“線性代數”課程教學體會

逯曉雪 張素花

陸軍裝甲兵學院 北京 100072

“線性代數”是高等院校理工科各類專業的公共必修課程之一，基本內容包括五個模塊：行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、二次型。在教學過程中發現：線性代數這門課程的特點是基本概念、性質和公式多、計算繁雜、需要記憶的結論也比較多，前后知識點的聯系比較緊密，導致很多學員對這門課的評價是“亂”“碎”，使得學員不能總體把握課程。基于這種情況，在線性代數課程教學時，首先授課教員須讓學員既了解“在做什么？怎么做”，更要理解“為什么這樣做”，同時引導學員積極參與到還原數學發現和再次發現的過程中，幫助學員還原知識建立的過程，加深對課程本質的理解。對于一些抽象的概念可以結合幾何圖形或者實際案例引入，降低知識的抽象性；另一方面在教學中適當引入和其專業相關、日常生活或當前熱點技術相關的例子，讓學員始終保持好奇心；最為關鍵的是要引導學員養成在學完每一章后自覺總結、及時歸納的好習慣，尋找各個概念之間的聯系和區別，進行對比記憶。

一、線性代數教學中存在的問題

線性代數是大學數學中一門重要的公共基礎課，這門課程內容少，題型較固定，對學生的預備知識的要求也比較低，只需要掌握中學基礎的數學知識即可學習。盡管如此，在教學過程中還是發現學員學習線性代數存在很多問題：

(1)概念容易混淆、定理公式理解不到位、邏輯思維混亂。例如，因為行列式和矩陣都與數表有關系，而且行列式的六條性質中有換行、倍乘、倍加，而矩陣的初等變換中也有相應的三種變換，所以有部分學員經常混淆兩者的符號，或者在矩陣的初等變換過程中錯用等號等。在學習第五章矩陣的相似對角化問題時，每一節的理解和計算沒有問題，但是綜合考查時，容易搞不清楚什么時候需要正交化的過程，什么時候不需要。

(2)學員的抽象能力弱，邏輯推理能力不強。比如已知一個具體的方程組，學員很容易根據定理判斷出方程組的解的情況。但是如果給出一個抽象的矩陣，如已知為×階矩陣，()=，在、、關系未知的情況下，學員一般無法通過先假設和的情況，進而比較和、的關系，從而全面分析出齊次線性方程組=0和非齊次線性方程組=的解的情況，大部分都是自己舉出一個符合條件的具體的方程組進行判斷導致結論不全面。

(3)因為選用的線性代數教材基本沒有實際應用案例，導致學員認為線性代數就是一門純計算的課程，而且線性代數的題目計算量一般都比較大，使得學員無法領會線性代數所體現的方法和思想，更不會去了解在其他領域中的應用。

(4)學員無法從整體上把握課程內容。從線性代數教材的編排順序和內容安排來看，每章節貌似沒有聯系，互相獨立，導致學員學完課程后感覺零、散、亂，前后聯系不起來，從而出現了每一節的練習題可能會做，但是對于一些綜合題無從下手，或者即使會做題但是不清楚“為什么這樣做”的情況。

二、教學過程中的應對策略

(一)合理安排教學，深入剖析概念

線性代數課程具有極強的抽象性，特別是一些概念晦澀難懂，定義突兀，如果直接講定義會導致學員理解困難，教學效果不好。我們可以從學生已知的知識結構或者生活中的一些例子引入新概念；也可以先為學生講解概念的簡單實例，然后由淺入深剖析概念。例如在講初等矩陣的知識時，我會先讓學員自己計算一個具體的三階矩陣分別和三種(六個)初等矩陣相乘，引導學員自己總結出矩陣乘積的運算規律，從而得到一般的矩陣乘法和矩陣的初等變換之間聯系，這種由具體到抽象的方法也符合學生的認知規律，記憶也更深刻。向量組的極大無關組是一個重要的概念，也是一個教學難點。大部分學員在學習第四章時感到內容非常抽象，學習比較困難，經常搞不清楚線性表示、線性組合、極大無關組等各種概念、性質和結論。那么在講授向量組的這些概念時，我們就可以與三原色的概念進行類比。極大無關組的概念指的是向量組中個線性無關的向量，并且滿足任意+1個向量均線性相關，極大無關組中向量的個數就是向量組的秩。我們知道繪畫時需要調色，三原色是紅、黃、藍，三原色中任何兩種顏色都調制不出其余的那種顏色，但三原色按照一定的比例可以調制出其他任意一種顏色。那么三原色之間的這種關系就類似于向量之間的線性無關，而其他的顏色均可以由三原色線性表示。而三原色就是所有顏色組成的集合的一個“極大無關組”。通過這個生活化的例子，可以有效幫助學員理解線性表示、線性相關、極大無關組這些抽象的概念。

(二)融入數學思想，提升思維能力

數學知識的記憶是短暫的，長時間不用就會遺忘，但數學思想方法的記憶卻是永久的。日本教育家米山國藏認為：“成功的數學教育，應當是數學的精神、思想方法深深地永遠銘刻在學生的頭腦里，長久地活躍于他們日常的業務中，雖然那時，數學的知識可能已經淡忘了。”所以在線性代數教學中，一定要深刻揭示隱含于知識中的數學思想方法，例如：化歸思想、變換思想、歸納思想、演繹思想、類比思想、建模思想及數形結合思想等，其中的化歸思想更是解決線性代數問題的基礎。比如行列式的展開法則即將行列式轉化成低階行列式，線性方程組的求解轉化為對應的行階梯形問題，向量組的線性相關性問題轉化為齊次線性方程組，是否有非零解的問題等都蘊含著化歸思想。在教學過程中引導學員理解、掌握并會用這些數學思想方法才是解決問題和分析問題的關鍵，不僅能加深學員的理解，還可以從認知層面上提高對數學本質、數學思想方法的領會和感悟，從而培養學員獨立學習的能力。

