié)點(diǎn)和波蘭2383節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù)，對(duì)基于該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)性能進(jìn)行了估計(jì)。系統(tǒng)的具體細(xì)節(jié)參見(jiàn)Matpower 5.1軟件包中的case30.m、case118.m和case2383.m?？紤]了影響系統(tǒng)工作狀態(tài)的三種信號(hào)，如表3、表4、表5所示。其中ρ表示測(cè)試系統(tǒng)中的PV節(jié)點(diǎn)數(shù)量，是隨機(jī)選擇的。為簡(jiǎn)化描述，主要對(duì)IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)地進(jìn)行說(shuō)明。

表3 信號(hào)類型I：電壓驟降

表4 信號(hào)類型II：電壓驟升

表5 信號(hào)類型III：電壓驟降和驟升

(a) 基于GSN的參數(shù)學(xué)習(xí)

(b) 基于GME的參數(shù)學(xué)習(xí)圖3 IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的參數(shù)學(xué)習(xí)

狀態(tài)估計(jì)從第301 s開(kāi)始。采集60 s的數(shù)據(jù)。63節(jié)點(diǎn)負(fù)荷從320 s到340 s分別發(fā)生三種系統(tǒng)事件。根據(jù)圖3和式(14)和式(15)的結(jié)果，可知事件發(fā)生在第301 s，信號(hào)的實(shí)際持續(xù)時(shí)間可以計(jì)算為tdur=1 000/(q×ng)×10=20 s。基于此，通過(guò)式(18)確定最敏感節(jié)點(diǎn)的位置，結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯觯?dāng)測(cè)量噪聲設(shè)置為GSN或GMN時(shí)，在所有三種系統(tǒng)事件存在的情況下，第63節(jié)點(diǎn)是最敏感的節(jié)點(diǎn)。

(a) GSN下的I型信號(hào) (b) GMN下的I型信號(hào)

(c) GSN下的II型信號(hào) (d) GNN下的II型信號(hào)

(e) GSN下的III型信號(hào) (f) GMN下的III型信號(hào)圖4 確定IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)最敏感節(jié)點(diǎn)

3.4 實(shí)際數(shù)據(jù)分析

本節(jié)將估計(jì)本文方法對(duì)實(shí)際電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的有效性?；?013年某地區(qū)電網(wǎng)發(fā)生的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)故障，PMU數(shù)、采樣率和總采樣時(shí)間分別為p=34、K=50 Hz和284 s。鏈?zhǔn)椒磻?yīng)故障發(fā)生在t=65.4 s到t=73.3 s之間。圖5和圖6分別給出了穩(wěn)定狀態(tài)和故障狀態(tài)下的功率?？梢钥闯?，在穩(wěn)定狀態(tài)下，電流變化平穩(wěn)，而在故障狀態(tài)下，電流變化不規(guī)律。設(shè)q=5，ng=50，得到λ的概率密度函數(shù)，如圖7所示。圖7表明，λ的均值和方差與理論值吻合得很好。由此，事件的發(fā)生時(shí)間和實(shí)際持續(xù)時(shí)間可以分別確定為t0=65 s和tdur≈8 s。采用式(18)確定最敏感節(jié)點(diǎn)的位置，結(jié)果如圖8所示。結(jié)果表明，節(jié)點(diǎn)17、節(jié)點(diǎn)18上的PMU最敏感，這與實(shí)際事故情況相符。

圖5 34 PMU系統(tǒng)在正常狀態(tài)下潮流

圖6 34 PMU在故障條件下潮流

圖7 34 PMU系統(tǒng)的參數(shù)學(xué)習(xí)

圖8 確定34PMU系統(tǒng)中最敏感節(jié)點(diǎn)

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)大規(guī)模智能電網(wǎng)對(duì)大數(shù)據(jù)分析的迫切需求，基于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，提出一種基于多維協(xié)方差矩陣和PMU動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的智能電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)算法。首先，將PMU數(shù)據(jù)表示為隨機(jī)矩陣序列，將海量PMU數(shù)據(jù)流轉(zhuǎn)換成小的數(shù)據(jù)以供實(shí)際使用。突破原始的PMU數(shù)據(jù)或窗口截?cái)鄶?shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的傳統(tǒng)方法，提出一種多維檢驗(yàn)法綜合分析電力系統(tǒng)PMU數(shù)據(jù)流。算例研究表明，該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量能夠準(zhǔn)確地得出系統(tǒng)事件的相對(duì)大小、持續(xù)時(shí)間和位置。本文的工作為海量PMU數(shù)據(jù)流的數(shù)據(jù)分析打下基礎(chǔ)，為了更好地了解電力系統(tǒng)的狀態(tài)，后續(xù)將把電力系統(tǒng)情景分析和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的研究。