一種基于工具坐標系的機器人運動學參數標定方法

高文斌 褚亞杰 余曉流

1.安徽工業大學機械工程學院，馬鞍山，243032 2.特種重載機器人安徽省重點實驗室，馬鞍山，243032

0 引言

定位精度是評價機器人性能的重要指標，包括重復定位精度和絕對定位精度。工業機器人具有良好的重復定位精度，可達0.01 mm，但受零部件加工、裝配及使用磨損等產生幾何參數誤差的影響，絕對定位精度較低[1-3]。參數標定是提高機器人絕對定位精度的一種經濟有效的方法[4-5]。

D-H(Denavit-Hartenberg)參數法和指數積公式是串聯機器人參數標定常用的數學工具。D-H參數法需要的參數量最少，但相鄰關節軸線平行或接近平行時，機器人會出現奇異性問題[6]。一些學者通過增加參數解決奇異性問題，但如此也帶來了模型推導不直接、形式復雜等新問題[7-10]。針對上述問題，一些學者基于指數積公式開展了運動學參數標定的相關研究，當相鄰關節軸線平行或接近平行時，指數積形式的運動學模型相對關節運動是光滑變化的，不會出現奇異性問題[11-13]。目前，機器人誤差模型大多以基礎坐標系為參考系，坐標系的轉換導致誤差模型中包含姿態誤差與位置矢量的乘積項，影響了參數標定識別精度。以工具坐標系為參考系建立誤差模型，避免了姿態誤差與位置矢量的乘積項對參數標定識別精度的影響[14]。本文以工具坐標系為參考系，給出一種基于指數積公式的包含關節約束條件的位姿誤差標定模型。采用激光跟蹤儀作為測量設備，通過對UR5機器人進行位姿標定試驗，驗證標定模型的正確性和有效性。

1 誤差模型的建立

如圖1所示，機器人由n個單自由度關節串聯而成。分別在基座和末端執行器上建立基礎坐標系{B}和工具坐標系{T}，n自由度串聯機器人運動學模型為[11]

圖1 n自由度串聯機器人Fig.1 n-DOF serial robot

(1)

(2)

機器人運動學模型(式(2))可簡寫為

f=f(ξ,θ,ξst)

(3)

機器人的位姿誤差可以通過對運動學模型兩邊取微分獲得：

(4)

(5)

對式(4)右乘f-1得到以基礎坐標系為參考系的誤差模型δff-1，δff-1為末端執行器相對于基礎坐標系的空間速度；對式(4)左乘f-1得到以工具坐標系為參考系的誤差模型f-1δf，f-1δf為末端執行器相對工具坐標系的物體速度。根據式(5)，兩種誤差模型可分別表示為[14-15]

(6)

(7)

式中，Rn為理論姿態；pn為理論位置；Ra為實際姿態；I4為4×4的單位矩陣；pa為實際位置；運算符“∨”表示李群SE(3)到李代數se(3)的映射。

實際姿態Ra和實際位置pa可通過測量獲得。

以基礎坐標系為參考系建立誤差模型時，末端執行器位姿誤差表示在基礎坐標系中，式(6)中pa-Ra(Rn)Tpn除了受實際位置pa的影響外，還引入了實際姿態Ra的影響；以工具坐標系為參考系建立誤差模型時，末端執行器位姿誤差表示在工具坐標系中不需要進行坐標系轉換，式(7)中(Rn)T(pa-pn)只受實際位置pa的影響。本文以工具坐標系為參考系，建立誤差模型為

(8)

圖2 關節旋量誤差Fig.2 Joint twist error

(9)

可知，經伴隨變換后，關節旋量坐標仍然滿足關節約束條件[16]，即

(10)

(11)

圖3 初始位姿誤差Fig.3 Initial pose error

(12)

將式(9)、式(12)代入運動學模型(式(2))中，可寫為

(13)

機器人的誤差模型(式(8))可改寫為

(14)

關節的零位偏置誤差可以看作是旋量誤差的一個誤差源，在標定過程中，僅需識別關節旋量誤差η和初始位姿誤差ηst，式(14)可簡化為[16-17]

(15)

2 標定模型的建立

2.1 標定模型線性化

將運動學模型式(13)代入式(15)中，可得

[f-1δf]∨=

(16)

(17)

由恒等式式(17)易知

(18)

Bi=Ad-1(Ai)-I6i=1,2,…,n

利用式(18)可將式(16)化簡為

(19)