(三)挖掘實際背景，引入軍事案例

數學不是無源之水，無本之木。線性代數產生于實際問題，發展出成熟的理論后具有廣泛的應用性。在教學中，通過挖掘實際背景，分享閱讀材料，選用適宜的案例等多種形式，讓學員了解到線性代數的重要作用和學科的應用發展，從而激發其學習興趣，鼓勵其學以致用。

例如，在第三章開始介紹線性方程組及其求解問題時，可以引入交通流量實際案例。如圖1所示，某城市市區的交叉路口由兩條單向車道組成。圖中給出了在交通高峰時段每小時進入和離開路口的車輛數。計算在四個交叉路口間車輛的數量。

圖1

考慮到軍校學員的特點，在案例的選取上還可以更加貼近軍事特色。例如講“緒論”時，為了說明線性方程組在軍事應用中的巨大價值，可先簡要介紹“北斗”導航系統的衛星定位原理，即將偽距方程線性化后，用戶所處的位置就歸結為線性方程組的求解問題；接下來再以雷達散射截面的計算為例，為得到雷達散射截面情況，就要分析表面電流分布，而不論哪種分析方法都需將連續問題離散化，又是求解線性方程組。在學習矩陣的特征值和特征向量理論時，將“25，000，000，000：”這篇文章推薦給學員閱讀。文中對Goole搜索引擎的PageRank排序算法進行了詳細的介紹，很有啟發性。該算法是諸多搜索引擎的算法基礎，深刻影響著互聯網時代每一個人的生活。而發明這種算法的拉里·佩奇與謝蓋爾·布林當時只是斯坦福大學的研究生。在講解理論時還可以激勵學員打好理論基礎同時，也要注重理論結合實踐。又如在講解逆矩陣時，可以給出一個實際案例應用：Hill密碼的破譯問題，讓學員了解利用逆矩陣的特性并結合加密算法原理，將接收到的信息進行解密。諸如此類緊密結合軍事的實例介紹，既能開闊學員的視野，又展示了線性代數的魅力，提升了教學效果。

(四)借助軟件，解決實際問題

在完成基礎理論課學習的基礎上，將Matlab等一些數學計算軟件應用到線性代數教學中，介紹如何應用現代計算手段快速解決實際問題，進而提高學員應用理論知識解決實際問題的能力。

例如第五章用正交變換化二次型為標準形，正交變換的好處是保持幾何形狀不變，而且尋找正交矩陣有“求特征值—特征向量—正交化—單位化”固定的步驟，可以套用固定的模式求解，但是通常計算量很大，并且在施密特正交化的過程中非常容易出錯，所以我們可以用Matlab軟件將二次型化為標準形。

例：求一個正交變換=，把二次型=-2+2+2化為標準形。

同時通過Matlab軟件把原來的二次型和正交變換后得到的標準形對應的圖形畫出來，分別為圖2和圖3：

圖2

圖3

圖4

運用數學軟件將所學的理論知識具體、直觀地展現出來，不僅能使學員切實理解二次型到底是什么,它有什么幾何意義,用正交變換法和配方法化二次型為標準形時有什么區別,二次型的標準形有什么用，還能增強學習的趣味性和目的性，使得學員對Matlab等軟件有初步的了解，為下一步參加數學建模競賽打下一定的基礎。

(五)數形結合，融入幾何解釋

(六)及時歸納總結，注重構建知識網絡

線性代數各知識點間有著千絲萬縷的關系，因此解題方法多種多樣。只有及時歸納總結，搞清楚各個知識點間的聯系和區別，才能打開思路。

例如，判斷向量組：，，…，的線性相關性，根據定義即是否存在一組不全為零的數，，…，，使得++…+=0，而這個問題又可以歸結于齊次線性方程組=0是否有非零解，=0是否有非零解是通過比較系數矩陣的秩和未知數的個數來判斷的。通過這樣一道表面上只與向量組線性相關性有關的例題，然后引導學員仔細分析，發現它其實和線性方程組的解、矩陣的秩等內容相聯系，判斷方法并不僅僅靠定義，可從不同角度入手。由此學員能很好地體會各部分知識之間的內在聯系，對課程內容有整體性的認識。矩陣是學習線性代數的一個重要工具，第五章涉及矩陣的概念就有正交矩陣、相似矩陣、合同矩陣，特別是相似矩陣和合同矩陣，兩者都是一種等價關系(因此又可與第三章學習的矩陣等價的性質聯系起來)，又有不同點。這些都需要學員自己總結它們的聯系和區別，對比記憶，才能徹底理解這些易混概念。又如學員經常搞不清楚極大無關組、基礎解系、基這三個定義，實質就是基礎解系和基是特殊的向量組的最大無關組。

線性代數這門學科在自然科學、社會科學、工程技術等領域有著廣泛的應用，是很多實際問題數學語言描述和核心算法的基礎。所以在線性代數教學中我們不應只關注學員是否會進行數值計算，更應強調學員對基本概念的理解和掌握，注重培養其抽象思維能力和邏輯推斷能力及分析問題和解決問題的能力，為后續課程的學習奠定基礎。