常數(shù)變易法的思想探究及其在低階變系數(shù)非齊次微分方程中的應用

王艷華 潘志剛

1.成都錦城學院 四川成都 611731；2.西南交通大學數(shù)學學院 四川成都 611756

1 概述

常數(shù)變易法是求解非齊次線性微分方程的一種行之有效的方法，它是Joseph-Louis Lagrange近十一年的研究成果，目前大學教材沿用的僅是該方法的結(jié)論，只有具體求解步驟而沒有解釋緣由，這使得初學者對其邏輯不甚清晰，加之限于學時等原因，課堂上少有涉及。基于此，本文將嘗試對常數(shù)變易法的思想本質(zhì)進行深入探究，并將其應用在低階變系數(shù)非齊次微分方程的求解中。

2 常數(shù)變易法思想探究

′+()=()

(1)

定義形如上式(1)的方程稱為一階非齊次線性微分方程，()、()是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)。

當()=0時，式(1)變?yōu)椋?/p>

′+()=0

(2)

此時采用常數(shù)變易法，將式(2)解中的常數(shù)變易為的未知函數(shù)()，令：

(3)

將其代入式(3)，即可得到非齊次常微分方程(1)的通解為：

(4)

這就是本科階段專業(yè)課“常微分方程”里的經(jīng)典求解步驟，但老師們在課堂上往往只會介紹到這里，而沒有更多的時間與精力帶著學生探究其原理，學生也只會套用這個過程，而不明白其原理，更不知道是否正確，所以我們很有必要對此一探究竟。常數(shù)變易法思想的具體過程探究如下：

但當式(1)中()≠0時，

=[()-()]

(5)

思考一：此時式(5)無法分離變量。

即

(6)

思考三：結(jié)合思考二的結(jié)論可以換一種思路，利用構(gòu)造函數(shù)的方法，將任意函數(shù)()表示為兩個函數(shù)之積，令:

()=()·()

(7)

將其代入(1)，整理得:

′()·()+()·[′()+()·()]=()

(8)

此時想利用分離變量法解決問題，只能令′()+()()≡0。

分離變量后左右兩邊積分得：

(9)

故

()=()·()

(10)

即式(1)的通解為:

由此可見，將分解為兩個函數(shù)的積，在實際的求解中是將一個不能直接用分離變量法的微分方程化成了與之對應等價的兩個可以直接應用分離變量法的微分方程。

通過進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，()的解恰好是求解非齊次線性常微分方程′+()=()對應的齊次線性常微分方程′+()=0。這正好解釋了教材中的求解技巧：在求解非其次線性常微分方程時，首先要求解對應的齊次微分方程，得到其通解:

(11)

3 常數(shù)變易法在求解一階非齊次線性常微分方程中的應用

對于一階非齊次線性微分方程，教材中的解題步驟已在前面給出，只須按照步驟一一準確計算即可。

所以非齊次線性微分方程的通解為：

4 常數(shù)變易法在求解二階變系數(shù)非齊次線性常微分方程中的應用

對于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，教材中的做法是：首先，利用對應的特征方程求出特征根，根據(jù)特征根得到對應齊次微分方程的通解；其次，根據(jù)非齊次項的特點，設(shè)出相應的微分方程特解形式；最后，利用待定系數(shù)法將所設(shè)出的特解代入原方程，求出非齊次線性微分方程的通解。胡勁松先將二階變系數(shù)方程轉(zhuǎn)化為Riccati方程后予以求解；孫智勇結(jié)合Maple軟件討論了一類二階變系數(shù)微分方程的求解，更多關(guān)于二階變系數(shù)的求解技巧可參見文獻。

對于求解二階變系數(shù)非齊次線性微分方程，常數(shù)變易法最為簡便。由于非齊次微分方程的通解是對應齊次微分方程通解加一個特解的形式，所以接下來先討論二階變系數(shù)齊次線性常微分方程的求解。

″+()′+()=()

(12)

定義形如上式(12)的方程稱為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程，其中()、()是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)。

定理1 若()是二階變系數(shù)非齊次線性微分方程(12)對應的齊次方程(13)的一個已知特解，則如下結(jié)論成立：

①=()也是方程(13)的一個解；

證明 第一步：設(shè)方程(12)對應的二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一個解為()，則()也是(13)的一個解。

″+()′+()=0

(13)

利用常數(shù)變易法，令()=()(),且()、()線性無關(guān)。

第二步：將()代入齊次方程(13)得

()[″()+()′()+()()()+()′()+()()]+″()()+2′()′()+()′()()=0

由于()是方程的一個特解，則:

″()+()′()+()()=0

所以上式可簡化為:

[2′()+()()]′()+″()()=0

(14)

第三步：令()=′()，則式(14)可以表示為:

[2′()+()()]()+′()()=0

此時式(14)降階成為一個一階齊次線性微分方程。

第四步：利用分離變量法求解一階齊次微分方程得:

第五步：寫出二階變系數(shù)齊次線性微分方程(13)的通解。

對于二階變系數(shù)線性非齊次微分方程(12)的通解，接下來只需要找到其特解即可。

設(shè)=+是方程(12)的一個特解。

將其代入式(12)：

所以

(+)()=()

又因為、是對應齊次方程(13)的解，則

″+()′+()=0″+()′+()=0

從而:

(15)

方程組(15)系數(shù)行列式不為零，故有唯一解：

綜上二階變系數(shù)非齊次線性方程(12)的通解為：

例：已知齊次方程(-1)″-′+=0的通解為()=+，求非齊次方程(-1)″-′+=(-1)的通解。

解：將所給方程寫成標準形式

令=+，則=，=。

所以非齊次方程有特解=-(++1)，從而所求非齊次方程的通解為=+-(++1)。

結(jié)語

本文基于“常數(shù)變易法”的求解步驟，利用分離變量的思想，探討得到了該方法的思想本質(zhì)是齊次化原理，通過將原非齊次方程進行特殊的變量代換得到兩個等價的齊次方程，而且第一個齊次方程的結(jié)構(gòu)恰好就是原非齊次方程對應的齊次方程，這正好解釋了“常數(shù)變易法”里第一步就是為什么要直接求解對應齊次方程的通解。接著運用該特殊變量代換方法到低階的變系數(shù)非齊次方程的求解，該方法對于二階變系數(shù)非齊次方程的求解是一個有益的補充與擴展。