(20)

(21)

將式(20)、式(21)代入式(19)可得運動學方程線性化模型的顯式表達式:

(22)

(23)

運動學方程線性化模型(式(22))可以寫成如下矩陣形式：

y=Cx

(24)

C=[C1C2…CnCn+1]∈R6×6(n+1)

C的各列如下：

2.2 參數標定模型

控制串聯機器人運動到工作空間中k個標定位姿，得到k組線性化方程，聯立可得運動學參數標定方程為

(25)

x可通過最小二乘法求解獲得：

(26)

3 試驗及結果分析

如圖4所示，以UR5機器人為試驗對象，其重復定位精度為0.03 mm。以Lecia AT960-MR激光跟蹤儀為測量設備，在半徑為40 m范圍內該設備測量精度為15 μm+6 μm/m。試驗時，將機器人放置在激光跟蹤儀的工作空間內。

圖4 標定試驗設備Fig.4 Calibration test equipment

3.1 坐標系建立

通過Spatial Analyzer軟件建立機器人基礎坐標系{B}，并設置激光跟蹤儀坐標系與基礎坐標系重合，使靶球坐標表示在基礎坐標系中。

如圖5所示，測量P1、P2、P3相對于基礎坐標系的位置坐標，以點P1為原點建立工具坐標系{T}，xT軸與向量P1P3方向一致，zT軸與三點所在平面的法向量n方向一致，n=P1P3×P1P2，yT軸通過右手定則確定。工具坐標系{T}相對于基礎坐標系{B}的測量位姿可表示為

圖5 工具坐標系建立Fig.5 Establish the tool frame

(27)

3.2 標定流程

運動學參數標定識別流程如圖6所示，控制機器人運動到一系列標定位姿,根據理論運動學模型計算出末端執行器位姿的理論值，通過激光跟蹤儀測得末端執行器三個測量點相對于基礎坐標系的位置坐標，根據式(27)建立工具坐標系{T}，計算得到末端執行器位姿的測量值。標定模型中誤差量xi可通過最小二乘法(式(26))獲得。在參數的迭代識別過程中，從k-1步到k步的參數ηi更新方式為

圖6 參數迭代標定流程Fig.6 Calibration procedure for parameters identification

(28)

3.3 標定試驗

在機器人的工作空間內隨機生成30組關節變量，用于運動學參數標定試驗。根據關節變量值控制機器人運動到相應位姿，通過激光跟蹤儀測得末端執行器三個測量點的位置坐標值，如表1所示，并利用式(27)計算出末端執行器位姿的實際值。按照圖6所示的流程進行運動學參數的辨識。如圖7所示，位置和姿態誤差模在4次迭代后收斂到穩定值。

表1 標定試驗位置坐標Tab.1 The position coordinates for the calibration test mm

(a)迭代過程中位置誤差模

(b)迭代過程中姿態誤差模圖7 迭代過程中位姿誤差模Fig.7 Norms of pose errors in the iterative procedure

3.4 驗證試驗

在機器人的工作空間內隨機生成20組關節變量，用來驗證標定方法的正確性和有效性。通過激光跟蹤儀測得末端執行器三個測量點的位置坐標值，如表2所示，并利用式(27)計算出末端執行器位姿的實際值。根據運動學參數的名義值計算出末端執行器位姿的理論值。根據運動學參數的標定識別結果計算出末端執行器位姿的標定補償值。如圖8所示，機器人位置誤差模的最大值和平均值分別從4.4777 mm和3.1488 mm減小到0.6966 mm和0.2812 mm。姿態誤差模的最大值和平均值分別從0.0183 rad和0.0166 rad減小到0.0031 rad和0.0018 rad。

表2 驗證試驗位置坐標Tab.2 The position coordinates for the verification test mm

(a)驗證點的位置誤差模

4 結論

(1)基于指數積公式給出了一種以工具坐標系為參考系包含關節約束條件的位姿誤差標定模型,避免了末端執行器位姿誤差在基礎坐標系表示時，誤差模型中姿態誤差與位置矢量的乘積項對參數識別精度的影響。

(2)以UR5機器人為標定對象，采用激光跟蹤儀為測量設備，進行運動學參數標定試驗。試驗結果表明，經過參數標定，機器人位置誤差模和姿態誤差模的平均值分別降低了91.07%和89.16%，驗證了該運動學參數標定模型的正確性和有效性。